人教B版必修2数学课件：1.2.2.1 空间中的平行关系.ppt

1、-1- 1.2.2 空间中的平行关系 -2- 第第1课时课时 平行直线、直线与平面平行平行直线、直线与平面平行 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间 中线线平行、线面平行的相关公理、定 理和性质. 2.理解空间平行线的传递性,并会证明空 间等角定理. 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性 质定理,并能利用以上定理解决空间中 的相关平行性问题. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难

2、点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.平行直线 (1)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性. 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那 么这两个角相等. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方 向都相反,那么这两个角的大小关系怎样?若方向一同一反呢? 提示:如果一个角的两边和另一个角的两边

3、分别平行,且方向相反,那么 这两个角相等;方向一同一反时,这两个角互补. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.空间四边形 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2空间四边形的对角线之间有何关系? 提示:两条对角线是异面直线.若是共面的,则四个顶点共面,四边形就 为平面图形了. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练

4、习 4.直线与平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种: 位置 关系 直线 a 在 平面 内 直线 a 与 平面 相交 直线 a 与 平面 平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 符号表示 a a=A a 图形表示 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3若直线 a 与平面 不平行,则直线 a 就与平面 内的任何 一条直线都不平行吗? 提示:不是.若直线 a 与平面 不平行,则直线 a 与平面 相交或 a , 当 a 时, 内有直线与直线 a 平行.

5、JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 5.直线与平面平行的判定定理及性质定理 定理 判定 性质 条件 不在一个平面内的一条直 线和平面内的一条直线平 行 一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交 结论 这条直线和这个平面平行 这条直线和两平面的交线平行 图形 语言 符号 语言 l ,m ,lml l,l ,=mlm JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 4如果一条直线与一个平面平行,那么这

6、条直线与这个平面 中直线的关系如何? 提示:一条直线与一个平面平行,它可以与平 面内的无数条直线平行,这无数条直线是一组平 行线.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,因为 A1C1AC,所以 A1C1平面 ABCD.在平面 ABCD 内所有与 AC 平行的直线,由基本性质 4 知都应与 A1C1平 行,这样的直线显然有无数多条,但直线 A1C1并不是和这个面内的所有直线 都平行,在平面 ABCD 中,所有与 AC 相交的直线与 A1C1的位置关系都是异 面.由此说明:直线与平面平行即直线与平面无公共点,则直线与平面内的任 意直线都无公共点,直线与平面内的直线有且仅有两种位置关系:平行

7、和异 面. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 基本性质 4 的应用 基本性质 4 说明把平行线的传递性推广到空间也能成立,这个基本性 质是判断两条直线平行的重要方法之一,其关键在于寻找联系所证两条平 行直线的第三条直线.此外,我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 如

8、图所示,已知 E,F 分别 是空间四边形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中 点,G,H 分别是边 CD 与 AD 上靠近 D 的三等 分点,求证:四边形 EFGH 是梯形. 思路分析:要证明四边形 EFGH 是梯形, 只需证一组对边平行且不相等即可.通过本题 条件可知,利用平面的基本性质 4 即可解决. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 证明:在ABC 中,因为 E,F 分别是 AB,BC 边上的中点, 所以 EF1 2AC. 又在ACD 中,G,H 分别

9、是 CD,AD 边上的三等分点, = = 1 3,所以 GH1 3AC. 所以 EFGH,且 EFGH, 即四边形 EFGH 是梯形. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 等角定理的应用 证明角相等的常用方法有: (1)利用题设中的条件,将要证明的两个角放在两个三角形中,利用三角 形全等或三角形相似证明两个角相等. (2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证 明角相等,可考虑两个角的两边,可利用定理证明这两个角的两边分别对应 平行且方

10、向相同或相反,从而达到目的. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 (1)空间中有一个A 的两边和另一个B 的两边分别 平行,A=70 ,则B= . 解析:因为A 的两边和B 的两边分别平行, 所以A=B 或A+B=180 . 又A=70 ,所以B=70 或 110 . 答案:70 或 110 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三

11、探究四 探究五 (2)已知 E,E1分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 AD,A1D1的中点.求 证:BEC=B1E1C1. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:如图所示,连接 EE1, 因为 E1,E 分别为 A1D1,AD 的中点, 所以 A1E1AE. 所以四边形 A1E1EA 为平行四边形, 所以 A1AE1E. 又因为 A1AB1B, 所以 E1EB1B, 所以四边形 E1EBB1是平行四边形, 所以 E1B1EB. 同理 E1C1EC.

12、 又BEC 与B1E1C1对应边方向相同,所以BEC=B1E1C1. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 直线与平面平行的判定定理 1.应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一 不可. 2.要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行.应用时,只 需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.简单地说,线线线面. 3.在题目中出现中点时,常见的证线线平行的两种途径. (1)中位线线线平行. (2)平行四边形线线平行. ZHONG

13、DIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 一木块形状如图所示,点 P 在平 面VAC内,过点 P将木块锯开,使截面平行于直线 VB 和 AC,应该怎样画线? 思路分析:可考虑利用线面平行的判定定理分 析“目标线”的画法. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:如图,在平面 VAC 内经过点 P 作 EFAC,且 与 VC 的交

14、点为 F,与 VA 的交点为 E.在平面 VAB 内, 经过点 E 作 EHVB,与 AB 交于点 H.在平面 VBC 内, 经过点 F 作 FGVB,与 BC 交于点 G,连接 GH,则 EF,FG,GH,HE 为截面与木块各面的交线. 证明如下:因为 EHVB,FGVB, 所以 EHFG,可知 E,H,G,F 四点共面. 因为 VB 平面 EFGH,EH 平面 EFGH, 所以 VB平面 EFGH. 同理可证 AC平面 EFGH. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四

15、 探究五 点评证明线面平行时,先在平面内找与已知直线平行的直线,若 找不到,再添加辅助线.添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形,添加的辅 助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 直线与平面平行的性质定理的应用 1.性质定理可作为直线和直线平行的判定方法.应用时,需要经过已知 直线找平面(或作平面)与已知平面相交,以平面为媒介证明线线平行. 2.定理中的三个条件:(1)直线a平面;(2)平面,相交,即=b;(3) 直

16、线 a 在平面 内.缺一不可. 定理的应用流程可表示如下: ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 如图,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面, 若截面为平行四边形. (1)求证:AB平面 EFGH,CD平面 EFGH; (2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 周长的取值范围. 思路分析:(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明;(2)利用图形 相似的性质来求边长. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页

17、JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)证明:因为四边形 EFGH 为平行四边形, 所以 EFHG.因为 HG 平面 ABD,EF 平面 ABD,所以 EF平面 ABD. 因为 EF 平面 ABC,平面 ABD平面 ABC=AB, 所以 EFAB,易得 AB平面 EFGH.同理,CDEH,所以 CD平面 EFGH. (2)设 EF=x(0x4),由于四边形 EFGH 为平行四 边形,EFAB,CDEH, 所以 CDFG, = 4. 故 6 = = - =1- 4.从而 FG=6- 3 2x. ZHONGDIA

18、N NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 于是四边形 EFGH 的周长为 l=2 + 6- 3 2 x =12-x. 又 0x4,所以 8l12, 即四边形 EFGH 周长的取值范围为(8,12). 点评线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用:先通过线线 平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续 推下去,我们可称为平行链,如下: 线线平行线面平行 线线平行 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITA

19、NG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:将 b 与 b 等同而致误 【典型例题 5】 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那 么另一条直线也平行于这个平面. 已知:直线 ab,a平面 ,a,b .求证:b. 错解:因为直线 ab,所以 a 与 b 无公共点. 又因为 a平面 ,所以 a 与平面 也无公共点, 又 b ,所以 b 与 无公共点,所以 b. 错因分析:b 包含 b 和 b=M 两种情况,上面证明误认为 b 即意味着 b 而致错. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识

20、SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 正解:如图所示,过 a 及平面 内一点 A 作平面 , 设 =c.因为 a,所以 ac. 因为 ab,所以 bc.因为 b ,c ,所以 b. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评条件中有 a,为了利用直线和平面平行的性质定理,因此 过 a 作平面 与 相交,这里我们把平面 称为辅助平面,它可以起到桥梁 作用,作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段. 和平面几何中添加辅助

21、线一样,在构造辅助平面时,一定要确认这个平 面是存在的.在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据 作出辅助平面的. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.若AOB=A1O1B1,且 OAO1A1,OA 与 O1A1的方向相同,则下列结论中 正确的是( ) A.OBO1B1且方向相同 B.OBO1B1 C.OB 与 O1B1不平行 D.OB 与 O1B1不一定平行 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONG

22、DIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.已知下列叙述: 一条直线和另一条直线平行,那么它就和经过另一条直线的任何平面平 行; 一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公 共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行; 若直线 l 与平面 不平行,则 l 与 内任一直线都不平行; 与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:一条直线和另一条直线平行,那么它就在经过这两条直线的平面内, 错;一条直线平行于一个平面,这个平面内的直线可能与它异面,错;对于 ,直线有可能在平面内. 答案:A S

23、UITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.如图,点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点,若 AC=BD,且 AC 与 BD 成 90 角,则四边形 EFGH 是( ) A.菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.在正方体 ABCD-ABCD中,AE=AE,AF=AF. 求证:E

24、FEF,且 EF=EF. 证明:连接 EE,FF, 可得矩形 AAFF和矩形 EEAA. 由此可得 EEAAFF. 所以四边形 EEFF 是平行四边形.所以 EFEF. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH,求证:APGH. 证明:如图所示,连接 AC,BD 交于点 O,连接 MO. 因为 ABCD 是平行四边形, 所以 O 是 AC 的中点. 又 M 是 PC 的中点, 所以 OMAP. 又 AP 平面 BDM,OM 平面 BDM, 所以 AP平面 BDM. 又 AP 平面 APGH,平面 APGH平面 BDM=GH,所以 APGH.