拉格朗日中值定理及应用课件.ppt
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- 关 键 词:
- 拉格朗日 中值 定理 应用 课件
- 资源描述:
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1、3.3.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理3.3 (拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得)()()(fabafbf 3.3 拉格朗日中值定理及其应用拉格朗日中值定理及其应用若函数若函数 f(x)满足满足:ab1 2 xoy)(xfy ABCD几何解释几何解释:分析分析:化为罗尔定理的结论形式化为罗尔定理的结论形式,0)()()(xxabafbfxf使得使得欲证存在欲证存在),(ba 在曲线弧在曲线弧AB上至少上至少有一点有一点C,在
2、该点处的切在该点处的切线平行于弦线平行于弦AB.证证 作辅助函数作辅助函数xabafbfxfxF )()()()(,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,0)()()(abafbff).)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.0)(F使得使得即即或或,),()(内可导内可导在在设设baxf)10(,)()()(xxxfxfxxfy则有则有),(,baxxx 推论推论1 设设,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续在在babaxf.,)(,0)(上上恒恒为为常常数数在在则则若若baxfxf ,)(21条条件件上上满满
3、足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xxxf证证,21baxx )(),)()()(211212xxxxfxfxf ,0)(,0)(fxf由由),()(21xfxf.)(为为常常数数即即xf,21xx 不妨设不妨设例例1 证明当证明当.4arcsin2111arctan,1 xxxx有有时时证证,40arcsin1arctan)0(fC221121)1(211211111)(xxxxxxxf )1,1(,)(xCxf),1,1(,0 x)1,1(,arcsin2111arctan)(xxxxxf令令1,4arcsin2111arctan xxxx 而而故故,1lnln1bbabaa ).0(,
4、ln babbabaaba例例2 证明证明),(ab 所以所以证证,)(条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在abxf).0(,ln babbabaaba令令,ln)(xxf,1)(xxf ,111ba 由由.lnln1)(babaf 使得使得故故证证21,0cos 上单调减少上单调减少在在又又x12coscos.)(,cossinsin21111212xxxxxx 命题得证命题得证.)(,cossinsin32222323xxxxxx ,0321时时 xxx,sin3221条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xxxxx23231212sinsinsinsinxx
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