平面向量的数量积及应用举例课件.ppt

1、第三节平面向量的数量积及应用举例(全国卷5年5考)【知识梳理【知识梳理】1.1.向量的夹角向量的夹角(1)(1)定义定义:已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,作作 则则_=_=叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角.OAOB,，abAOB AOB(2)(2)范围范围:向量夹角向量夹角的范围是的范围是_._.当当a与与b_时时,=0,=0;a与与b_时时,=180,=180;a与与b_时时,=90,=90.0 0180180同向同向反向反向垂直垂直2.2.平面向量的数量积平面向量的数量积定义定义已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b,是是a与与b的夹角的夹角,则则_叫做叫做a与与b的数量积

2、的数量积,记作记作ab.几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影|b|cos|cos 的乘积的乘积|a|b|cos|cos 3.3.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)(1)ab=ba.(2)(2)(a)b=(=(ab).).(3)(3)(a+b)c=ac+bc.4.4.平面向量数量积的有关结论平面向量数量积的有关结论已知非零向量已知非零向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),=结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示向量的模向量的模|a|=|=|a|=_|=_ 夹角余弦夹

3、角余弦coscos=coscos=a a2211xya b|a|b|121222221122x xy yxyxy结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示ab充充要条件要条件ab=_=_=0_=0|ab|与与|a|b|的关系的关系|ab|a|b|x|x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2|0 0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 222221122xyxy【常用结论【常用结论】(1)(1)两向量两向量a与与b为锐角为锐角ab00且且a与与b不共线不共线.(2)(2)两向量两向量a与与b为钝角为钝角ab00,0,则则a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角;ab0,0,0,则则a与与

4、b的夹角为锐角或零角的夹角为锐角或零角;ab0,0,则则a与与b的夹角为钝角或平角的夹角为钝角或平角.(4).(4).由向量的数量积由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算向量的加法、减法、数乘运算的定义可知的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数两个向量的数量积结果为一实数,两个向量两个向量的和或差结果为向量的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量向量的数乘运算结果为向量.2.2.在在ABCABC中中,若若 则则 的值的值为为 ()BC BA2AC ABCA CB，sin Asin C123A.2 B.C.D.222【解析【解析】选选A.A.设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B

5、,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c,由由 得得acac +2bc2bc =ab =ab ,化简可得化简可得a=c.a=c.由正弦定理得由正弦定理得 BC BA2AC ABCA CB，222acb2ac222bca2bc222abc2ab2sin Aa2.sin Cc3.3.设向量设向量a=(log=(log2 23,m),3,m),b=(log=(log3 34,-1),4,-1),且且ab,则则m m的值的值为为_._.【解析【解析】由题设由题设lolog g2 23 3lolog g3 34-m=0,4-m=0,则则m=m=lolog g2 23 3lolog g3 34

6、=4=2.=2.答案答案:2 2lg 3lg 4lg 2lg 3题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修4P108A4P108A组组T2T2改编改编)在在ABCABC中中,AB=3,AC=2,BC=,AB=3,AC=2,BC=,则则 的值为的值为()10BA AC 3223A.B.C.D.2332【解析【解析】选选A.A.在在ABCABC中中,由余弦定理得由余弦定理得coscos A=A=所以所以 =|cos(=|cos(-A)=-|-A)=-|coscos A=-3 A=-32 2 =-.=-.222222ACABBC23(10)1.2 AC AB2 2 34 BA AC BA A

7、C BA AC 14322.(2.(必修必修4P108A4P108A组组T7T7改编改编)已知两个非零向量已知两个非零向量a,b,满足满足a(a-b)=0,)=0,且且2|2|a|=|=|b|,|,则则=()A.30A.30B.60B.60C.120C.120D.150D.150【解析【解析】选选B.B.由题知由题知a2 2=ab,而而coscos=所以所以=60=60.22|1|2|2，a baa ba考点一平面向量数量积的基本概念及运算考点一平面向量数量积的基本概念及运算【题组练透【题组练透】1.(20181.(2018全国卷全国卷)已知向量已知向量a,b满足满足|a|=1,|=1,ab=

8、-1,=-1,则则a(2(2a-b)=)=()A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.0D.0【解析【解析】选选B.B.因为因为|a|=1,|=1,ab=-1,=-1,所以所以a(2(2a-b)=)=2 2a2 2-ab=2=21-(-1)=3.1-(-1)=3.2.2.设单位向量设单位向量e1 1,e2 2的夹角为的夹角为 ,a=e1 1+2+2e2 2,b=-3=-3e2 2,则则a在在b方向上的投影为方向上的投影为()233 3333 3A.B.C.D.2222【解析【解析】选选B.B.由题意可得由题意可得:e1 1e2 2=1=11 1cos =-,cos =-,ab=(=(e1 1+

9、2+2e2 2)(-)(-3e2)=-3)=-3e1 1e2 2-6 =-,|-6 =-,|a|=|=,|,|b|=3,|=3,据此可得据此可得:a在在b方向上的投影方向上的投影为为 231222e92212(2)3ee932.32 3.3.已知已知A(-2,0),B(2,0),A(-2,0),B(2,0),动点动点P(x,yP(x,y)满足满足 =x =x2 2,则动点则动点P P的轨迹为的轨迹为()A.A.椭圆椭圆B.B.双曲线双曲线C.C.抛物线抛物线D.D.两条平行直线两条平行直线PA PB【解析【解析】选选D.D.因为动点因为动点P(x,yP(x,y)满足满足 =x =x2 2,所以

10、所以(-2-x,-y)(-2-x,-y)(2-x,-y)=x(2-x,-y)=x2 2,所以点所以点P P的轨迹方程为的轨迹方程为y y2 2=4,=4,即即y=y=2,2,所以动点所以动点P P的轨迹为两条平行的直线的轨迹为两条平行的直线.PA PB4.4.已知点已知点M(1,0),A,BM(1,0),A,B是椭圆是椭圆 +y+y2 2=1=1上的动点上的动点,且且 =0,=0,则则 的取值范围是的取值范围是()A.A.B.1,9B.1,9C.C.D.D.2x4MA MBBA MA 213，293，633，【解析【解析】选选C.C.由由 =0,=0,可得可得 =(-)=|-)=|2 2,设设

11、A(2cos,sinA(2cos,sin),),则则|2 2=(2cos-1)(2cos-1)2 2+sin+sin2 2=3cos=3cos2 2-4cos+2=3 -4cos+2=3 +,+,所以当所以当coscos=时时,|,|2 2取得最小值取得最小值 ,当当coscos=-1=-1时时,|,|2 2取得最大值取得最大值9,9,故故 的取值范的取值范围为围为 .MA MBBA MA MA MA MBMA MA 22(cos)32323MA 23MA BA MA 293，5.(20175.(2017全国卷全国卷)已知平面向量已知平面向量a与与b的夹角为的夹角为6060,=2,|=2,|b

12、|=1,|=1,则则|a+2+2b|=|=()A.A.B.2 B.2 C.4C.4D.12D.12|a33【解析【解析】选选B.B.由题得由题得,|,|a+2+2b|2 2=a2 2+4+4ab+4+4b2 2=4+4=4+42 21 1cos 60cos 60+4=12.+4=12.所以所以|a+2+2b|=2 .|=2 .3【一题多解【一题多解】选选B.B.利用如下图形利用如下图形,可以判断出可以判断出a+2+2b的模的模长是以长是以2 2为边长的菱形对角线的长度为边长的菱形对角线的长度,则为则为2 .2 .36.6.已知两个单位向量已知两个单位向量a,b的夹角为的夹角为6060,c=t=

13、ta+(1-t)+(1-t)b.若若bc=0,=0,则则t=_.t=_.【解析【解析】由题意由题意,将将bc=t=ta+(1-t)+(1-t)b b整理得整理得t tab+(1-t)+(1-t)b2 2=0,=0,又因为又因为ab=,=,所以所以t=2.t=2.答案答案:2 212【规律方法【规律方法】平面向量数量积的计算方法平面向量数量积的计算方法已知向量已知向量a,b的模及夹角的模及夹角,利用公式利用公式ab=|a|b|cos|cos 求解求解;已知向量已知向量a,b的坐标的坐标,利用数量积的坐标形式求解利用数量积的坐标形式求解.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题对于向量数量积与线性运

14、算的综合运算问题,可先利可先利用数量积的运算律化简用数量积的运算律化简,再进行运算再进行运算.考点二向量的数量积在平面几何中的应用考点二向量的数量积在平面几何中的应用【典例【典例】(1)(1)在在ABCABC中中,A=60,A=60,AB=3,AC=2.,AB=3,AC=2.若若 =2 ,=(R2 ,=(R),),且且 =-4,=-4,则则的的值为值为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号BD DC AE ACAB AD AE【解析【解析】=3 =32 2cos 60cos 60=3,=3,=则则 =3+3+4-4-9-9-3=-43=-4=.=.答案答案:AC AB AD 12ABAC,33

15、12AD AE(ABAC)(ACAB)33 3231323311311(2)(2)已知已知O,N,PO,N,P在在ABCABC所在平面内所在平面内,且且|=|=|,|=|=|,=0,=0,且且 ,则点则点O,N,PO,N,P依依次是次是ABCABC的的世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.A.重心外心垂心重心外心垂心B.B.重心外心内心重心外心内心C.C.外心重心垂心外心重心垂心D.D.外心重心内心外心重心内心(注注:三角形的三条高线交于一点三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心此点为三角形的垂心)OAOB OC NANBNC PA PBPB PCPC PA 【解析【解析】选选C.C.由由

16、|=|=|=|=|知知,O,O为为ABCABC的外的外心心;由由 =0=0知知,N,N为为ABCABC的重心的重心;因为因为 ,所以所以()()=0,=0,所以所以 =0,=0,所以所以 ,即即CAPB,CAPB,同理同理APBC,CPAB,APBC,CPAB,所以所以P P为为ABCABC的垂心的垂心.OAOB OC NANBNC PA PBPB PC PAPC PBCA PB CAPB【规律方法【规律方法】1.1.平面向量在平面几何中数量积的三种求法平面向量在平面几何中数量积的三种求法(1)(1)利用定义求解利用定义求解.(2)(2)利用向量的坐标运算求解利用向量的坐标运算求解.(3)(3

17、)利用向量数量积的几何意义求解利用向量数量积的几何意义求解.2.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)(1)利用运算律结合图形先化简再运算利用运算律结合图形先化简再运算.(2)(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相相等还是互补等还是互补).).【拓展【拓展】三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示在三角形在三角形ABCABC中中,点点O O为平面内一点为平面内一点,若满足若满足:1.=1.=0,则点则点O O为三角形的重心为三角形的重心.2.,2.,则点则点O O为三角形的外心为三角形的外心.O

18、AOBOC|OA|OB|OC|3.3.或者或者|2 2+|+|2 2=|=|2 2+|2 2=|=|2 2+|+|2 2,则点则点O O为三角形的垂心为三角形的垂心.4.=4.=0,则点则点O O为三角形的内心为三角形的内心.OA OBOB OCOC OA OAOC OB OB OC OA|BC|OA|AC|OB|AB|OC 【对点训练【对点训练】1.1.如图如图,AB,AB是半圆是半圆O O的直径的直径,P,P是是 上的点上的点,M,N,M,N是直径是直径ABAB上关于上关于O O对称的两点对称的两点,且且AB=6,MN=4,AB=6,MN=4,则则 等于等于()A.13A.13B.7B.7

19、C.5C.5D.3D.3ABPMPN【解析【解析】选选C.C.连接连接AP,BP,AP,BP,则则PMPAAM PNPBBN，222PBAMPM PN(PAAM)(PBAM)PA PBPA AMAM PB|AM|PA AMAM PB|AM|AM AB|AM|1 6 15.，所所以以2.2.已知已知O O为为ABCABC内一点内一点,AOB=120,AOB=120,OA=1,OB=2,OA=1,OB=2,过点过点O O作作ODABODAB于点于点D,ED,E为线段为线段ODOD的中点的中点,则则 的值为的值为_._.OE EA【解析【解析】如图如图,AOB=120,AOB=120,OA=1,OB

20、=2,ODAB,E,OA=1,OB=2,ODAB,E为线为线段段ODOD的中点的中点,则则 =0,=0,所以所以 OD AD ODOE EA(AE)2 21AOADOD AOOD ADOD224OA OD|OA|OD|cos AOD|OD|.444 在在AOBAOB中中,由余弦定理可得由余弦定理可得AB=,AB=,因为因为S SAOBAOB=ABABOD=OAOD=OAOBOBsinsin 120 120,即即 OD=OD=1 12 2 ,所以所以OD=,OD=,所以所以 答案答案:7121212712322173OE EA.28 328考点三向量数量积的综合应用考点三向量数量积的综合应用【明

21、考点【明考点知考法知考法】向量数量积的综合应用向量数量积的综合应用,是高考命题的热点是高考命题的热点,试题试题常以选择题、填空题的形式出现常以选择题、填空题的形式出现,考查向量的模、夹角考查向量的模、夹角以及与平行、垂直有关的问题以及与平行、垂直有关的问题.解题过程中常常渗透数解题过程中常常渗透数学运算的核心素养学运算的核心素养.命题角度命题角度1 1平面向量的模平面向量的模 【典例【典例】(2018(2018衡水模拟衡水模拟)已知已知|a|=1,|=1,|b|=2,|=2,a与与b的的夹角为夹角为 ,那么那么|4|4a-b|等于等于 世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.2A.2B.6B.6C

22、.2 C.2 D.12D.1233【解析【解析】选选C.|4C.|4a-b|2 2=16=16a2 2+b2 2-8-8ab=16=161+4-81+4-81 12 2cos =12.cos =12.所以所以|4|4a-b|=2 .|=2 .33【状元笔记【状元笔记】求模问题求模问题:在求向量的模时在求向量的模时,一定要注意公式一定要注意公式|a|=|=的应用的应用,即即将向量的长度将向量的长度(或模或模)转化为向量数量积转化为向量数量积.a a命题角度命题角度2 2平面向量的夹角问题平面向量的夹角问题【典例【典例】已知向量已知向量 =(x,1)(x0),=(1,2),|=(x,1)(x0),

23、=(1,2),|=,=,则则 ,的夹角为的夹角为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()AB AC BC 5AB AC 2A.B.C.D.3643【解析【解析】选选C.C.因为因为 =-=(1-x,1),=-=(1-x,1),所以所以|2 2=(1-x)=(1-x)2 2+1=5,+1=5,即即x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,解得解得x=3x=3或或x=-1(x=-1(舍舍).).设设 ,的夹角为的夹角为,则则coscos=,=,所以所以=.=.AB AC BC BC AB AC AB AC22|AB|AC|4【状元笔记【状元笔记】夹角问题夹角问题:求两个向量的夹角求两个向量的夹角,常常利

24、用两个向量夹角的余弦公式常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角然后利用余弦函数的单调性求角.命题角度命题角度3 3平面向量中的平行或垂直问题平面向量中的平行或垂直问题【典例【典例】(1)(1)已知平面向量已知平面向量a=(-2,m),=(-2,m),b=(1,),=(1,),且且(a-b)b,则实数则实数m m的值为的值为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.-2 A.-2 B.2 B.2 C.4 C.4 D.6D.6 33333【解析【解析】选选B.B.因为因为a=(-2,m),=(-2,m),b=(1,),=(1,),所以所以a-b=(-2

25、,m)-(1,)=(-3,m-).=(-2,m)-(1,)=(-3,m-).由由(a-b)b,得得(a-b)b=0,=0,即即(-3,m-)(-3,m-)(1,)=-3+m-3=m-6=0,(1,)=-3+m-3=m-6=0,解得解得m=2 .m=2 .33333333(2)(2)已知向量已知向量a,b是平面内两个互相垂直的单位向量是平面内两个互相垂直的单位向量,若若(5(5a-2-2c)(12(12b-2-2c)=0,)=0,则则|c|的最大值是的最大值是_._.【解析【解析】因为因为ab=0,|=0,|a|=|=|b|=1,|=1,所以所以(5(5a-2-2c)(12(12b-2-2c)=

26、60=60ab-10-10ac-24-24bc+4+4c2 2=0,=0,即即2|2|c|2 2=5=5ac+12+12bc=(5=(5a+12+12b)c,当当c与与5 5a+12+12b共线时共线时,|,|c|最大最大,所以所以4|4|c|2 2=(5=(5a+12+12b)2 2=25|=25|a|2 2+120+120ab+144|+144|b|2 2=25+144=169,=25+144=169,所以所以|c|maxmax=.=.答案答案:132132【状元笔记【状元笔记】平行与垂直问题平行与垂直问题:解决关于平面向量的平行与垂直问题解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利其

27、关键是充分利用平行与垂直的充要条件用平行与垂直的充要条件,得出一个等式得出一个等式,然后求解然后求解.【对点练【对点练找规律找规律】1.1.已知向量已知向量a,b满足满足ab=0,|=0,|a|=1,|=1,|b|=2,|=2,则则|a-b|=|=()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.D.5【解析【解析】选选D.|D.|a-b|=|=222()2145.abaa bb2.(20172.(2017全国卷全国卷)已知向量已知向量a=(-2,3),=(-2,3),b=(3,m),=(3,m),且且ab,则则m=_.m=_.【解析【解析】因为因为a=(-2,3),=(-2,3),b=(3,m),

28、=(3,m),且且ab,所以所以-2-23+3+3m=0,m=2.3m=0,m=2.答案答案:2 23.(20183.(2018桂林模拟桂林模拟)已知向量已知向量a,b的夹角为的夹角为 ,|,|a|=,|=,|b|=2,|=2,则则a(a-2-2b)=_.)=_.342【解析【解析】a(a-2-2b)=)=a2 2-2-2ab=2-2=2-2 2 2 =6.=6.答案答案:6 622()2数学能力系列数学能力系列1414平面向量数量积中的运算求解能力平面向量数量积中的运算求解能力【能力诠释【能力诠释】运算求解能力是指根据法则、公式进行运算求解能力是指根据法则、公式进行变形的正确运算变形的正确运

29、算,根据问题的条件寻找与设计合理、简根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径捷的运算途径,它包括它包括:分析运算条件、探究运算公式、分析运算条件、探究运算公式、确定运算程序确定运算程序:与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点:(1)(1)平面向量数量积的定义及运算公式平面向量数量积的定义及运算公式.(2)(2)明确是哪两个向量的数量积明确是哪两个向量的数量积.(3)(3)能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系.【典例【典例】已知已知 与与 的夹角为的夹角为9090,|=2,|=,|=2,|=1,=+(,R1,=

30、+(,R),),且且 =0,=0,则则 的的值为值为_._.AB AC AB AC AMAB AC AMBC【解析【解析】根据题意根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系,则则A(0,0),B(0,2),C(1,0),A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以所以 =(0,2),=(1,0),=(0,2),=(1,0),=(1,-2).=(1,-2).AB AC BC 设设M(x,yM(x,y),),则则 =(x,y=(x,y),),所以所以 =(x,y)=(x,y)(1,-2)=(1,-2)=x-2y=0,x-2y=0,所以所以x=2y,x=2y,又因为又因为

31、=+,=+,即即(x,y(x,y)=)=(0,2)+(1,0)=(,2),(0,2)+(1,0)=(,2),所以所以x=,yx=,y=2,=2,所以所以 =答案答案:AB AC AMBC AMAM1y12.x414【技法点拨【技法点拨】与向量数量积有关参数问题的求解方法与向量数量积有关参数问题的求解方法一是选择坐标形式的运算还是直接进行运算一是选择坐标形式的运算还是直接进行运算;二是寻找含有参数的方程或不等式二是寻找含有参数的方程或不等式;三是解方程或不等式即可求解三是解方程或不等式即可求解.【即时训练【即时训练】已知已知a,b满足满足|a|=,|=,|b|=1,|=1,且对任意的实数且对任意

32、的实数x,x,不等式不等式|a+x+xb|a+b|恒成立恒成立,设设a,b的夹角为的夹角为,则则tan 2=tan 2=_._.3【解析【解析】如图所示如图所示,当当(a+b)b时时,对任意的实数对任意的实数x,x,a+x xb=或或a+x+xb=,=,OAOB 因为在直角三角形中因为在直角三角形中,斜边大于直角边恒成立斜边大于直角边恒成立,数形结合数形结合知知,不等式不等式|a+x+xb|a+b|恒成立恒成立,因为因为(a+b)b,a,b满满足足|a|=,|=,|b|=1,|=1,所以所以(a+b)b=0,=0,ab+b2 2=0,=0,tan=-,tan 2=tan=-,tan 2=答案答案:2 2 3222(2)2 2.1(2)2