人教A版必修五数学课件：21.1.1.1　正弦定理(一).pptx

1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一) 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比都相等， 该比值为三角形外接圆的直径. 符号语言 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 答案 正弦 则 a sin A 2R b sin B c sin C 2.正弦定理的常见变形 (1

2、)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R为ABC外接圆的半径. (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R(R 为ABC 外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即abcsin Asin Bsin C. (4) abc sin Asin Bsin C a sin A b sin B c sin C. (5)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B. 3.正弦定理的证明 (1)在RtABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义： sin A ，sin B ， c ， . 答案 a c b c

3、 a sin A b sin B c sin 90 c sin C a sin A b sin B c sin C 答案 (2)在锐角三角形 ABC 中，设 AB 边上的高为 CD，如图， CD ， a sin A b sin B， 同理，作 AC 边上的高 BE，可得 a sin A c sin C， a sin A b sin B c sin C. asin B bsin A 答案 (3)在钝角三角形 ABC 中，C 为钝角，如图， 过 B 作 BDAC 于 D，则 BD ， BD ，故有 asin C ， a sin A c sin C， 同理， a sin A b sin B， a s

4、in A b sin B c sin C. asin(C) asin C csin A csin A 思考 下列有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形； 正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形中，各边与它 所对角的正弦的比是一定值；在ABC中，sin Asin Bsin C BCACAB.其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 正弦定理适用于任意三角形，故均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也 就确定了，所以正确； 由正弦定理可知正确.故选B. B 解析答案 知识点二 解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的

5、对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 思考 正弦定理能解决哪些问题？ 答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角. 元素 解三角形 返回 解析答案 题型探究 重点突破 题型一 对正弦定理的理解 例1 在ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于 正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.abcsin Asin Bsin C B.absin 2Asin 2B D.正弦值较大的角所对的边也较大 解析答案 反思与感悟 C. a

6、 sin A bc sin Bsin C 解析 在ABC 中，由正弦定理得 a sin A b sin B c sin Ck(k0)， 则aksin A，bksin B，cksin C，故abcsin Asin Bsin C，故A正确. 当A30，B60时，sin 2Asin 2B，此时a b，故B错误. 根据比例式的性质易得C正确. 大边对大角，故D正确. B 跟踪训练1 在ABC中，下列关系一定成立的是( ) A.absin A B.absin A C.absin A D.absin A 解析 在ABC中，B(0，)，sin B(0,1， 解析答案 D 1 sin B 1， 由正弦定理 a

7、 sin A b sin B得 a bsin A sin B bsin A. 题型二 用正弦定理解三角形 例2 (1)在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形. 解 A45，C30，B180(AC)105， 解析答案 由 a sin A c sin C得 a csin A sin C 10sin 45 sin 30 10 2. sin 75 sin(30 45 )sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 2 6 4 ， bcsin B sin C csinAC sin C 10sin 75 sin 30 20 2 6 4 5 25 6. B105 ，a10 2，b5

8、25 6. 解析答案 反思与感悟 (2)在ABC 中，已知 c 6，A45 ，a2，解这个三角形. 解 a sin A c sin C， sin Ccsin A a 6sin 45 2 3 2 ， C(0，180)，C60或C120. 当 C60 时，B75 ，bcsin B sin C 6sin 75 sin 60 31； 当 C120 时，B15 ，bcsin B sin C 6sin 15 sin 120 31. b 31，B75 ，C60 或 b 31，B15 ，C120 . 解析答案 跟踪训练 2 (1)在ABC 中，已知 a8，B60 ，C75 ，则 b 等于( ) A.4 2 B

9、.4 3 C.4 6 D.4 解析 易知 A45 ，由 a sin A b sin B得 basin B sin A 8 3 2 2 2 4 6. C 解析答案 (2)在ABC 中，若 a 2，b2，A30 ，则 C . 解析 由正弦定理 a sin A b sin B， 得 sin Bbsin A a 2sin 30 2 2 2 . B(0，180)， B45或135， C1804530105或C1801353015. 105或15 解析答案 题型三 判断三角形的形状 例3 在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断三角形的形状. 解 由已知得a 2sin B cos B b 2s

10、in A cos A ， 由正弦定理得sin 2Asin B cos B sin 2Bsin A cos A . sin A、sin B0，sin Acos Asin Bcos B. 即sin 2Asin 2B. 2A2B或2A2B. AB 2或 AB. ABC为等腰三角形或直角三角形. 反思与感悟 跟踪训练3 在ABC中，bsin Bcsin C且sin2Asin2Bsin2C， 试判断三角形的形状. 解 由bsin Bcsin C，得b2c2， bc，ABC为等腰三角形， 由sin2Asin2Bsin2C得a2b2c2， ABC为直角三角形， ABC为等腰直角三角形. 解析答案 返回 当堂

11、检测 1 2 3 4 5 1.在ABC中，ABc，ACb，BCa，下列等式中总能成立的是( ) A.asin Absin B B.bsin Ccsin A C.asin Ccsin B D.asin Ccsin A 解析答案 解析 由正弦定理 a sin A b sin B c sin C， 得asin Ccsin A. D 6 解析答案 2.在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 2， b 3，B60 ，那么 A 等于( ) A.135 B.90 C.45 D.30 解析 由 a sin A b sin B得 sin A asin B b 2 3 2 3 2 2 ， A45或135. 又ab，A0).