数学归纳法4-北师大版课件.ppt

1、1、问题情境一、问题情境一问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们个小球，如何证明它们都是绿色的？都是绿色的？完全归纳法完全归纳法 不完全归不完全归纳法纳法,1,1,211nnnnaaaaa已知：观察数列问题nan1:猜想归纳通项公式猜想归纳通项公式,212 a,313 a,414 a 1 1、问题情境二、问题情境二费马费马（Fermat）是）是1717世纪法国著名的数学家，世纪法国著名的数学家，他曾认为，当他曾认为，当n nN N时，时，一定都是质数，这一定都是质数，这是他观察当是他观察当n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4时的值都是质数，时的值都是质数，提出猜想得到的半

2、个世纪后，提出猜想得到的半个世纪后，1818世纪伟大的世纪伟大的瑞士科学家欧拉（瑞士科学家欧拉（Euler）发现）发现 4 294 967 4 294 967 29729767004176700417641641，从而否定了费马的推，从而否定了费马的推测没想到当测没想到当n n5 5这一结论便不成立这一结论便不成立 122n1252归纳法：归纳法：由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，

3、形成猜想）（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察全体全体对象，得到对象，得到一般结论的推理方法一般结论的推理方法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法，考察，考察部分部分对象，得对象，得到一般结论的推理方法到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳不完全归纳法法1 1、问题情境三、问题情境三 多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 1 1、问题情境三、问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒）处

4、理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）关系；（相当于前牌推倒后牌）定义：对于某些与正整数定义：对于某些与正整数n有关的命题常常有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0(n0 N*，例如，例如n0=1)时命题成立时命题成立(归纳奠基归纳奠基）；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立(归纳递推归纳递推）。）。这种证明方法就叫做这种证

5、明方法就叫做_。数学归纳法数学归纳法2、数学归纳法的概念、数学归纳法的概念验证验证n=n0时时命题成立命题成立假设假设n=k(kn0)时命题成立时命题成立,证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推命题对从命题对从n0开始所有开始所有的正整数的正整数n都成立都成立3.数学归纳法的应用：数学归纳法的应用：（1）恒等式）恒等式（2）不等式）不等式（3）三角函数方面）三角函数方面（4）整除性）整除性（5）几何方面）几何方面（6）计算、猜想、证明）计算、猜想、证明22222222221 2 31,62 3 512,63 4 7123,64 5 91234,6.情境情境

6、1.观察下列各等式，你发现了什么？观察下列各等式，你发现了什么？归纳归纳问题情境问题情境22222(1)(21)1234.6nnnn思考思考：你由不完全归纳法：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？若正确，如何证明呢？222222(1)(1)12(1)11234(1)6kkkkk目标：证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边,等式显然成立。等式显然成立。例例 证明：证明：数学运用数学运用递推基础递推基础递推依据递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21

7、)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时,等式也成立。等式也成立。根据和，可知对任何根据和，可知对任何n n N N*等式都成立。等式都成立。dnaan)1(1 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 ，公差为，公差为 ，那么，那么na1ad对一切对一切 都成立都成立 Nn证明证明：（：（1）当）当n=1时，时，,1a 左边左边,011ada 右边右边等式是成立

8、的等式是成立的（2）假设当）假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是,)1(1dkaak 那么当那么当n=k+1时，时，daakk 1dkaddka 1)1()1(11这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2）可知，等式对任何）可知，等式对任何 都成立都成立 Nn练习练习1 1 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：递推基础递推基础递推依据递推依据11(1)1kaakd目标：练习练习2 2 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2*1 3 5(21)().nn n N 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立

9、21 3 5(21)2(1)1(1)kkk 目标：这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何正整数），可知等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即21 3 5(21).kk 递推基础递推基础递推依据递推依据2221 3 5(21)2(1)1(2(1)121(1)kkkkkkk 那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与正整数正整数有关命题的步骤是：有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确

10、；10 nn0n （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确)N(0nkkkn 且且1 kn递推基递推基础础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”“综合（综合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！注意注意:数学归纳法使用要点：数学归纳法使用要点：两步骤两步骤,一结论。一结论。用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值明确首取值n n0 0并验证真假。（必不可少）并验证真假。（必不可少）“假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写出命

11、题形式。分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=kn=k”时时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并并 用上假设。用上假设。分析下列各题用分析下列各题用数学归纳数学归纳法法证明过程中的错误：证明过程中的错误：练习3纠错!（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8

12、+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N*)那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1)=k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1)=(k+1)=(k+1)2 2+(k+1)+1,+(k+1)+1,因此，对于任何因此，对于任何n n N N*等式都成立。等式都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以用等差数列求以用等差数列求和公式验证原等和公式验证原等式是不成立的！式是不成立的！这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.11111(

13、1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1 223(1)1nnNnnn没有用上没有用上“假假设设”，故此法，故此法不是数学归纳不是数学归纳法法请修改为数学请修改为数学归纳法归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边=,212111)1(1321211kkkk假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立，即，即此时，原等式成立。此时，原等式成立。那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确.11=1+12右边证明证明 当当n=1时时,左边左边=,21211*111(2)()1 223(1)1nnNnnn1)1(13

14、21211kkkk11111 22 3(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk 这这才才是是数数学学归归纳纳法法假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立，即，即21111右边右边=此时，原等式成立。此时，原等式成立。那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确.11111=(1)()()223111=11nnnnn 证二：左边右边，所以原等式成立。*111(2)()122 3(1)1nnNn nn这不是这不是数学归纳法数学归纳法（3）（纠错题纠错题）2nn2

15、(n N*)证明证明 ：当：当n=1n=1时，时，2 21 1112 2,不等式显然成立。不等式显然成立。假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即2 2k kkk2 2,那么当那么当n=k+1n=k+1时，有时，有2 2k+1k+1=2=2 2 2k k=2=2k k+2+2k kkk2 2+k+k2 2 k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2.这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时不等式也成立。时不等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知对任何），可知对任何n n N N*不等式不等式都成立。都成立。虽然既有虽然既有“递推基础递推基

16、础”，又用到假设，又用到假设（“递推依据递推依据”），但在证明过程中出现），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。时不等式就不成立。因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一题的两个步骤，缺一不可。第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。缺了第一步递推失。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。依据，因此无法递推下去。思考思考：步骤步骤(1)中中n取的第一个值取的第一个值n

17、0一一定是定是1吗？为什么？吗？为什么？答：不一定答：不一定举例说明：举例说明：用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n边形边形 的对角线的条数是的对角线的条数是32n n30n此时此时n n取的第一值取的第一值练习巩固练习巩固 n+2n+22n+12n+1*-+=a+=a 1,nN1,nN1 11-a1-a1+1+a aaaaaa a.1、用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：“”在验证在验证 n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是（成立时，左边计算所得的结果是（）A A1 1 B.B.C C D.D.1+a1+a2 21 1+a a+a a2 23 31 1+a a+a a+a a2 2.已知

18、已知:,:,则则 等于等于()()A:B:A:B:C:D:C:D:131.2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfCC3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1)1)2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 4、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：2)1()1()1(4321121222 nnnnn5求证求证:当当nN*时，时，nnnnn212111211214131211 3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n

19、1)1)2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时，)1(.433221 kk)2)(1(kk)2)(1(31 kkk+)2)(1(kk=)2)(1(kk)131(k n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。nn =2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边=2.命题成立命题成立1 111223 33 3练习

20、巩固练习巩固 4、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明2222121(1)1234(1)(1)2nnn nn 证明证明:(1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1,=1,右边右边=1.=1.命题成立命题成立)221()1(1 n(2)(2)假设假设n=kn=k时命题正确，即时命题正确，即 2 22 22 22 2k k-1 12 2k k-1 1k k(k k+1 1)1 1-2 2+3 3-4 4+(-1 1)k k=(-1 1)2 2则当则当 n=k+1n=k+1时时,=+=+=2)1()1(1 kkk2)1()1(kk2 22 22 22 2k k-1 12 21 1-2 2+3 3-4

21、4+(-1 1)k kk2k2+(-1)(k+1)+(-1)(k+1)k k-k k+2 2k k+2 2(-1 1)(k k+1 1)()2 22)2)(1()1(kkk(k k+1 1)-1 1(k k+1 1)(k k+1 1)+1 1=(-1 1)2 2 n=k+1n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)(1)和和(2)(2)知，当知，当 ，命题正确。，命题正确。*n nN N提什么提什么 好呢好呢?注意结论的注意结论的形式形式 练习巩固练习巩固 nnnnn212111211214131211 5求证求证:当当nN*时时，证明证明:)1(2111121213121 KKKKKK 1

22、21121213121 KKKKK 12111212121211111 KKkKK n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。nn(1)当当n=1时，左边时，左边=21211 ;右边右边21 左边左边=右边，右边，n=1时，命题成立。时，命题成立。(2)假设假设n=k时命题正确，即时命题正确，即:KKKKK212111211214131211 当当n=k+1时时，左边左边=KK211214131211 )1(211)1(21KKKKK212111 221121KK证证:(1)当当n=2时时,左边左边=不等式成立不等式成立.111 11413,2

23、1 2 23 42424 (2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有:11113,12224kkk 则当则当n=k+1时时,我们有我们有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk 131113113().2421 2224(21)(22)24kkkk 即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立.*,2nN n(二二)不等式不等式证明证明:例例1、*11113(2,).12224nnNnnn 例例2：利用数学归纳法证明不等式：利用数学归纳法证明不等式*13

24、21124221nnNnn(n2,n(n2,nN)N)过程中过程中,由由“n=kn=k”变到变到“n=k+1n=k+1”时，不等式左边的变化是时，不等式左边的变化是（）：）：练习练习(1)用数学归纳法证用数学归纳法证:D D;)1(21 )(kA;221121 )(kkB;11221 )(kkC.11221121 )(kkkD2413212111nnn(2)用数学归纳法证用数学归纳法证:(n2,n(n2,nN)N)过程中过程中,由由“n=kn=k”变到变到“n=k+1n=k+1”时，左式所需添加的项数为时，左式所需添加的项数为（）：）：nn1214131211.项项.项.项项.项项12kk21

25、2 k(3)(3)整除性问题整除性问题例：证明例：证明 4 42n+12n+1+3+3n+2n+2(nN(nN*)能被能被1313整除。整除。证明：证明：1 1）n=1n=1时：时：4 4 2 21+11+1+3+31+21+2=91=91，能被，能被1313整除。整除。2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN)时时,4,42k+12k+1+3+3k+2k+2能被能被1313整除，整除，当当n=k+1n=k+1时：时：4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3(k+1)+2(k+1)+2=4=4(2k+1)+2(2k+1)+2+3+3(k+2)+1(k+2)+1=16(4=16(42

26、k+12k+1+3+3k+2k+2)-13)-133 3k+2 k+2 ()4 42k+12k+1+3+3k+2k+2及及13133 3k+2k+2均能被均能被1313整除整除,(,()式能被式能被1313整除。整除。4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3(k+1)+2(k+1)+2也能被也能被1313整除，即当整除，即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题均成立。原命题均成立。核心步骤核心步骤多退少补多退少补（密诀）（密诀）练习练习1 1：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：x x2n2n-y-y2n2n能

27、被能被x+yx+y整除整除(n(n为正整数为正整数)。证明：证明：1 1）n=1n=1时：时：x x2 2-y-y2 2=(x+y)(x-y),=(x+y)(x-y),能被能被x+yx+y整除，命题成立。整除，命题成立。2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN)时有时有x x2k 2k-y-y2k2k能被能被x+yx+y整除整除,当当n=k+1n=k+1时时由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN，x x2n2n-y-y2n2n都能被都能被x+yx+y整除整除。=(x=(x2k 2k-y-y2k2k)x x2 2+y+y2k2k(x(x2 2-y y2 2)（）(x(

28、x2k 2k-y-y2k2k)和和(x(x2 2-y y2 2)都能被都能被x+yx+y整除，整除，（）式也能被）式也能被x+yx+y整除。即：整除。即：n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立核心步骤核心步骤多退少补多退少补（密诀）（密诀）练习练习2 2 求证：当求证：当n n取正奇数时，取正奇数时，x xn n+y+yn n能被能被x+yx+y整除。整除。证明：证明：1 1）n=1n=1时：时：x x1 1+y+y1 1=x+y=x+y，能被，能被x+yx+y整除，命题成立。整除，命题成立。2 2）假设）假设n=k(kn=k(k为正奇数为正奇数)时，有时，有x xk k+y+yk k能

29、被能被x+yx+y整除整除,当当n=k+n=k+2 2时时:x:xk+2k+2+y+yk+2 k+2=x=xk kx x2 2+y+yk ky y2 2 =x=xk kx x2 2+y+yk kx x2 2-y-yk kx x2 2+y+yk ky y2 2=(x=(xk k+y+yk k)x x2 2-y-yk k(x(x2 2-y-y2 2)=(x=(xk k+y+yk k)x x2 2-y-yk k(x-y)(x+y),(x-y)(x+y),以上两项均能被以上两项均能被x+yx+y整除，整除，x xk+2k+2+y+yk+2k+2能被能被x+yx+y整除，整除，即当即当n=k+2n=k+

30、2时命题仍成立。时命题仍成立。由由1 1）、）、2 2）可知，对一切正奇数）可知，对一切正奇数n n，都有，都有x xn n+y+yn n能被能被x+yx+y整除。整除。（4）归纳）归纳猜想猜想证明（求数列的通项公式）证明（求数列的通项公式）归纳法证明你的猜想。的通项公式，并用数学猜想数列由求满足项和中，数列的前在各项为正的数列12,1121a.132,1nnnnnnaaaaaassn（5）数学归纳法证明几何问题）数学归纳法证明几何问题.例：平面内有例：平面内有n条直线条直线,其中任何两条不平行其中任何两条不平行,任何任何三条不过同一点三条不过同一点,证明这证明这n条直线把平面分成条直线把平面

31、分成f(n)=(n2+n+2)/2个部分个部分.1:n1:n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线,则凸则凸n+1n+1边形的对角线边形的对角线 -的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.练习练习 2.1.2.1.2kfDkkfCkfkBkfAkkfk对角面个数是棱柱的个对角面，则棱柱有若（6）用数学归纳法证明探究性问题）用数学归纳法证明探究性问题.24131332111.1并证明你的结论的最大值，都成立，求自然数对一切自然数若不等式anannnn 点拨点拨:对这种类型的题目对这种类型的题目,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值,探求出待定系数探求出待定

32、系数,然后用数学归纳然后用数学归纳法证明它对一切正整数法证明它对一切正整数n n都成立都成立.2.2.是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式:对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.2 22 22 22 21 12 2n na an n+n n+=1 1 3 33 3 5 5(2 2n n-1 1)(2 2n n+1 1)b bn n+2 2解解:令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得.41,231013bababa以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(2)(2)假设

33、当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确,即即:2 22 22 22 21 12 2k kk k+k k+=.1 1 3 33 3 5 5(2 2k k-1 1)(2 2k k+1 1)4 4k k+2 2则当则当n=k+1n=k+1时时,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k(k k+1 1)+1 1 3 33 3 5 5(2 2k k 1 1)(2 2k k+1 1)(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)k k+k k(k k+1 1)k k(k k+1 1)(2 2k k+3 3)+2 2(k k+1 1)=+=4 4k k+2 2(2

34、2k k+1 1)(2 2k k+3 3)2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)(k k+1 1)(2 2k k+3 3k k+2 2k k+2 2)(k k+1 1)(2 2k k+1 1)(k k+2 2)=2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)k k+3 3k k+2 2(k k+1 1)+(k k+1 1)=4 4k k+6 64 4(k k+.1 1)+2 2故当故当n=k+1n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)(1)、(2)(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正

35、确.(1)(1)当当n=1n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.*1211113.12311nnnanNnnaaaq nan 已知，是否存在关于的整式，使得等式，对于大于 的一切自然数 都成立，并证明你的结论。例例:比较比较 2 2n n 与与 n n2 2(n(nN N*)的大小的大小注：注：先猜想，再证明先猜想，再证明解：当解：当n=1n=1时，时，2 2n n=2,n=2,n2 2=1,2=1,2n nnn2 2 当当n=2n=2时，时，2 2n n=4,n=4,n2 2=4,2=4,2n n=n=n2 2 当当n=3n=3时，时，2 2n n=8,n=8,n2 2=9,

36、2=9,2n nnnn2 2 当当n=6n=6时，时，2 2n n=64,n=64,n2 2=36,2=36,2n nnn2 2猜想当猜想当n n5 5时，时，2 2n nnn2 2(证明略证明略)证明：（1）当 时,不等式 显然成立 用数学归纳法证明：nN22nn1n 1221nk22kk1nk（2）假设 时不等式成立,即 那么,当 时,有 1222222 22221(1)kkkkkkkkk 即当 时不等式也成立.1nk根据(1)(2),可知对任何 ,不等式都成立.nN(2)数学归纳法证题的步骤：数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论两个步骤，一个结论；(3)数学归纳法优点：即克服了数学归

37、纳法优点：即克服了完全归纳法完全归纳法的繁杂的缺的繁杂的缺 点，又克服了点，又克服了不完全归纳法不完全归纳法结论不可靠的不足。结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用数学归纳法的基本思想：运用“有限有限”的手段的手段来来 解决解决“无限无限”的问题的问题(1)数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数学命题有关的数学命题 的重要方法的重要方法回顾反思回顾反思 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明