人教B版必修四数学课件：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切.ppt

1、 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切半角的正弦、余弦和正切 课件（人教课件（人教B 版必修版必修4） 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 3.2.2 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1. 了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、 余弦和正切公式的过程余弦和正切公式的过程 2掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确 运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、 求值和恒等式的证明求值和恒等式的证明 1sin2_. 2 cos2 cos2 sin

2、2 _ _. 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 2sincos 2cos21 12sin2 3tan2 2tan 1tan2. 知新益能知新益能 思考感悟思考感悟 1能用不含根号的形式由能用不含根号的形式由sin，cos表示表示tan吗？吗？ 提示：提示： 能能 tan 2 sin 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 2cos 2 sin 1cos； ； tan 2 sin 2 cos 2 sin 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 1 cos sin . 2由由 tan 2能否表示 能否表示 sin，cos？ 提示：提示：能能sin2sin 2cos 2

3、2sin 2cos 2 sin2 2 cos2 2 2tan 2 1tan2 2 ， coscos2 2 sin2 2 cos2 2 sin2 2 sin2 2 cos2 2 1tan2 2 1tan2 2 . 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 利用半角公式求值利用半角公式求值 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到 的角的范围问题，其次还要注意选用公式要的角的范围问题，其次还要注意选用公式要 灵活多样灵活多样 例例1 已知已知 sin4 5， ，且且5 2 3，求求 cos 2和 和 tan 2的值 的值 【思路点拨思路点拨】 先由先由sin的

4、值求出的值求出cos的值的值， 然后利用半角公式求值然后利用半角公式求值 【解】【解】 sin4 5， ，5 2 3， cos1sin23 5. 由由 cos2cos2 2 1 得得 cos2 2 1 cos 2 1 5. 5 4 2 3 2. cos 2 1cos 2 5 5 . tan 2 sin 2 cos 2 2cos 2sin 2 2cos2 2 sin 1cos 2. 【点评点评】 若没有给出角的范围若没有给出角的范围，则根号前的则根号前的 正负号需要根据条件讨论正负号需要根据条件讨论 变式训练变式训练 1 已知已知 sincos 60 169， ， 且且 4 2， ， 求求 si

5、n，cos 的值的值 解：解：sincos 60 169， ， sin2120 169， ， 又又 4 2， ， 2 2，sin0，cos0， cos20，cos2 1sin22 1 120 169 2 119 169， ， sin 1cos2 2 1119 169 2 12 13， ， cos 1cos2 2 1119 169 2 5 13. 三角函数式化简的一般要求：三角函数式化简的一般要求：(1)项数尽量少；项数尽量少；(2) 次数尽量低；次数尽量低；(3)尽量不含分母；尽量不含分母；(4)尽量不含根式；尽量不含根式； (5)能求值的要求出值来能求值的要求出值来 三角函数式的化简三角函数

6、式的化简 例例2 化简化简： 1sincos sin 2 cos 2 22cos (180 360 ) 【思路点拨】【思路点拨】 化化为为 2，消去 ，消去1 提取公因式去根号提取公因式去根号判断判断 2的范围 的范围 整理得结论整理得结论 【解】【解】 原式原式 2cos2 2 2sin 2cos 2 sin 2 cos 2 2 2cos2 2 2cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 2|cos 2| cos 2 cos |cos 2| . 又又180 360 ， 90 2 180 ， cos 2 0， 原式原式 cos 2 cos cos 2 cos. 【点评点评】

7、化简的方法：化简的方法： (1)弦切互化弦切互化，异名化同名异名化同名，异角化同角异角化同角 (2)降幂或升幂降幂或升幂 解：解：cos36 cos72 2sin36 cos36 cos72 2sin36 2sin72 cos72 4sin36 sin144 4sin36 sin 180 36 4sin36 1 4. 变式训练变式训练2 化简：化简：cos72 cos36. 利用半角公式证明三角恒等式利用半角公式证明三角恒等式 证明三角恒等式实质上是进行恒等变换，进而证明三角恒等式实质上是进行恒等变换，进而 消去等式两端的差异，达到形式上统一的过消去等式两端的差异，达到形式上统一的过 程程 例

8、例3 求证求证：2sin4x3 4sin 22x 5cos4x1 2(cos4x cos2x)2(1cos2x) 【思路点拨】【思路点拨】 首先降幂，利用半角公式的变形首先降幂，利用半角公式的变形 式式(将半角公式两边平方将半角公式两边平方)，统一到二次式，统一到二次式，sin4x (sin2x)2 ( 1cos2x 2 )2， cos4x (cos2x)2 (1 cos2x 2 )2，再展开，合并同类项，再展开，合并同类项 【证明】【证明】 左边左边2(1 cos2x 2 )23 4sin 22x 5(1 cos2x 2 )21 2(cos4x cos2x) 21 2cos2xcos22x

9、4 3 4sin 22x 5 12cos2xcos22x 4 1 2(2cos 22x 1cos2x) (21 4 5 4 1 2) 2(2cos2x 4 )52cos2x 4 1 2 cos2x(2cos 22x 4 5cos 22x 4 1 2 2cos22x)3 4 sin22x 9 4 cos2x3 4cos 22x 3 4sin 22x 9 4 cos2x3 4 3cos2x3(2cos2x1) 2(1cos2x)右边右边 原式成立原式成立 【点评点评】 (1)三角恒等式的证明三角恒等式的证明，包括有条件的包括有条件的 恒等式和无条件的恒等式两种恒等式和无条件的恒等式两种 无条件的恒

10、等式证明无条件的恒等式证明，常用综合法常用综合法(执因索果执因索果) 和分析法和分析法(执果索因执果索因)，证明的形式有化繁为简证明的形式有化繁为简， 左右归一左右归一，变更论证等变更论证等 有条件的恒等式证明有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证常常先观察条件与欲证 式中左式中左、右两边三角函数的区别与联系右两边三角函数的区别与联系，灵活使灵活使 用条件用条件，变形得证变形得证 (2)进行恒等变形时进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差既要注意分析角之间的差 异异，寻求角的变换方法寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结还要观察三角函数的结 构特征构特征，寻求化同名寻求化同名(化弦或化切化弦或化切)的方法的方法，明确明确 变形的目的变形的目的 方法感悟方法感悟 1理清倍角与半角的相对关系理清倍角与半角的相对关系，相互转化相互转化， 熟记公式熟记公式 2 半角公式中符号判断只依赖于半角公式中符号判断只依赖于 2的终边位置 的终边位置 3半角公式往往结合两角和与差公式半角公式往往结合两角和与差公式；倍角倍角 公式应用于对三角函数式公式应用于对三角函数式进行化简和对三角进行化简和对三角 恒等式进行证明恒等式进行证明