人教B版必修3数学课件：1.3 中国古代数学中的算法案例.ppt

1、路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索 人教人教B版版 必修必修3 第一章第一章 算法初步算法初步 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 算法初步算法初步 第一章第一章 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.3 中国古代数学中的算法案例中国古代数学中的算法案例 第一章第一章 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课前自主预习课前自主预习 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B

2、版版 数学数学 必修必修3 韩信是秦末汉初的著名军事家据说有一次汉高祖刘邦在 卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个 报数，就能知道场上的士兵的人数，韩信先令士兵排成3列纵 队，结果有2个人多余；接着下令将队形改为5列纵队，这一 改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人 无法成整行在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确 的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2 333人众人 听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果 的. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.求两个正整数最大

3、公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法) 用两数中较大的数减去较小的数，再用_和_ 构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下 去，直到产生_，这个数就是最大公约数 差数 较小的数 一对相等的数 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)用“等值算法”求最大公约数的程序 ainput“please give the first number”； binput“please give the second number”； ab if ab ； else ； end print%io2，a，b； while aab b

4、ba end 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近_的算法是计算 圆周率的一种方法 3秦九韶算法 (1)把一元n次多项式P(x)anxnan1xn1a1xa0改 写为 P(x)anxnan1xn1a1xa0 (anxn1an1xn2a1)xa0 (anxn2an1xn3a2)xa1)xa0 (anxan1)xan2)xa1)xa0， 圆的面积 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 令 vk(anxan1)xan(k1)xank， 则

5、递推公式为 ，其中 k1,2，n. (2)计算 P(x0)的方法 先计算_，然后_逐层计算，直到 _，然后加上_ v0an vkvk1xank 最内层的括号 由内向外 最外层括号 常数项 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是 ( ) A秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数， 使计算量减少，并且逻辑结构简单 B秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快 了计算的速度 C秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低 了计算的速度 D秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而

6、是与系 数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 答案 C 解析 对于一元n次多项式使用秦九韶算法仅需做乘法n 次，加法 n 次，而直接求和法需做nn1 2 次乘法，n 次加法， 所以是加快了计算的速度 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是 _的实际值( ) A大于等于 B小于等于 C等于 D小于 答案 D 解析 用割圆术法求出的是的不足近似值，故选D. 第一章第一章 1.3 高中新课程

7、高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3用更相减损之术求88与24的最大公约数为( ) A2 B7 C8 D12 答案 C 解析 (88,24)(64,24)(40,24)(24,16)(16,8) (8,8)，故88与24的最大公约数为8. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 4三个数72、120、168的最大公约数是_ 答案 24 解析 (72,120,168)(72,120,168120)(72,120,48) (72,12072,48)(72,48,48)(7248,48,48)(24,48,

8、48) (24,4824,48)(24,24,48)(24,24,4824)(24,24,24) 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 5用秦九韶算法计算f(x)9x63x54x46x3x28x 1，当x3时的值，需要进行_次乘法和_次加 法运算 答案 6 6 解析 f(x)(9x3)x4)x6)x1)x8)x1， 乘法及加法运算都是6次 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 6(2015河北成安县一中高一月考)用秦九韶算法求多项 式f(x)2x55x44x33x26x7

9、当x5时的值 解析 f(x)2x55x44x33x26x7(2x5)x 4)x3)x6)x7， x5时，有v0a52， v1v0xa42555， v2v1xa355421， v3v2xa22153108， v4v3xa110856534， v5v4xa0534572 677. 当x5时，多项式的值为2 677. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课堂典例讲练课堂典例讲练 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 求80和36的最大公约数 解析 803644， 44368，

10、36828， 28820，20812， 1284，844. 80和36的最大公约数是4. 点评 当大数减小数的差等于小数时停止减法，较小的 数就是两数的最大公约数 用更相减损术求两个正整数的最大 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 用更相减损术分别求下列两组数的最大公约数： (1)78与36； (2)1 515与600. 解析 (1)(78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24) (6,18)(6,12)(6,6)，故78与36的最大公约数为6. (2)1 515600915,915600315,60031528

11、5,315 28530,28530255,25530225,22530195,19530 165,16530135,13530105,1053075,753045,45 3015,301515，故1 515与600的最大公约数是15. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 用辗转相除法求546与429的最大公约数. 解析 5461429117， 429311778， 11717839， 78239， 故546与429的最大公约数为39. 点评 用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减 损术虽然步骤较长，但运算简单 用辗转相除法求两

12、个正整数的最大公约数 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 用辗转相除法求288和123的最大公约数 解析 288212342， 12324239， 421393， 39133， 故3就是288和123的最大公约数. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 用秦九韶算法求多项式f(x)x50.11x30.15x 0.04当x0.3时的值 解析 将f(x)写为： f(x)x50x40.11x30x20.15x0.04. 由秦九韶算法的递推公式，得 v01， v1v00.300

13、.3， v2v10.30.110.2， 用秦九韶算法求多项式的值 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 v3v20.300.06， v4v30.30.150.132， v5v40.30.040.079 6， 所以当x0.3时，多项式的值为0.079 6. 点评 (1)用秦九韶算法求多项式的值，首先要将多项式 改写，然后由内向外逐次计算. 由于下一次计算要用到上一次 的结果，故应认真、细心，确保每个中间结果的准确性 (2)当多项式中有几项不存在时，可将这几项的系数看成是 0，即0xn. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习

14、指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 已知函数f(x)x32x25x6，用秦九韶算法求f(10)的 值 解析 由秦九韶法，得 f(x)x32x25x6 (x22x5)x6 (x2)x5)x6， 当x10时，f(10)(102)105)106 (8105)106 75106756. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 求三个数319、377、116的最大公约数 分析 三个数的最大公约数分别是每个数的约数，因此 也是任意两个数的最大公约数的约数，也就是说三个数的最大 公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约

15、 数 求三个正整数的最大公约数 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 解法一：(辗转相除法) 先求319与377的最大公约数 377319158,31958529,58292， 319与377的最大公约数是29. 再求29与116的最大公约数 116294， 29与116的最大公约数为29， 319、377、116的最大公约数是29. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解法二：(更相减损术) 先求319与377的最大公约数 37731958,31958261，

16、26158203,20358145， 1455887,875829,582929， 319与377的最大公约数是29. 再求29与116的最大公约数 1162987,872958,582929， 29与116的最大公约数是29， 319、337、116的最大公约数是29. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 求出三个数1 734、816、1 343的最大公约数 解析 解法一：(辗转相除法) 先求1 734和816的最大公约数， 1 7348162102,8161028， 所以1 734与816的最大公约数为102. 再求102与1

17、 343的最大公约数， 1 3431021317,102176， 所以1 343与102的最大公约数为17， 即1 734,816,1 343的最大公约数为17. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解法二：(更相减损术) 1 734816918；918816102；816102714；714 102612；612102510；510102408；408102 306；306102204；204102102. 所以1 734和816的最大公约数为102. 再求102和1 343的最大公约数 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课

18、程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1 3431021 241；1 2411021 139；1 1391021 037；1 037102935；935102833；833102731；731 102629；629102527；527102425；425102 323；323102221；221102119；11910217；102 1785；851768；681751；511734；341717. 所以1 343与102的最大公约数为17， 即1 734、816、1 343的最大公约数为17. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版

19、 数学数学 必修必修3 求375、85的最小公倍数 解析 先求最大公约数，37585435,85352 15,351525,15530. 375与85的最大公约数是5，375与85的最小公倍数是 (37585)56 375. 点评 求两个正整数的最小公倍数，即利用它们的积除 以它们的最大公约数本题求法可推广到求多个数的情况 求两个正整数的最小公倍数 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 求80与36的最小公倍数 解析 先求最大公约数 803628， 36844420， 80与36的最大公约数为4. 80与36的最小公倍数是(8036

20、)4720. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 易错疑难辨析易错疑难辨析 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 用秦九韶算法求多项式 f(x)x55x410x3 10x25x1，当 x2 时的值 错解 f(x)x55x410x310x25x1(x1)5， f(2)(21)51. 辨析 虽然最终求得 f(2)1 的结果是对的，但这不 是秦九韶算法，没有按要求完成题目 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 正解

21、 改写多项式 f(x)(x5)x10)x10)x5)x1， 所以v01， v1v0xa43， v2v1xa34， v3v2xa22， v4v3xa11， v5v4xa01， f(2)1. 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 思想方法技巧思想方法技巧 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 方程思想 盈不足术是我国古代数学中的优秀算法 九章算 术卷七盈不足，有下列问题： (1)今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人 数、物价各几何？ (2)今有人买鸡，人出九，盈十一

22、；人出六，不足十六，问 人数、物价各几何？ 试编写程序解决上述问题 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 翻译为现代语言，即 (1)一些人共同买东西，若每人出八元钱，则多三元钱；若 每人出七元钱，则少四元钱，问有多少钱，物价又是多少？设 人数是 x，物价为 y，则 8x3y 7x4y ，解得 x7 y53 .故共有 7 人，物价为 53 元 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 相应的程序为： i1； while 8*i37*i4 ii1； end y8*i3； print(%io(2)，i，y)； 第一章第一章 1.3 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)类似于(1)的研究设人数为 x，鸡的价钱为 y 元 则 9x11y 6x16y ，解得 x9 y70 . 故共有 9 人，鸡的价钱为 70 元 相应的程序为： i1； while 9*i116*i16 ii1； end y9*i11； print(%io(2)，i，y)；