数学分析曲面积分18-1课件.ppt
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- 关 键 词:
- 数学分析 曲面 积分 18 课件
- 资源描述:
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1、第十八章第十八章 曲面积分曲面积分2008052418.1 18.1 第一型曲面积分第一型曲面积分显显式式方方程程 .1一、曲面的表示一、曲面的表示.),(),(Dyxyxzz ;:易易计算曲面上的点比较容计算曲面上的点比较容优点优点.:不能表达封闭的曲面不能表达封闭的曲面缺点缺点隐隐式式方方程程 .2.),(,0),(VzyxzyxF .,上连续上连续在在通常会假设通常会假设VFFFFzyx),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 的法向量为的法向量为曲面在点曲面在点),(000zyx特殊地:特殊地:),(yxzz ),(),(yxzzzyxF 令令的法向量为的法
2、向量为曲面在点曲面在点),(,(0000yxzyx)1 ,(yxzz )1 ,(yxzz上法向量上法向量.2 轴正向夹角不超过轴正向夹角不超过与与z下法向量下法向量参参数数方方程程 .3则称则称平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设,uv,为曲面的向量方程为曲面的向量方程,),(),(:vuvurr.),(3Rvur 其中其中),(zyxr 如记如记)1(又可表示成又可表示成则则)1(.),(),(),(),(vuvuzzvuyyvuxx)2(.称为曲面的参数方程称为曲面的参数方程,)(:rr的映射的映射的参数方程看成是如下的参数方程看成是如下可以把曲面可以把曲面 ,0vv 令令得出得出并将
3、之代入参数方程并将之代入参数方程(2),),(),(),(000vuzzvuyyvuxx ,上的一段曲线上的一段曲线对应着对应着.曲线曲线上的上的称为称为u,0uu 令令),(),(),(000vuzzvuyyvuxx 曲线曲线上的上的得得v ,类似的类似的.,曲线均可覆盖住曲面曲线均可覆盖住曲面曲线曲线 vu偏导向量偏导向量),(),(),(),(0000vuuzvuuyvuuxvuur 的切向量,的切向量,曲线曲线的的是曲面是曲面0 vvu ),(),(),(),(0000vuvzvuvyvuvxvuvr .0的切向量的切向量曲线曲线的的是曲面是曲面uuv ,类似的类似的特别的,特别的,)
4、,(),(0000vuvrvuur 上上分别是曲面分别是曲面 .),(000的切向量的切向量曲线曲线曲线和曲线和处的处的对应的点对应的点vuPvu中的一段曲线,中的一段曲线,是是设设)(),(tvvtuu 并设并设,)(),(000000tvvtuu ,作用下作用下这段曲线在这段曲线在 r,上的一条曲线上的一条曲线对应着对应着.0P且曲线过点且曲线过点它的向它的向量方程是量方程是),(),(tvturr 则则),()(tvvrtuurdtdr ,0代入代入将将tt ),(),()(),(0000000tvvuvrtuvuurdtdrtt ,0的任一条曲线的任一条曲线上过点上过点P:表明表明,0
5、的切向量的切向量它在它在P),(),(0000vuvrvuur 都是都是.的线性组合的线性组合在同一在同一的任一条曲线的切线都的任一条曲线的切线都上过点上过点0P.平面上平面上.0的切平面的切平面在点在点P),(),(0000vuvrvuur 而向量而向量.0的法向量的法向量在点在点是是P),(00 ),(),(,),(),(,),(),(vuvuyxvuxzvuzy :也可写成也可写成 ),(),(,),(),(,),(),(vuyxvuxzvuzy对应的点处的法向量为对应的点处的法向量为在一般的在一般的),(vu 计算计算2222)(vuvuvurrrrrr .,:22222222vvvv
6、vuvuvuvuuuuuzyxrGzzyyxxrrFzyxrE 记记.,的第一基本量的第一基本量称为曲面称为曲面 GFE2FEG 的单位法向量的单位法向量从而得到从而得到 ),(),(,),(),(,),(),(12vuyxvuxzvuzyFEGn,vuvurrrr ,),(00 vu设设0),(00 vuvurr若若,为为则称则称),(00vur,上的正则点上的正则点曲面曲面.否则称为奇点否则称为奇点.,称之为正则曲面称之为正则曲面上的点全部为正则点时上的点全部为正则点时曲面曲面,面和法向量面和法向量正则曲面处处存在切平正则曲面处处存在切平.数的选择无关数的选择无关而且法向量的方向和参而且法
7、向量的方向和参,有参数向量方程有参数向量方程正则曲面正则曲面设设 ,),(),(vuvurr:的面积为的面积为则曲面则曲面 dudvvuyxvuxzvuzy2/1222),(),(),(),(),(),(dudvFEG2 dudvrrvu)(特殊地:特殊地:),(yxzz .),(,Dyx),(,yxzzyyxx .),(,Dyx,1),(),(,),(),(,),(),(yxyxzyxxzzyxzyyx.1)(22 Dyxdxdyzz oxyz一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形物质具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想,采用kkkk),
8、(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).二、第一型曲面积分二、第一型曲面积分定义定义.1),(iii 和和),2,1(ni,的取法无关的取法无关 则称此则称此上的上的在在极限为极限为 ),(zyxf.第一型曲面积分第一型曲面积分 dSzyxf),(iiiniiTSf ),(lim10|,),(dSzyxf记为记为,),(lim 10|存在存在若极限若极限iiiniiTSf T且与分割且与分割则第一型曲面积分存在.对积分域的可加性对积分域的可加性.,21SS则有S
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