人教A版必修五数学课件：3.4.2　基本不等式的应用习题课.ppt

1、第二课时第二课时 基本不等式的应用习题课基本不等式的应用习题课 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.进一步熟练掌握基本不等式进一步熟练掌握基本不等式, ,能够通过拼凑、变形等利用基本不等能够通过拼凑、变形等利用基本不等 式求最值式求最值. . 2.2.能够利用基本不等式解决实际问题能够利用基本不等式解决实际问题. . 3.3.能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 基本不等式与最值基本不等式与最值 已知已知 x x、y y 都为正数都为正数, ,则有则有 (1)(1)若若 x+

2、y=s(x+y=s(和为定值和为定值),),则当则当 x=yx=y 时时, ,积积 xyxy 取得最大值取得最大值 2 4 s ; ; (2)(2)若若 xy=p(xy=p(积为定值积为定值),),则当则当 x=yx=y 时时, ,和和 x+yx+y 取得最小值取得最小值2p. . 自我检测自我检测 D D 1.(1.(利用基本不等式求代数式的最小值利用基本不等式求代数式的最小值) )若实数若实数 a,ba,b 满足满足 a+b=2,a+b=2,则则 2 2 a a+2 +2 b b 的最的最 小值为小值为( ( ) ) (A)(A)2 (B)2(B)22 (C)2(C)2 (D)4 (D)4

3、 解析解析: :因为因为 a+b=2,a+b=2,所以所以 2 2 a a+2 +2 b b 22 ab =2=22a b =2=2 2 2=4.=4.故故 选选 D.D. 2.(2.(利用基本不等式求代数式的最大值利用基本不等式求代数式的最大值) )设设 x x、y y 满足满足 x+4y=40,x+4y=40,且且 x0,y0,x0,y0,则则 lg x+lg ylg x+lg y 的最大值是的最大值是( ( ) ) (A)40(A)40 (B)10(B)10 (C)4(C)4 (D)2 (D)2 D D 解析解析: :因为因为 x0,y0,x0,y0,所以所以 x+4y=40x+4y=4

4、02 24xy=4=4xy. . 所以所以 xyxy100.100.当且仅当当且仅当 4 , 440 xy xy 即即 x=20,y=5x=20,y=5 时等号成立时等号成立. . 所以所以 lg x+lg y=lg xylg x+lg y=lg xylg 100=2.lg 100=2.故选故选 D.D. 解析解析: :因为因为 00),即即 x=80x=80 时时, ,“= =”成立”成立. . 答案答案: :8080 5.(5.(利用基本不等式求解恒成立问题利用基本不等式求解恒成立问题) )设设 a0,b0,a0,b0,且不等式且不等式 1 a + + 1 b + + k ab 0 0 恒

5、成立恒成立, ,则实数则实数 k k 的最小值等于的最小值等于 . . 解析解析: :由由 1 a + + 1 b + + k ab 0 0 得得 k k- - 2 ab ab , , 而而 2 ab ab = = b a + + a b +2+24(4(当且仅当当且仅当 a=ba=b 时取等号时取等号),),所以所以- - 2 ab ab - -4.4. 因此要使因此要使 k k- - 2 ab ab 恒成立恒成立, ,应有应有 k k- -4 4 恒成立恒成立, , 即实数即实数 k k 的最小值等于的最小值等于- -4.4. 答案答案: :- -4 4 课堂探究课堂探究 对基本不等式的理

6、解对基本不等式的理解 题型一题型一 提示提示: :不一定不一定, ,应用基本不等式求最值时应用基本不等式求最值时, ,必须满足最值成立的条件必须满足最值成立的条件. .例如当例如当 x x(0,(0,) )时时,sin x,sin x 与与 4 sinx 都是正数都是正数, ,且积为定值且积为定值, ,但由但由 02 4 sin sin x x =4,=4,取不到最小值取不到最小值. . 【教师备用教师备用】 两个正数的积为定值两个正数的积为定值, ,它们的和一定有最小值吗它们的和一定有最小值吗? ? 解解: :(1)(1)因为因为 x0.所以所以 y=4xy=4x- -2+2+ 1 45x

7、= =- - (5(5- -4x)+4x)+ 1 54x +3+3- -2 2 1 54 54 x x +3=+3=- -2+3=1,2+3=1, 当且仅当当且仅当 5 5- -4x=4x= 1 54x , ,即即 x=1x=1 时时, ,上式等号成立上式等号成立. .故当故当 x=1x=1 时时,f(x),f(x)max max=1.=1. 【例【例 1 1】 (1) (1)已知已知 x1,求函数求函数 y=y= 2 1 x x 的最小值的最小值. . (2)(2)因为因为 x1,x1,所以所以 x x- -10,10,所以所以 y=y= 2 1 x x = = 2 1 1 1 x x =x

8、+1+=x+1+ 1 1x =x=x- -1+1+ 1 1x +2+22+2=4.2+2=4.当且仅当当且仅当 1 1x =x=x- -1,1,即即 x=2x=2 时时, ,等号等号成立成立, , 所以当所以当 x=2x=2 时时,y,ymin min=4.=4. 题后反思题后反思(1)(1)利用基本不等式求最大值或最小值时应注意利用基本不等式求最大值或最小值时应注意: : x,yx,y一定要都是正数一定要都是正数; ; 求积求积xyxy最大值时最大值时, ,应看和应看和x+yx+y是否为定值是否为定值; ;求和求和x+yx+y最小值时最小值时, ,应看积应看积xyxy 是否为定值是否为定值;

9、 ; 等号是否能够成立等号是否能够成立. . 以上三点可简记为以上三点可简记为“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”. . (2)(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件, ,解题时应对照已知和解题时应对照已知和 欲求的式子运用适当的欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基等方法创建应用基 本不等式的条件本不等式的条件. . 解解: :因为因为 03- -2x0,2x0,所以所以 y=4x(3y=4x(3- -2x)=22x(32x)=22x(3- -2x)2x) 2 2 232 2 xx 2 2= =

10、9 2 . .当且仅当当且仅当 2x=32x=3- -2x,2x,即即 x=x= 3 4 时时, ,等号成立等号成立. . 因为因为 3 4 ( (0,0, 3 2 ) ), ,所以函数所以函数 y=4x(3y=4x(3- -2x)2x)( (03,求求 f(x)=x+f(x)=x+ 4 3x 的最小值的最小值; ; (2)(2)已知已知 x0,y0,x0,y0,且且 2x+3y=6,2x+3y=6,求求 xyxy 的最大值的最大值. . 解解: :(1)(1)因为因为 x3,x3,所以所以 x x- -30,30, 4 3x 0,0,于是于是 f(x)=x+f(x)=x+ 4 3x =x=x

11、- -3+3+ 4 3x +3+3 2 2 4 3 3 x x +3=7,+3=7, 当且仅当当且仅当 x x- -3=3= 4 3x 即即 x=5x=5 时时,f(x),f(x)取到最小值取到最小值 7.7. (2)(2)因为因为 x0,y0,2x+3y=6,x0,y0,2x+3y=6, 所以所以 xy=xy= 1 6 (2x(2x3y)3y) 1 6 ( ( 23 2 xy ) ) 2 2= =1 6 （ 6 2 ） 2 2 = =3 2 , , 当且仅当当且仅当 2x=3y,2x=3y,即即 x=x= 3 2 ,y=1,y=1 时时,xy,xy 取到最大值取到最大值 3 2 . . 题型

12、二题型二 【例【例 2 2】 已知已知 x0,y0,x0,y0,且满足且满足 8 x + + 1 y =1.=1.求求 x+2yx+2y 的最小值的最小值 解解: :法一法一 因为因为 x0,y0,x0,y0, 8 x + + 1 y =1,=1,所以所以 x+2y=x+2y=（ 8 x + + 1 y ）(x+2y)=10+(x+2y)=10+ x y + + 16y x 10+210+2 16xy yx =18,=18,当且仅当当且仅当 81 1, 16 , xy xy yx 即即 12, 3 x y 时时, ,等号成立等号成立, , 故当故当 x=12,y=3x=12,y=3 时时,(x

13、+2y),(x+2y)min min=18.=18. 利用基本不等式求代数式的最值利用基本不等式求代数式的最值 法二法二 因为因为 x0,y0x0,y0 且且 8 x + + 1 y =1,=1,所以所以 y=y= 8 x x , , 所以由所以由 y0y0 8 x x 0,0,又又 x0,x0,所以所以 x8,x8, 则则 x+2y=x+x+2y=x+ 2 8 x x =x+=x+ 2816 8 x x =x+2+=x+2+ 16 8x =(x=(x- -8)+8)+ 16 8x +10+10 2 2 16 8 8 x x +10=18,+10=18,当且仅当当且仅当 x x- -8=8=

14、16 8x , , 即即 x=12(x=12(此时此时 y=3)y=3)时时, ,等号成立等号成立, ,故当故当 x=12,y=3x=12,y=3 时时,(x+2y),(x+2y)min min=18.=18. 法三法三 由由 8 x + + 1 y =1=1 得得 8y+x=xy,8y+x=xy,所以所以(x(x- -8)(y8)(y- -1)=8.1)=8. 所以所以 x+2y=(xx+2y=(x- -8)+2(y8)+2(y- -1)+101)+102 2821xy+10=18.+10=18. 当且仅当当且仅当 x x- -8=2(y8=2(y- -1)1)时取等号时取等号, ,又又 8

15、 x + + 1 y =1,=1,所以所以 x=12,y=3,x=12,y=3, 所以当所以当 x=12,y=3x=12,y=3 时时,x+2y,x+2y 取得最小值取得最小值 18.18. 题后反思题后反思(1)(1)配凑法即通过对式子进行变形配凑法即通过对式子进行变形, ,配凑出满足基本不等式配凑出满足基本不等式 的条件的条件. . (2)(2)通过消元通过消元, ,化二元问题为一元问题化二元问题为一元问题, ,要注意被代换的变量的范围对要注意被代换的变量的范围对 另一个变量范围的影响另一个变量范围的影响. . (3)(3)常见的变形技巧有配凑系数常见的变形技巧有配凑系数; ;变符号变符号

16、; ;拆补项拆补项. .常见形式有常见形式有 f(x)=ax+f(x)=ax+ b x 型和型和 f(x)=ax(bf(x)=ax(b- -ax)ax)型型. . 解解: :因为因为 x0,y0,x0,y0,且且 x+2y=1,x+2y=1,所以所以 8 x + + 1 y =(x+2y)=(x+2y)（ 8 x + + 1 y ） =8+=8+ 16y x + + x y +2=10+2=10+ 16y x + + x y 10+210+216=18,=18, 当且仅当当且仅当 16 , 21, yx xy xy 即即 2 , 3 1 , 6 x y 时时, ,取“取“= =”. . 即即

17、x=x= 2 3 ,y=,y= 1 6 时时, , 8 x + + 1 y 取到最小值取到最小值 18.18. 即时训练即时训练 2 2 1:1:本例中本例中, ,若把 “若把 “ 8 x + + 1 y =1=1” 改为 “” 改为 “x+2y=1x+2y=1” , ,其他条件不变其他条件不变, ,求求 8 x + + 1 y 的的 最小值最小值. . 解析解析: :因为因为 loglog4 4(3a+4b)=log(3a+4b)=log2 2ab, ,所以所以 loglog4 4(3a+4b)=log(3a+4b)=log4 4(ab),(ab),即即 3a+4b=ab,3a+4b=ab,

18、且且 340, 0, ab ab 即即 a0,b0,a0,b0,所以所以 4 a + + 3 b =1(a0,b0),a+b=(a+b)=1(a0,b0),a+b=(a+b) （ 4 a + + 3 b ） =7+=7+ 4b a + + 3a b 7+27+2 43ba ab =7+4=7+43, ,当且仅当当且仅当 4b a = = 3a b 时取等号时取等号, ,故选故选 D.D. 【思维激活】【思维激活】 (2014 (2014 高考重庆卷高考重庆卷) )若若 loglog4 4(3a+4b)=log(3a+4b)=log2 2ab, ,则则 a+ba+b 的最小值是的最小值是 ( (

19、 ) ) (A)6+2(A)6+23 (B)7+2(B)7+23 (C)6+4(C)6+43 (D)7+4(D)7+43 解解: :法一法一 因为因为 x0,y0,xy=4x+y+12x0,y0,xy=4x+y+124 4xy+12,+12,所以所以( (xy) ) 2 2- -4 4 xy- -12120,0, 所以所以( (xy- -6)(6)( xy+2)+2)0,0,所以所以xy6,6,当且仅当当且仅当 4x=y4x=y 时取等号时取等号. . 由由 4x=y4x=y 且且 xy=4x+y+12,xy=4x+y+12,得得 x=3,y=12.x=3,y=12.此时此时 xyxy 有最小

20、值有最小值 36.36. 法二法二 由由 xy=4x+y+12,xy=4x+y+12,得得 y=y= 124 1 x x 0,0,所以所以 x1,x1,代入代入 xyxy 得得 xy=xy= 124 1 x x x (x1).(x1). 令令 t=xt=x- -10,10,得得 xy=xy= 441tt t = = 16 t +4t+20+4t+202 2 16 4t t +20=36.+20=36. 当且仅当当且仅当 16 t =4t,=4t,即即 t=2t=2 时取等号时取等号, ,即即 x=3,y=12x=3,y=12 时时,xy,xy 有最小值有最小值 36.36. 【备用例【备用例

21、2 2】已知已知 x0,y0,x0,y0,且且 xy=4x+y+12,xy=4x+y+12,求求 xyxy 的最小值的最小值. . 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 题型三题型三 【例【例 3 3】 某农户准备建造一间某农户准备建造一间 12 m12 m 2 2 的背面靠墙的矩形小屋的背面靠墙的矩形小屋, ,由于地理位置的限由于地理位置的限 制制, ,屋子的侧面长度屋子的侧面长度 x(x(单位单位:m):m)不得超过不得超过 a m.a m.屋子的正面造价为屋子的正面造价为 400 400 元元/m/m 2 2, ,侧面 侧面 造价为造价为 150 150 元元/m/m 2 2, ,屋

22、顶和地面的造价共 屋顶和地面的造价共 58005800 元元. .已知墙高为已知墙高为 3 m,3 m,且不计屋子背且不计屋子背 面的费用面的费用. . (1)(1)将总造价将总造价 y y 表示成表示成 x x 的函数的函数; ; (2)(2)若总造价的最小值为若总造价的最小值为 g(a),g(a),求求 g(a)g(a)的解析式的解析式. . 解解: :(1)(1)依题意依题意,y=3,y=3( (1501502x+2x+ 12 x 400400) )+5800=900+5800=900( (x+x+ 16 x ) )+5800(00)表示的曲线上表示的曲线上, ,其中其中k k与发射方向

23、有关与发射方向有关. .炮的射程是指炮的射程是指 炮弹落地点的横坐标炮弹落地点的横坐标. . (1)(1)求炮的最大射程求炮的最大射程; ; (2)(2)设在第一象限有一飞行物设在第一象限有一飞行物( (忽略其大小忽略其大小),),其飞行高度为其飞行高度为 3.23.2 千米千米, ,试问它的试问它的 横坐标横坐标 a a 不超过多少时不超过多少时, ,炮弹可以击中它炮弹可以击中它? ?请说明现由请说明现由. . 解解: :(1)(1)令令 y=0,y=0,得得 kxkx- - 1 20 (1+k(1+k 2 2)x )x 2 2=0, =0,由实际意义和题设条件知由实际意义和题设条件知 x0

24、,k0,x0,k0, 故故 x=x= 2 20 1 k k = = 20 1 k k 20 2 =10,=10,当且仅当当且仅当 k=1k=1 时取等号时取等号. . 所以炮的最大射程为所以炮的最大射程为 1010 千米千米. . (2)(2)因为因为 a0,a0,所以炮弹可击中目标所以炮弹可击中目标 存在存在 k0,k0,使使 3.2=ka3.2=ka- - 1 20 (1+k(1+k 2 2)a )a 2 2 成立成立 关于关于 k k 的方程的方程 a a 2 2k k2 2- -20ak+a 20ak+a 2 2+64=0 +64=0 有正根有正根 判别式判别式=(=(- -20a)2

25、0a) 2 2- -4a 4a 2 2(a (a 2 2+64) +64)0 0 a a6.6. 所以当所以当 a a 不超过不超过 6 6 千米时千米时, ,可击中目标可击中目标. . 利用基本不等式求解恒成立问题利用基本不等式求解恒成立问题 题型四题型四 【例【例 4 4】 已知两个正数已知两个正数 x x、y y 满足满足 x+y=4,x+y=4,求使不等式求使不等式 1 x + + 4 y m m 恒成立的实数恒成立的实数 m m 的的 取值范围取值范围. . 解解: :因为因为 x+y=4,x+y=4,所以所以 4 x + + 4 y =1,=1, 所以所以 1 x + + 4 y

26、= =( ( 1 x + + 4 y ) )( ( 4 x + + 4 y ) )= = 1 4 + + 4 y x + + x y +1=+1= 5 4 + + 4 y x + + x y 5 4 +2+2 4 yx x y = = 5 4 +2+2 1 2 = = 9 4 , ,当且仅当当且仅当 , 4 4, yx xy xy 即即 4 , 3 8 3 x y 时时, ,取“取“= =”, , 要使要使 1 x + + 4 y m m 恒成立恒成立, ,只需只需 m m 9 4 即可即可, ,故故 m m 的取值范围是的取值范围是( (- -, , 9 4 . . 题后反思题后反思 af(

27、x)af(x)恒成立恒成立af(x)af(x)max max;af(x) ;af(x)恒成立恒成立af(x)af(x)max max; ; af(x)af(x)恒成立恒成立af(x)af(x)min min;a0, 所以所以(a+b+c)(a+b+c)（ 1 a + + 1 bc ）=2+=2+ bc a + + a bc 2+22+2 bca abc =4,=4, 当且仅当当且仅当 bc a = = a bc , ,即即 a a 2 2=(b+c) =(b+c) 2 2 时取“时取“= =”, ,要使要使(a+b+c)(a+b+c)( ( 1 a + + 1 bc ) )k k 恒成立恒成立, ,只需只需 k k4 4 即可即可, ,故故 k k 的最大值为的最大值为 4.4. 即时训练即时训练 4 4 1:1:设设 a,b,ca,b,c(0,+(0,+),),若若(a+b+c)(a+b+c)( ( 1 a + + 1 bc ) )k k 恒成立恒成立, ,则则 k k 的的 最大值是最大值是 . . 答案答案:4:4 点击进入课时作业点击进入课时作业 点击进入周练卷点击进入周练卷 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!