拓展题型-二次函数综合题课件.ppt
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1、拓展题型拓展题型 二次函数综合题二次函数综合题拓展一拓展一 二次函数与线段和差问题二次函数与线段和差问题拓展二拓展二 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题拓展三拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题二次函数与特殊四边形判定问题拓展一拓展一 二次函数与线段和差问题二次函数与线段和差问题 典例精讲例例1 如图,抛物线如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与与x轴交于点轴交于点A、B(1,0),与,与y轴交于点轴交于点C,直线,直线y=x-2经过点经过点A、C.抛抛物线的顶点为物线的顶点为D,对称轴为直线对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式;求抛物线的解析式;【思维教练思维教练】已知直
2、线已知直线y=x-2经过经过点点A、C,结合题干,可求得,结合题干,可求得A、C两两点的坐标,结合点的坐标,结合B(1,0),代入抛物线,代入抛物线y=ax2+bx+c(a0)求解即可;求解即可;1212例例1题图题图121252抛物线解析式为抛物线解析式为y=-x2+x-2;解解:对于直线:对于直线y=x-2,令,令y=0,得得x=4,令令x=0,得,得y=-2,点点A(4,0),点),点C(0,-2),),将将A(4,0),),B(1,0),),C(0,-2)代入抛物线解析)代入抛物线解析式,得式,得 解得解得125216a+4b+c=0a+b+c=0c=-2,a=-b=c=-2,例例1题
3、图题图【思维教练思维教练】要求顶点要求顶点D的坐标和对称轴的坐标和对称轴l,需知抛物,需知抛物线的顶点式,线的顶点式,(1)中已求得抛物线的一般式,直接化为中已求得抛物线的一般式,直接化为顶点式即可得到点顶点式即可得到点D的坐标和对称轴的坐标和对称轴l;(2)求顶点)求顶点D的坐标与对称轴的坐标与对称轴l;例例1题图题图解:由抛物线解:由抛物线y=-x2+x-2,得,得y=-(x2-5x)-2=-(x-)2+,抛物线顶点抛物线顶点D的坐标为(的坐标为(,),),对称轴对称轴l为直线为直线x=;125212521298529852例例1题图题图【思维教练思维教练】已知点已知点E在在x轴上,则设轴
4、上,则设E点坐标为(点坐标为(e,0),要要求点求点E的坐标,已知的坐标,已知AE=CE,需先分别用含,需先分别用含e的式子表示出的式子表示出AE和和CE,由于,由于A点坐标(点坐标(1)中已求得,则)中已求得,则AE4-e,由题图由题图可知点可知点O、E、C三点可构成三点可构成RtCOE,结合,结合C点坐标,利用点坐标,利用勾股定理即可表示出勾股定理即可表示出CE的式子,建立方程求解即可;的式子,建立方程求解即可;(3)设点)设点E为为x轴上一点,且轴上一点,且AE=CE,求点,求点E的坐标;的坐标;例例1题图题图例例1题解图题解图在在Rt COE中,根据勾股定理得中,根据勾股定理得CE2=
5、OC2+OE2=22+e2,AE=CE,(4-e)222+e2,解得解得e=,则点则点E的坐标为(的坐标为(,0);3232E解:如解图,由点解:如解图,由点E在在x轴上,可设点轴上,可设点E的坐标为的坐标为(e,0),),则则AE=4-e,连接,连接CE,(4)设点)设点G是是y轴上一点,是否存在点轴上一点,是否存在点G,使得使得GD+GB的值的值最小,若存在,求出点最小,若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;的坐标;若不存在,请说明理由;例例1题图题图【思维教练思维教练】线段之和最小值问题即线段之和最小值问题即“最短路径问题最短路径问题”,解决这类问题最基本的定理就是解决这类问题最
6、基本的定理就是“两点之间线段最短两点之间线段最短”,即已知一条直线和直线同旁的两个点,要在直线上找一点,即已知一条直线和直线同旁的两个点,要在直线上找一点,使得这两个点与这点连接的线段之和最小,解决问题的方使得这两个点与这点连接的线段之和最小,解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问,要使如此问,要使GD+GB的值最小,先找点的值最小,先找点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B,再连接再连接BD,BD与与y轴的交点即为所求的轴的交点即为所求的G点,求直线点,求直线BD的解析式,的解析式,再求其与再求其与y轴的交点即可;轴的交点即可;设直线设直线BD 的
7、解析式为的解析式为y=kx+d(k0),其中),其中D(,),则则 解得解得直线直线BD的解析式为的解析式为y=x+,令,令x=0,得得y=,点点G的坐标为(的坐标为(0,);例例1题解图题解图5298-k+d=0 k+d=,5298k=d=,928928928928928928解:存在解:存在.如解图,取点如解图,取点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B,则点,则点B的的坐标为(坐标为(-1,0).连接连接BD,直线,直线BD与与y轴的交点轴的交点G即为所求即为所求的点的点.BG(5)在直线)在直线l上是否存在一点上是否存在一点F,使得,使得BCF的周长最小,的周长最小,若存在,求出点若存在,
8、求出点F的坐标及的坐标及BCF周长的最小值;若不存在,周长的最小值;若不存在,请说明理由;请说明理由;例例1题图题图【思维教练思维教练】要使要使BCF的周长最小,因的周长最小,因为为BC长为定值,即要使长为定值,即要使CF+BF的值最小,的值最小,由点由点A,B关于直线关于直线l对称,可知对称,可知AC与与l的交点的交点为点为点F,即可使得,即可使得CF+BF最小,将最小,将x=代代入直线入直线AC的解析式,即可求得的解析式,即可求得F点的坐标,点的坐标,在在RtAOC中可得中可得AC的长,在的长,在RtOBC中可得中可得BC的长,的长,即可得到即可得到BCF周长的最小值;周长的最小值;52在
9、在RtOBC中,中,OB=1,OC=2,由勾,由勾股定理得股定理得BC=为定值,为定值,当当BF+CF最小时,最小时,CBCF最小最小.点点B与点与点A关于直线关于直线l对称,对称,AC与对称轴与对称轴l的交点即为所求的点的交点即为所求的点F,将将x=代入直线代入直线y=x-2,得,得y=-2=-,点点F的坐标为(的坐标为(,-).例例1题解图题解图2212=552521212345234解:存在,要使解:存在,要使BCF的周长最小,即的周长最小,即BC+BF+CF最小,最小,如解图所示如解图所示.F在在RtAOC中,由中,由AO=4,OC=2,根据勾股定理得,根据勾股定理得AC=2 ,BCF
10、周长的最小值为周长的最小值为BC+AC=+2 =3 ;5555例例1题解图题解图F【思维教练思维教练】要使要使SD-SB的值最大,则的值最大,则需分两种情况讨论:需分两种情况讨论:S、B、D三点不三点不共线时构成三角形,由三角形三边关系共线时构成三角形,由三角形三边关系得到得到SD-SBBD;当三点共线时,有;当三点共线时,有SD-SB=BD.从而得到当点从而得到当点S在在DB的延长的延长线上时满足条件,求出直线线上时满足条件,求出直线BD的解析式的解析式后,再求出直线后,再求出直线BD与与y轴的交点坐标即可;轴的交点坐标即可;(6)在)在y轴上是否存在一点轴上是否存在一点S,使得,使得SD-
11、SB的值最大,的值最大,若存在,求出点若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由的坐标;若不存在,请说明理由;例例1题图题图当当S与与DB不在同一条直线上时,不在同一条直线上时,由三角形三边关系得由三角形三边关系得SD-SBBD,当当S与与DB在同一条直线上时,在同一条直线上时,SD-SB=BD,SD-SBBD,即当,即当S在在DB的延长线上时,的延长线上时,SD-SB最大,最大值为最大,最大值为BD.设直线设直线BD的解析式为的解析式为y=mx+n,由由B(1,0),),D(,),得),得例例1题解图题解图5298S解:存在解:存在.如解图,延长如解图,延长DB交交y轴于点轴于点S.m+n
12、=0 m+n=,m=解得解得 ,n=-直线直线BD的解析式为的解析式为y=x-,当当x=0时时,y=-,即当点即当点S的坐标为(的坐标为(0,-)时,)时,SD-SB的值最大;的值最大;5298343434343434例例1题解图题解图S(7)若点)若点H是抛物线上位于是抛物线上位于AC上方的一上方的一点,过点点,过点H作作y轴的平行线,交轴的平行线,交AC于点于点K,设点设点H的横坐标为的横坐标为h,线段,线段HKd.求求d关于关于h的函数关系式;的函数关系式;求求d的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标;点的坐标;例例1题图题图【思维教练思维教练】平行于平行于y轴的两点之间的距离为此两点的
13、纵坐轴的两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值,如此问,要求标之差的绝对值,如此问,要求d关于关于h的函数关系式,由的函数关系式,由题可得点题可得点H的横坐标为的横坐标为h,分别将,分别将h代入抛物线及直线代入抛物线及直线AC的解析式中,即可得到点的解析式中,即可得到点H、K的纵坐标,再由点的纵坐标,再由点H在点在点K的上方,可得到的上方,可得到d关于关于h的函数关系式;利用二次函数的的函数关系式;利用二次函数的性质求最值,即可得性质求最值,即可得HK的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标;点的坐标;点点H的坐标为(的坐标为(h,-h2+h-2),),HKy轴,交轴,交AC于于K,点点K的
14、坐标为(的坐标为(h,h-2),),点点H在点在点K的上方,的上方,HK=d=(-h2+h-2)-(h-2)=-h2+2h(0h4);由由d=-h2+2h=-(h2-4h)=-(h-2)2+2可知,可知,当当h=2时,时,d最大,最大,024,符合题意,符合题意,当当h=2时,时,d最大,最大值为最大,最大值为2,此时点此时点H的坐标(的坐标(2,1););例例1题解图题解图52125212121212121212HK解:如解图解:如解图,点点H在抛物线上,点在抛物线上,点H的横坐标为的横坐标为h,(8)设点)设点P是直线是直线AC上方抛物线上一点,当上方抛物线上一点,当P点与直线点与直线AC
15、距离最大时,求距离最大时,求P点的坐标,并求出最大距离是多少?点的坐标,并求出最大距离是多少?例例1题图题图【思维教练思维教练】要求要求P点的坐标及点的坐标及P点到点到AC的的最大距离,可根据三角形相似,确定对应最大距离,可根据三角形相似,确定对应边的最大值即可,通过作边的最大值即可,通过作PTy轴交轴交AC于于L,作作PQAC于点于点Q,证明,证明PLQACO,得到得到PQ与与PL的比等于的比等于AO与与AC的比,即可的比,即可得到得到PQ与与PL的关系的关系,再由(再由(7)得到)得到PL的最的最大值,即可得到大值,即可得到PQ的最大距离及此时的的最大距离及此时的P点坐标点坐标.PLQ=A
16、CO,PQL=AOC=90,PLQACO,,,设设P点的横坐标为点的横坐标为t,由(由(7)知)知PL=-t2+2t,例例1题解图题解图422 55PQAOPLAC2 55PQPL12解:如解图,过点解:如解图,过点P作作PTy轴,交轴,交AC于于L,作,作PQAC于点于点Q,PTLQ当且仅当当且仅当t=2时时,PL取最大值取最大值2,当当t=2时,时,PQ取最大距离取最大距离 ,此时点此时点P的坐标为(的坐标为(2,1).2 54 5255PTLQ拓展二拓展二 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题例例2 如图,在平面直角坐标系如图,在平面直角坐标系xOy中,直线中,直线y=x+3
17、与与x轴相交轴相交于点于点A,与与y轴相交于点轴相交于点C,点,点B在在x轴的正半轴上,且轴的正半轴上,且AB=4,抛物线抛物线y=ax2+bx+c经过点经过点A,B,C.(1)求抛物线的解析式;求抛物线的解析式;例例2题图题图【思维教练思维教练】要求抛物线的解析式,要求抛物线的解析式,需知过抛物线的三点需知过抛物线的三点A、B、C的坐标,的坐标,利用直线利用直线y=x+3求得求得A、C两点的坐标,两点的坐标,结合已知的结合已知的AB=4,求得,求得B点坐标,代入求解即可;点坐标,代入求解即可;典例精讲解解:对于:对于y=x+3,当,当x=0时,时,y=3;当当y=0时,时,x=-3,A(-3
18、,0),),C(0,3),),AB=4,B(1,0),),抛物线抛物线y=ax2+bx+c经过点经过点A(-3,0),),B(1,0),),C(0,3),),解得,解得 ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;9a-3b+c=0a+b+c=0c=3a=-1b=-2c=3例例2题图题图【思维教练思维教练】要求要求ABC的面积,需知的面积,需知ABC的一条边的的一条边的长度和这条边上高的长度,由于长度和这条边上高的长度,由于ABC的边的边AB已知,底已知,底边边AB上的高为上的高为OC,即为点,即为点C的纵坐标,代入面积计算公的纵坐标,代入面积计算公式即可求解;式即可求解;(2)求
19、)求ABC的面积;的面积;解:解:点点C坐标为坐标为(0,3),OC=3,SABC=ABOC=43=6;1212例例2题图题图【思维教练思维教练】QAE与与CBE的底边的底边AE=BE,要使两三角形面积相等,故,要使两三角形面积相等,故只要高相等,只要高相等,CBE底边底边BE的高为的高为3,点点Q的纵坐标为的纵坐标为3和和-3时,满足条件,时,满足条件,分别代入抛物线解析式即可求解;分别代入抛物线解析式即可求解;(3)点)点D为抛物线的顶点,为抛物线的顶点,DE是抛物线的对称轴,点是抛物线的对称轴,点E在在x轴上,在抛物线上存在点轴上,在抛物线上存在点Q,使得使得QAE的面积与的面积与CBE
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