人教B版必修四数学课件：2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件.ppt

1、 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件用平面向量坐标表示向量共线条件 课件（人教课件（人教B版必修版必修4） 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 2.2.3 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.会用坐标表示平面向量共线的条件会用坐标表示平面向量共线的条件 2能运用向量共线的条件来解决有关向量共线能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、 直线平行及点共线等问题直线平行及点共线等问题 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1共线向量基本定理：如果共线向量基本定理：如果ab，则则_； 反 之反 之 ， 如 果如 果 a b ， 且且 b0 ，

2、 则 一 定 存 在则 一 定 存 在 _实数实数，使使_. 2两条不同直线两条不同直线l1：A1xB1yC10与与l2：A2x B2yC20平行的条件是平行的条件是_. 唯一一个唯一一个 A1B2A2B10 ab ab 知新益能知新益能 1两向量平行的条件两向量平行的条件 设设a(a1，a2)，b(b1，b2)， (1)ab_； (2)若若b不平行于坐标轴不平行于坐标轴，且且b10，b20，则则 ab ，语言表述为：两个向量平行的条语言表述为：两个向量平行的条 件是件是_ a1 b1 a2 b2 a1b2a2b10 相应坐标成比例相应坐标成比例 2中点坐标公式中点坐标公式 设设 P1(x1，

3、y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段是线段 P1P2的的 中点，则中点，则 P 点的坐标是点的坐标是_ 3三角形重心的坐标三角形重心的坐标 设设ABC 三顶点三顶点 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)， G(x，y)是是ABC 的重心，则的重心，则 x1 3 x1 x2x3 ， y_ . (x 1 x2 2 ，y 1 y2 2 ) yyy 123 1 () 3 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 向量共线的坐标表示及运算向量共线的坐标表示及运算 用向量的坐标判定两向量的共线用向量的坐标判定两向量的共线，当坐标不当坐标不 为为0时时，看其坐标是否成比例看其坐标

4、是否成比例 已知向量已知向量a(x,3)，b(3，x)，则则 存在实数存在实数x，使使ab； 存在实数存在实数x，使使(ab)a； 存在实数存在实数x，m，使使(mab)a； 存在实数存在实数x，m，使使(mab)b. 其中其中，所有叙述正确的序号为所有叙述正确的序号为_ 例例1 【思路点拨】【思路点拨】 向量平行向量平行 建立方程建立方程 解方程解方程答案答案 【解析解析】 由由abx29无实数解无实数解，故故不对；不对； 又又ab(x3,3x)，由由(ab)a得得3(x3)x(3 x)0，即即x29无实数解无实数解，故故不对；不对； 因为因为mab(mx3,3mx)， 由由(mab)a得得

5、(3mx)x3(mx3)0. 即即x29无实数解无实数解，故故不对；不对； 由由(mab)b得得3(3mx)x(mx3)0， 即即m(x29)0，m0，xR，故故正确正确 【答案答案】 【点评点评】 对于根据向量共线的条件求值的问题对于根据向量共线的条件求值的问题， 一般有两种处理思路一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理一是利用共线向量定理a b(b0)列方程组求解列方程组求解，二是利用向量共线的坐标二是利用向量共线的坐标 表达式表达式x1y2x2y10直接求解直接求解 变式训练变式训练1 设设i，j分别是与分别是与x轴轴、y轴方向相同的轴方向相同的 两 个 单 位 向 量两 个 单 位

6、向 量 ， a i (2m 1)j ， b 2i mj(mR)，若若ab，求向量求向量a，b的坐标的坐标 解：解：a 与与 b 共线，共线， 存在实数存在实数 ，使得，使得 ab， 即即 i(2m1)j(2imj)，又，又 i，j 不共线，不共线， 21， m 2m1 . m 2 2m1，即，即 m2 5. ai1 5j， ，b2i2 5j. 故故 a(1，1 5)， ，b(2，2 5) 三点共线问题的实质是向量共线问题三点共线问题的实质是向量共线问题 三点共线问题三点共线问题 例例2 已知向量已知向量OA (k,12)，OB (4,5)，OC (10， k)当当 k 为何值时，为何值时，A、

7、B、C 三点共线？三点共线？ 【思路点拨】【思路点拨】 A、 B、 C 三点共线可转化成三点共线可转化成AB 、 AC 共共 线，直接利用向量共线的条件来解线，直接利用向量共线的条件来解 【解】【解】 因为因为AB OB OA (4k，7)，AC OC OA (10k，k12) 又因为又因为 A、B、C 三点共线，三点共线， 所以所以AB AC . 所以所以 4k 10k 7 k12 ， 解得解得 k2 或或 k11. 【点评点评】 利用向量平行证明三点共线需分两步完利用向量平行证明三点共线需分两步完 成：成：(1)证明向量平行；证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点证明两个向量有公共点 变

8、式训练变式训练 2 如果向量如果向量AB i2j，BC imj， 其中其中 i、j 分别是分别是 x 轴、轴、 y 轴正方向上的单位向量，轴正方向上的单位向量， 试确定实数试确定实数 m 的值，使的值，使 A、B、C 三点共线三点共线 解：解：法一：法一：A、B、C 三点共线，即三点共线，即AB 、BC 共线，共线， 存在实数存在实数 ，使得，使得AB BC ， 即即 i2j(imj)于是于是 1 m2 ， m2，即，即 m2 时，时，A、B、C 三点共线三点共线 法二：依题意知：法二：依题意知：i(1,0)，j(0,1)，则，则 AB (1,0)2(0,1)(1，2)， BC (1,0)m(

9、0,1)(1，m) 而而AB 、BC 共线，共线， 1m1(2)0， m2. 故当故当 m2 时，时，A、B、C 三点共线三点共线 向量共线问题及应用向量共线问题及应用 向量共线的坐标表示是向量工具性的一种具体表向量共线的坐标表示是向量工具性的一种具体表 现现，也是几何问题代数化的具体表现也是几何问题代数化的具体表现 已知向量已知向量a(1,1)，b(2，x)，若若ab与与 4b2a平行平行，求实数求实数x的值的值，并指明此时它们是并指明此时它们是 同向还是反向同向还是反向？ 例例3 【思路点拨】【思路点拨】 法一：法一： 计算计算ab及及4b2a 由共线求由共线求x的值的值 写出写出a，b并

10、判断方向并判断方向 法二：法二： 由由ab 4b2a 得得a与与b共线共线 求求x的值的值 写出写出a，b并判断方向并判断方向 【解解】 法一：法一：a(1,1)，b(2，x) ab(3，x1)， 4b2a(6,4x2)， 又又ab与与4b2a平行平行 故故6(x1)3(4x2)0，解得解得x2， 此时此时a(1,1)，b(2,2)2a. a与与b的方向相同的方向相同 法二：因为法二：因为ab与与4b2a平行，平行， 则存在常数则存在常数，使，使ab(4b2a)， 即即(21)a(41)b， 由向量共线的判定定理可知，由向量共线的判定定理可知，a与与b共线，共线， x120，即，即x2. 此时

11、此时a(1,1)，b(2,2)2a， a与与b的方向相同的方向相同 【点评点评】 共线向量既刻画了几何位置共线向量既刻画了几何位置(共线或平共线或平 行行)，又建立了向量坐标之间的数量关系又建立了向量坐标之间的数量关系(x1y2 x2y1)，有关共线向量的坐标表示问题有关共线向量的坐标表示问题，建立方程建立方程 或方程组求解是常用的解题方法或方程组求解是常用的解题方法 变式训练变式训练 3 设点设点 A(1,2)，B(n1,3)，C(2，n 1)，D(2,2n1)，若向量，若向量AB 与与CD 共线且同向，求共线且同向，求 n 的值的值 解：解：AB OB OA (n1,3)(1,2)(n,1

12、)， CD OD OC (2,2n1)(2，n1)(4，n)， 由由AB 与与CD 共线可知，共线可知， n240，即，即 n 2. 若若 n2，此时，此时AB (2,1)， CD (4,2)2AB ， 故故AB 与与CD 同向，符合题意同向，符合题意 若若 n2，此时，此时AB (2,1)， CD (4，2)2AB ， 故故AB 与与CD 反向，不合题意反向，不合题意 综上可知综上可知 n 的值为的值为 2. 方法感悟方法感悟 1向量共线有两种表述形式向量共线有两种表述形式 (1)ba(a0)ba，是唯一确定的实数；是唯一确定的实数； (2)ba(a0)a1b2a2b10. 2两向量共线的坐

13、标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个可分为两个 方面：方面： (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平联系平 面几何平行面几何平行、共线知识共线知识，可以证明三点共线可以证明三点共线、直直 线平行等几何问题线平行等几何问题要注意区分向量的共线要注意区分向量的共线，平平 行与几何中的共线行与几何中的共线、平行平行 (2)已知两个向量共线已知两个向量共线，求点或向量的坐标求点或向量的坐标、参数参数 的值的值、轨迹方程轨迹方程，要注意方程思想的应用要注意方程思想的应用、向量向量 共线的条件共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程向量相等的条件等都可作为列方程 的依据的依据