微积分(不定积分)课件.ppt
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- 微积分 不定积分 课件
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1、第四章第四章 不定积分不定积分 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 基本积分公式基本积分公式 换元积分法 分部积分分部积分 微积分这门课程,主要包括微分学和积分学。在上微积分这门课程,主要包括微分学和积分学。在上学期我们已经学习了微分学,即已知一个函数学期我们已经学习了微分学,即已知一个函数 ,如,如何求出其导数何求出其导数 的问题。本章我们开始学习微分的的问题。本章我们开始学习微分的反运算,亦即已知一个函数的导数反运算,亦即已知一个函数的导数 ,如何求出,如何求出 的问题,这一过程称为积分。的问题,这一过程称为积分。()f x()fx()fx()f x例如,已知某工厂生产例如,已知某工
2、厂生产 单位某种产品的边际成本单位某种产品的边际成本为为x()210C xx求总成本函数求总成本函数()C x这个问题就是求这个问题就是求 的积分的过程的积分的过程()C x4-1 4-1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以所以sec x是是sec x tan x 的一个原函数的一个原函数.定义定义 设设f(x)在某在某区间上区间上有有定义定义,如果对该区间的任意,如果对该区间的任意点点x都有都有 F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx则称则称F(x)为为 f(x)在该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.1 原函
3、数的概念原函数的概念 例如例如:,是函数是函数 在在 上的原函数上的原函数.,sin x是是cos x在在 上的原函数上的原函数.(,)32()3xx x233x(,)(sin)cos x x (2)(2)如果如果f(x)在某区间上存在原函数,那么原函数在某区间上存在原函数,那么原函数不是唯一的不是唯一的,且有无穷多个且有无穷多个(1)(1)如果函数在区间上连续,则它的原函数一定存在如果函数在区间上连续,则它的原函数一定存在例如例如在在 上上 是是 的原函数的原函数(,)sin1,sin2xxsin xcos xsin1,sin3xx也是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都
4、是 的原函数的原函数.sinxcosx (3)若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上存在原函数,则其任上存在原函数,则其任意两个原函数只差一个常数项意两个原函数只差一个常数项.而而注注:定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f(x)在在区间区间 I 上上的一个原函数,的一个原函数,那么那么f(x)的全体的全体原函数原函数F(x)C(C为任意常数为任意常数)称为称为f(x)在在区间区间 I 上上的不定积分的不定积分.记作记作()df xx其中记号其中记号 称为积分号称为积分号,f(x)称为被积函数,称为被积函数,f(x)dx称称为被积表达式,为被积表达式,x 称为积分变量,称为积分变量
5、,C为积分常数为积分常数.()d()f xxF xC,即即2.不定积分的概念不定积分的概念注意:不定积分为全体原函数注意:不定积分为全体原函数F(x)C例例2 求求21d.1xx21(arctan)()1 ,x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 求求4d.xx545由由于于,xx解解54d.5所所以以xxCx例例3 求求1d.xx,1)1(1)(1)ln(0 xxxxxx 时,有当解解10(ln).xx x当时,有1dln (0).xxCxx所所以以ln x1dln().xxCx又又ln0,ln()0,xxxx当当1dln (0)xxCxx3 3 不定积分
6、与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.(1)()d()d()d()df xx f xf xxf xx或或,特别地,有特别地,有d.xx C(2)()d()d()()f xxf xCf xf xC或或,4 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面.()d()dkf xxkf xx(0).kk 是常数,性质性质2可以推广到有限多个函数的情形,即可以推广到有限多个函数的情形,即nnxxxxxxxxxxffffff1212()()()d ()d()d()d.性
7、质性质2 两个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差),即,即 ()()d()d()d.f xg xxf xxg xx例例4 求求32543)d.(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐项积分后,每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后,每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数,因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数,因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 4-2 4-2
8、基本积分公式基本积分公式(6)sin dcosxxxC(1)d kxkxCd(3)ln|.xxCx(5)d.eexxxC 1(2)d (1).1xxxC (4)d.lnxxxCaaa 基本积分公式基本积分公式 22d(8)csc d cot.sinxxxxCx(10)sec tan dsec.xxxxC(7)cos dsin.xxxC22d(9)sec dtan.cosxxxxCx(11)csc cot dcsc.xxxxC21(12)darcsin 1xxCx21(13)darctan1xxCx arccos.xC arccot.xC练习:计算下列积分练习:计算下列积分31(1)d.(2)d
9、.(3)2 d.(4)d.xxx xxxexx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1)313.22111 211CxCx(3)22 dln2xxxC(4).xxxC dee例例5 某公司测定出生产某公司测定出生产 件某种产品的边际成本件某种产品的边际成本 为为x()C x()210C xx求总成本函数求总成本函数()C x解:解:应用积分来求成本函数应用积分来求成本函数()()C xC x dx(210)xdx210 xxC().C其中 是常数.xexC1)d(xxe21(1)(1)dd11xxxxxxxeeeee解解21d.1xxxee例例6 求求c
10、os2d.sincosxxxx sincos.xx C例例7求求cos2dsincosxxxx解解(cossin)xx dx 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型,但有些积分在基本积分公式中没有相应的类型,但经过对被积函数的适当变形,化为基本公式所列函数经过对被积函数的适当变形,化为基本公式所列函数的积分后,便可逐项积分求得结果的积分后,便可逐项积分求得结果 (cossin)(cossin)dsincosxxxxxxx22cos2cossinxxx练习:计算下列积分练习:计算下列积分2(1)d.(2)(1 2)d.(3)cosd.xxxx xexx x3121312Cx(1 2)d(2)xx
11、ex解解32d (1)dx xxxx1l.(2)n2xxeeCe (3)2cos x x d522.5Cxxa2cos22cos1xx12(cos21xx)d12xC14()d2xxeexsin2x12作业:作业:P138 1,(,(3)()(8)()(12)作业:计算下列积分作业:计算下列积分232cos(1)d.(2)d.(3)sind.1 sin2xxxx xxxx22cos1 sin(1 sin)(1 sin)ddd1 sin1 sin1 s n(2)i xxxxxxxxxx解解372d (1)dxx xxx(1 sin)dxx(3)2sin2xx d922.9Cx2cos212sin
12、xx 1122sin xxCcosxxC1(1 cos)d2xx4-3 4-3 换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的方法,不定积分作为微分法的逆运算,也有相应方法,不定积分作为微
13、分法的逆运算,也有相应的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后,换元积分法。通常根据换元的先后,把换元法分成第一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数,设置中间变量利用复合函数,设置中间变量.过程过程令令xt2,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法xCx2cos2sin21 说明结果正确说明结果正确 ()d()()f uu F uCux,如果具有连
14、续导数,则 有 ()()d()d()fx x xfxx 定理定理1设设 该公式称为不定积分的第一换元积分公式,应用该公式称为不定积分的第一换元积分公式,应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 ()FxC 凑微分法的基本思路:凑微分法的基本思路:与基本积分公式相比较,将不同的部分与基本积分公式相比较,将不同的部分中间变量中间变量和和积分变量积分变量变成相同变成相同步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量应用定理应用定理1 1求不定积分的步骤为求不定积分的步骤为()d
15、()()d()d()g xxfxxxfxx凑微分()d()()()()f uuF uCFxCxuux变量代换还原 微分的基本公式:微分的基本公式:CC()(1)d0 为为常常数数1(2)d ()为为常常数数axxa(4)e dxx 1(5)d xx(7)sin d x x(3)d (01)xaxa,a(6)cos d x xxd xCd()1d axa1dln xaadexdln xdsin xdcos x21(8)d1 xxdarcsinx21(9)d1 xxarctandx例例1 1 求求.231dxx 解解32,uxdxx 231112duud(3)ln|.xxCx2,dudx1,2dx
16、du1ln2uC1ln 322xC一般地一般地 dxbaxf)(1()f u duuaxba例例2 2 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 12ln,ux 2(ln),dudx,)106(3000900022xxxdxdpdxxxxdxxpxp22)106(30009000)()(22261500(610)xdxxx)106()106(1500222xxdxxCxx212)106(2111500.)106(150012Cxx 已知某公司出售现已知某公司出售现x单位产品的边际利润函数是单位产品的
17、边际利润函数是求总利润函数求总利润函数.例例3 3解:由不定积分的性质可知解:由不定积分的性质可知2(610)d xx26xdx练习:求下列不定积分练习:求下列不定积分2008d.(31)xx.cos11 dxx2008d.(31)xx d31 d 20082008)13(uxux于是有131d3ddd3uxuxxu令,得,解解uud31=200820091132009Cu20091(31).6027xC解解.cos11 dxx11 cosdxxCx 2tan212cos2dxx2cos22cos1xx221cos2xdx解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1c
18、os1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx1cotsinxCx 221cossinsinxdxdxxxcsccot.xxC2cos2sin2tanxxx xxcos1cos1 xx22cos1)cos1(xxsincos1 xxcotcsc 1cossinsinxxx例例4dxxa 221解解dxxa 221dxxaxa )(1 dxxaxaa1121Cxaxaa|ln|ln21Cxaxaa|ln21)(1)(121xadxaxadxaa1cosdxxsecxdx2coscosxdxx21(sin)1 sindxx111sin21
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