平面向量的数量积与平面向量应用举例课件.pptx

1、平面向量的数量积与平面向平面向量的数量积与平面向量应用举例量应用举例 知识梳理知识梳理 一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角 1定义定义 2范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 ，a与与b同向时，同向时，夹角夹角 ；a与与b反向时，夹角反向时，夹角 .3向量垂直向量垂直 如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是 ，则，则a与与b垂直，记作垂直，记作 .0180018090ab 二、平面向量数量积二、平面向量数量积 1已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，则数量，则数量|a|b|cos 叫做叫做a与与b的数量积，记作的数量积，记作ab，即，即ab ，其中，其中是是a与与b的夹角的夹角

2、规定规定0a0.当当ab时，时，90，这时，这时ab .2ab的几何意义：的几何意义：数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积|a|b|cos 0|b|cos 三、向量数量积的性质三、向量数量积的性质1如果如果e是单位向量，则是单位向量，则aeea.2ab .4cos .(为为a与与b的夹角的夹角)5|ab|a|b|.ab0|a|2四、数量积的运算律四、数量积的运算律1交换律：交换律：ab .2分配律：分配律：(ab)c .3对对R，(ab)baacbc(a)ba(b)五、数量积的坐标运算五、数量积的坐标运算设设a(a1，a2)，b(b

3、1，b2)，则：，则：1ab .2ab.3|a|.a1b1a2b2a1b1a2b20小题能否全取小题能否全取1已知向量已知向量a，b和实数和实数，下列选项中错误的是，下列选项中错误的是 ()A|a|B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析：解析：|ab|a|b|cos|，只有，只有a与与b共线时，才有共线时，才有|ab|a|b|，可知，可知B是错误的是错误的答案：答案：B2已知已知|a|4，|b|3，a与与b的夹角为的夹角为120，则，则b在在a方方向上的投影为向上的投影为()答案：答案：D答案：答案：B3(2012重庆高考重庆高考)设设xR，向量，向量a(x,1)，b(1，2

4、)，且且ab，则，则|ab|()5已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量，则向量a与与b的的夹夹 角角_.平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算 例例1(1)若向量若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件满足条件(8ab)c30，则，则x ()A6 B5 C4 D3 答案答案(1)C(2)18平面向量数量积问题的类型及求法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量已知向量a，b的模及夹角的模及夹角，利用公式，利用公式ab|a|b|cos 求解；求解；(2)已知向量已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求的坐标，利用数量积的坐标形式求解解 典例总结典例总结 巩固练

5、习巩固练习 答案答案:B 答案：答案：6两平面向量的夹角与垂直两平面向量的夹角与垂直例例2(1)(2012福州质检福州质检)已知已知|a|1，|b|2，a与与b的夹角为的夹角为120，abc0，则，则a与与c的夹角为的夹角为 ()A150B90C60 D30(2)(2011新课标全国卷新课标全国卷)已知已知a与与b为两个不共线的单为两个不共线的单位向量，位向量，k为实数，若向量为实数，若向量ab与向量与向量kab垂直，则垂直，则k_.自主解答自主解答(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与与c的夹角为的夹角为90.(2)a与与b是不共线的单位向量，是不共

6、线的单位向量，|a|b|1.又又kab与与ab垂直，垂直，(ab)(kab)0，即即ka2kababb20.k1kabab0.即即k1kcos cos 0(为为a与与b的夹角的夹角)(k1)(1cos)0.又又a与与b不共线，不共线，cos 1.k1.答案答案(1)B(2)1 若本例若本例(1)条件变为非零向量条件变为非零向量a，b，c满足满足|a|b|c|，abc，试求，试求a与与b的夹角的夹角1求两非零向量的夹角时要注意：求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐说明不共线的两向量的夹角为锐

7、角，数量积等于角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小说明两向量的夹角为直角，数量积小于于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求的夹角，需求得得ab及及|a|，|b|或得出它们的关系或得出它们的关系 典例总结典例总结2(1)设向量设向量a(x1,1)，b(x1,3)，则，则a(ab)的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是()Ax0或或2 Bx2 Cx1 Dx2(2)已知向量已知向量a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，向量向量d如图所示，则如图所示，则()巩固练习巩固练

8、习 A存在存在0，使得向量，使得向量c与向量与向量d垂直垂直 B存在存在0，使得向量，使得向量c与向量与向量d夹角为夹角为60 C存在存在0，使得向量，使得向量c与向量与向量d共线共线解析：解析：(1)a(x1,1)，ab(x1,1)(x1,3)(2x2，2)，故，故a(ab)2(x1)220 x0或或2，故故x2是是a(ab)的一个充分不必要条件的一个充分不必要条件答案答案:(1)B (2)D平面向量的模平面向量的模答案答案B 答案答案D利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；

9、(2)|ab|2(ab)2a22abb2；典例总结典例总结(1)当当ab时，求时，求|ab|的值；的值；(2)求函数求函数f(x)a(ba)的最小正周期的最小正周期 巩固练习巩固练习平面向量数量积的综合应用平面向量数量积的综合应用(1)求求f(x)的周期和单调递减区间；的周期和单调递减区间；向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的考查知识的“交汇处交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同

10、时，把问题转化为平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题新的函数、三角或几何问题 典例总结典例总结4(1)(2012朔州调研朔州调研)质点受到平面上的三个力质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知的作用而处于平衡状态，已知F1，F2 成成60角，且角，且F1，F2的大小分别为的大小分别为2和和4，则，则F3的大小的大小 为为()巩固练习巩固练习A直角三角形直角三角形 B等腰三角形等腰三角形C等边三角形等边三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形答案答案：（：（1）A （2）B 平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两

11、个方面平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思考，一是利用思考，一是利用“数数”的特征，我们可以从向量的线性运算、的特征，我们可以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问题来解决；二是利用其代数中的有关问题来解决；二是利用其“形形”的特征，可以的特征，可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.典例总结典例总结 A2B4 C5 D101

12、特殊化法特殊化法该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果 答案答案D题后悟道题后悟道该题中四个选项都是定值是选择特殊该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长与两直角边的长度有关度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了，则该题就不能采用特殊化法进行验证了2向量基底法向量基底法 答案答案D3坐标法坐标法 答案答案D