人教A版高中选修2-2数学课件：2.3 数学归纳法.ppt

1、2.3 数学归纳法 我是我是 一毛一毛 我是我是 二毛二毛 我是我是 三毛三毛 我是我是 谁？谁？ 我不是我不是 四毛！四毛！ 我是小我是小 明！明！ 猜：四猜：四 毛！毛！ 1.1.了解数学归纳法的原理了解数学归纳法的原理. . 2.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. . （重点、难点）（重点、难点） 探究点探究点 数学归纳法的原理与定义数学归纳法的原理与定义 问题问题1:1:口袋中有口袋中有4 4个吃的东西，如何证明它们都是个吃的东西，如何证明它们都是 糖？糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法

2、. . 完全归纳法完全归纳法 11 21 1 ,. n nn n a aaa a 问问题题 ：对对于于数数列列若若 （1 1）求出数列前）求出数列前4 4项项, ,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？ （2 2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？ 1 1 a *)( 1 Nn n an猜想数列的通项公式为：猜想数列的通项公式为： 2 1 2 a 3 1 3 a 解解: : 4 1 4 =a 不完全归纳法不完全归纳法 从一类对象中的部分对从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法种性质的归纳推理方

3、法 9 1 9 =a 7 1 7 =a 8 1 8 =a 验证验证: : 5 1 5 =a 6 1 6 =a 逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！ 能否通过有限个步骤的推理，证明能否通过有限个步骤的推理，证明n n取所有正整数都取所有正整数都 成立？成立？ 数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？ 多米诺骨牌多米诺骨牌 数学归纳法的第一步：先证明数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成取第一个值时命题成 立立. 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步：假设当数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，

4、时命题成立， 并证明当并证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第相当于多米诺骨牌第k张倒后第张倒后第k+1张是否也会跟着倒张是否也会跟着倒. 1.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的 问题问题. . 2.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个 的情况的情况. . 多米诺骨牌与我们要解决的问题多米诺骨牌与我们要解决的问题2 2有相似性吗？有相似性吗？ 相似性体现在哪些方面呢？相似性体现在哪些方面呢？ 上述上述2 2，事实上给出了一个递推关系，换言之就，事实上给出了一个递推关系，换言

5、之就 是假设第是假设第k k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1k+1块也倒下块也倒下. . 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上 述问题述问题2 2猜想的结论吗？猜想的结论吗？ 猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为 . 1 n an 证明证明: : (1)(1)当当 ,1时=n 猜想成立猜想成立. . , 1 1 1 1 =a (2)(2) ,猜想成立时假设当kn . 1 k ak即 那么那么, ,当当 ,1时+= kn= + k k a a 1 = + k k 1 1 1 1 1 +k .,1猜想也成立时即当kn = +1k a 根据根

6、据(1)和和(2)，猜想对于任何，猜想对于任何 都成立都成立. * Nn 一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n n有关的命题，可有关的命题，可 按下列步骤进行：按下列步骤进行： 1.1.（归纳奠基（归纳奠基) )证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (n n0 0 N N* *) )时命题时命题 成立成立. . 2.2.（归纳递推）假设当（归纳递推）假设当n=k(n=k(knkn0 0， ，k k N N* *) )时命题成立， 时命题成立， 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从只要完成这两个步骤

7、，就可以断定命题对于从 n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. . 这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法. . 若若n = k ( k n n0 0) 时命题成立，时命题成立， 证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立. 验证验证n=n0时时 命题成立命题成立. 命题对从命题对从n n0 0开始所有开始所有 的正整数的正整数n 都成立都成立. 归纳奠基归纳奠基 归纳递推归纳递推 数学归纳法：数学归纳法： 两个步骤两个步骤 一个结论一个结论 缺一不可缺一不可 例例1 1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 ).( 6 ) 12)(1( 321 *2222

8、 Nn nnn n 证明：证明： （1）当）当n=1时，时， 左边左边=12=1, 右边右边= 1 等式成立等式成立 (2)假设当假设当n=k( )时等式成立时等式成立,即即 . 6 ) 12)(1( 321 2222 kkk k 那么那么,当当n=k+1时时 22222 ) 1(321+kk 2 ) 1( 6 ) 12)(1( k kkk 6 ) 1(6) 12)(1( 2 + = kkkk kN* 6 )672)(1( 2 + = kkk 6 ) 32)(2)(1(+ = kkk . 6 1) 1(21) 1)(1( kkk 即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立. 根据根据(1)和和

9、(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立. * Nn 即即n=k+1n=k+1时等式成立时等式成立. . 所以等式对一切自然数所以等式对一切自然数 均成立均成立. . nN 【总结提升总结提升】 问题问题1 1：甲同学猜想：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：用数学归纳法证明步骤如下： 112531 2 nn 证明：证明：假设假设n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2 1 3 5(23)(21)1kkk 那么那么 1 35(21)(21)kk 22 1(21)(1)1kkk 上述证法是正确的吗？为什么？上述证法是正确的吗？为什么？ 2 135(23)(21)1 上上述述证证明

10、明是是错错误误的的, ,事事实实上上命命题题 本本身身是是错错误误的的 当当n =1n =1时时, ,左左边边 =1,=1,右右边边 = 0= 0 左左边边右右边边 nnn 结论结论1 1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失第一步是递推的基础，缺少了第一步就失 去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证， 可有可无可有可无. . 问题问题2 2：乙同学用数学归纳法证明：乙同学用数学归纳法证明 如采用下面证法，对吗？为什么？如采用下面证法，对吗？为什么？ 2 12531nn 11,.n （1 1）当当时时 左左边边证证：右右边边明明 2 1 321.

11、nkkk （2 2）假假设设当当时时，等等式式成成立立，即即 1nk则则时时， 2 1 121 1 3211 2 kk kk 1.nk即即时时等等式式也也成成立立 .nN 根根据据(1)(1)和和（2 2），可可知知等等式式对对任任何何都都成成立立 结论结论2 2：在第二步中在第二步中, ,证明证明n=k+1n=k+1命题成立时命题成立时, ,必须用到必须用到 n=kn=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设, ,否则就打破数学归纳法步否则就打破数学归纳法步 骤之间的逻辑严密关系骤之间的逻辑严密关系, ,造成推理无效造成推理无效. . 2 2 135(21)(21) (21)1 kk kk

12、k 上述证明没有用到n=k命题成立这一归纳假设 正解： 计算计算S S1 1，S S2 2，S S3 3，S S4 4，根据计算，根据计算 结果，猜想结果，猜想S Sn n的表达式，并用数学归纳法进行证明的表达式，并用数学归纳法进行证明. . ) 13)(23( 1 nn 例例2 2 已知数列已知数列 41 1 74 1 107 1 ， ， ， ， ， ， 解：解： . 13 4 1310 1 10 3 ; 10 3 107 1 7 2 ; 7 2 74 1 4 1 ; 4 1 41 1 4 3 2 1 S S S S 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分可以看到，上面表示四个结果的分数中，

13、分 子与项数子与项数n n一致，分母可用项数一致，分母可用项数n n表示为表示为3n+1,3n+1,于是于是 可以猜想可以猜想 . 13 n n Sn 下面我们用数学归纳法证明这个猜想下面我们用数学归纳法证明这个猜想. . (1)(1)当当n=1n=1时，时， 1 1 4 S左左边边， 11 313 1 14 n n 右右边边， 猜想成立猜想成立. . 1,kkN （）(2)(2)假设假设n=k n=k 时时, , 猜想成立，即猜想成立，即 1111 1 44 77 1032)(31)31 k kkk （ 那么那么 11111 1 44 77 1032)(31)31)(34)kkkk （ 所以

14、，当所以，当n=k+1n=k+1时时, ,猜想也成立猜想也成立. . )43)(13( 1 13 kkk k )43)(13( 143 2 kk kk 对对 * * 根根据据(1)和(1)和(2)，(2)，可可知知猜猜想想任任何何nN 都nN 都成成立立. . 例例3 3 求证求证: :( (n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 3 (2n 1 3 (2n- -1)1) 1.1.已知三角形内角和为已知三角形内角和为180180，四边形的内角和为四边形的内角和为 360360，五边形的内角和为，五边形的内角和为540540，于是有：凸，于是有：凸n n边边

15、形的内角和为形的内角和为(n(n- -2)1802)180，若用数学归纳法证，若用数学归纳法证 明，第一步验证明，第一步验证n n取第一个正整数时命题成立，则取第一个正整数时命题成立，则 第一个正整数取值为第一个正整数取值为_ 3 3 2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明 （a1），在验证），在验证n=1等式成立时等式成立时 ，左边应取的项，左边应取的项 是是_. 2 21 1 1 1 n n a aaa a 3.3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n3(2n- -1)1)时，在证明时，在证明n=k+1

16、n=k+1时：左边代数式时：左边代数式 为为 ， 共有共有 项，从项，从k k到到k+1k+1左边需要增乘的代左边需要增乘的代 数式为数式为_. _. 2 1aa (k+1)+1(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)(k+1)+2(k+1)+(k+1) k+1k+1 2 2（2k+1)2k+1) 证明证明: (1)当当n=1时时,左边左边= , 2 1 21 1 1)1( 1 32 1 21 1 k k kk 1111 1 22 3(1)(1) (2) 11 1(1) (2)(1) 1 kkkk kk kkkk (2)假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即 2

17、1 11 1 右边右边= 此时，原等式成立此时，原等式成立. 那么那么n=k+1时时, 这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立. 由由 (1)(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. ).( 1) 1( 1 32 1 21 1 . 4 * Nn n n nn 证明： 5.5.是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式: : 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立, ,并证明你的结论并证明你的结论. . 22222222 12nan +n12nan +n +=+= 1 33 5(2n -1)(2n+1)bn+21 33 5(2n

18、-1)(2n+1)bn+2 点拨点拨: :对这种类型的题目对这种类型的题目, ,一般先利用一般先利用n n的特殊值的特殊值, , 探求出待定系数探求出待定系数, ,然后用数学归纳法证明它对一然后用数学归纳法证明它对一 切正整数切正整数n n都成立都成立. . 解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得 311 ,. 10324 aba abb 所以 以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: : 2222 * 12 () 1 33 5(21)(21)42 . nnn nN nnn (2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确, ,即即: : 22222222 12kk

19、+k12kk +k +=.+=. 1 33 5(2k -1)(2k+1)4k+21 33 5(2k -1)(2k+1)4k+2 则当则当n=k+1n=k+1时时, , 22222222 222222 2 2 2222 12k(k+1)12k(k+1) + 1 33 5(2k1)(2k+1) (2k+1)(2k+3)1 33 5(2k1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k +k(k+1)k(k+1)(2k+3)+2(k+1)k +k(k+1)k(k+1)(2k+3)+2(k+1) =+=+= 4k+2(2k+1)(2k+3)2(2k+1)(2k+3)4k+2(2k+1)(2k+3)2(2

20、k+1)(2k+3) (k+1)(2k +3k+2k+2)(k+1)(2k+1)(k+2)(k+1)(2k +3k+2k+2)(k+1)(2k+1)(k+2) = 2(2k+1)(2k+3)2(2k+1)(2k+3)2(2k+1)(2k+3)2(2k+1)(2k+3) k +3k+2(k+1) +(k+1)k +3k+2(k+1) +(k+1) = 4k+64(k+4k+64(k+ . . 1)+21)+2 故当故当n=k+1n=k+1时时, ,结论也正确结论也正确. . 根据根据(1)(1)、(2)(2)知知, ,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确. . (1)(1)当当n=1

21、n=1时时, ,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确. . 1.1.数学归纳法的一般步骤：数学归纳法的一般步骤： 若若n = k ( k n n0 0) 时命题成立，时命题成立， 证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立. 验证验证n=n0时时 命题成立命题成立. 命题对从命题对从n n0 0开始所有开始所有 的正整数的正整数n 都成立都成立. 归纳奠基归纳奠基 归纳递推归纳递推 两个步骤两个步骤 一个结论一个结论 缺一不可缺一不可 2.2.应用数学归纳法要注意以下几点：应用数学归纳法要注意以下几点： （1 1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如 空中楼阁，是不可靠的空中楼阁，是不可靠的. . （2 2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二 步，只能是不完全归纳法步，只能是不完全归纳法. . （3 3）n n0 0是使命题成立的最小正整数，是使命题成立的最小正整数，n n0 0不一定取不一定取1， 也可取其他一些正整数也可取其他一些正整数. . （4 4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称 作数学归纳法作数学归纳法. . 如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐； 如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨.