2.4　等比数列 (一).pptx

1、第二章 数 列 2.4 等比数列 (一) 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ， 通常用字母 表示(q0). 2.递推关系 在数列an中，若an1 an q(nN*)，q为非零常数，则数列an是等比数 列. 答案 2 公比 q 思考1 下列数列一定是等

2、比数列的是_. (1)1,3,32 ,33，3n1，； (2)1,1,2,4,8，； (3)a1，a2，a3，an，. 解析答案 知识点二 等比中项的概念 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G ab. 答案 不一定. 当a10时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故an不 一定为等比数列. 思考2 若数列an满足an12an(nN*)，那么an是等比数列吗？ 答案 等比中项 知识点三 等比数列的通项公式 已知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，该等比数列的通项公 式为 . ana1qn1 思考1 已知等比数列an中，a11，a39，则a2_. 解析答案 解析

3、a3a1 q2， 9q2， q3， a2a1q3. 3 思考2 除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式. 答案 答案 还可以用累乘法. 当 n2 时， an an1q， an1 an2q， a2 a1q， 上述各式相乘得 an an1 an1 an2 a2 a1q n1， an a1q n1， ana1qn1(n2)， 又当n1时，a1a1q11，符合上式， 当n2时，a2a1 q21，符合上式， ana1qn1(nN*). 返回 题型探究 重点突破 题型一 等比数列的通项公式及应用 例1 在等比数列an中. (1)已知an128，a14，q2，求n； 解析答案 解 an

4、a1 qn1， 4 2n1128， 2n132， n15，n6. (2)已知an625，n4，q5，求a1； 解析答案 反思与感悟 解 a1 an qn1 625 5415，故 a15. (3)已知a12，a38，求公比q和通项公式. 解 a3a1 q2，即82q2， q24，q2. 当q2时，ana1qn12 2n12n， 当q2时，ana1qn12(2)n1(1)n12n， 数列an的公比为2或2， 对应的通项公式分别为an2n或an(1)n12n. 解 a3a1q22， a5a1q48， q24， a11 2， 跟踪训练1 在等比数列an中， (1)已知a32，a58，求a7； a7a1

5、q61 2(q 2)31 2 4 332. 解析答案 (2)已知a3a15，a5a115，求通项公式an. 解析答案 解 a3a1a1(q21)5， a5a1a1(q41)15， q213，q24，a11， a11，q2， ana1qn1(2)n1. 题型二 等比数列的判定与证明 例2 已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首 项为4，公差为2的等差数列， 求证：数列an是等比数列. 解析答案 反思与感悟 证明 由题意知f(an)42(n1)2n2logman， anm2n2， a n1 an m 2n12 m2n2 m2， m0且m1，m2为非零常数，

6、 数列an是等比数列. 解析答案 跟踪训练2 已知数列an的前n项和Sn2an1，求证：an是等比数列， 并求出通项公式. 题型三 构造等比数列求数列的通项公式 例3 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； 解析答案 (2)求数列bn的通项公式. 解析答案 反思与感悟 解 由(1)可知 cn 1 2 1 2 n1 1 2 n， ancn11 1 2 n. 当 n2 时，bnanan11 1 2 n 1 1 2 n1 1 2 n1 1 2 n 1 2 n. 又 b1a11 2，代入上式也符合，bn

7、1 2 n. 解析答案 跟踪训练3 数列an满足a12，an1an6an6(nN*)，设cn log5(an3). (1)求证：cn是等比数列； 证明 由 an1a2 n6an6，得 an13(an3) 2. log5(an13)log5(an3)22log5(an3)， 即cn12cn， 又c1log5510， c n1 cn 2， cn是等比数列. 2 解析答案 (2)求数列an的通项公式. 解 由(1)知， 数列cn是以1为首项，以2为公比的等比数列， cn2n1， 即log5(an3)2n1， an3 . 故an 3. 1 2 5 n 1 2 5 n 解析答案 忽略等比数列中的项的符号

8、致误 易错点 例4 已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成 等比数列，求a2a1 b2 的值. 误区警示 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.在等比数列an中，a2 0158a2 012，则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析 a2 0158a2 012a2 012 q3， q38，q2. A 解析答案 1 2 3 4 5 2.2 3和2 3的等比中项是( ) A.1 B.1 C.1 D.2 解析 (2 3)(2 3)1(1)2， C 解析答案 等比中项为1. 3 若等比数列的首项为9 8， 末项为 1 3， 公比为 2 3， 则这个数列的项数

9、为( ) 1 2 3 4 5 A.3 B.4 C.5 D.6 B 解析答案 解析 设项数为 n，则9 8 ( 2 3) n11 3，n4. 1 2 3 4 5 解析答案 4.若数列an是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有( ) a2 n；a2n；lg an； 1 an ；|an|；can(c 为常数且不等于 0)；an k(k0). A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 解析 、均为等比数列，共5个. B 1 2 3 4 5 解析答案 a3233335，a1a3a2 2， 5.已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？ 解 不是等比数列. a121315，a2223213，

10、 数列an不是等比数列. 课堂小结 1.等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零. (2)an1 an 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母 次序不能颠倒. (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的 前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列. 2.判断一个数列是不是等比数列的常用方法： (1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法. 3.等比中项的理解 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比 中项. (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是 它的前一项与后一项的等比中项. 返回 (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2ab”(a，b均不为0)，可以用 它来判断或证明三数是否成等比数列. 4.等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列. (2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量， 可以求得第四个量.