人教B版必修四数学课件：2.3.1 平面向量数量积的物理背景与含义.ppt

1、人教人教B版必修版必修4 2.3.1 平面向量数量积平面向量数量积 的物理背景及其含义的物理背景及其含义 学习目标：学习目标： 1.理解平面向量的数量积及理解平面向量的数量积及 其物理意义、几何意义；其物理意义、几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重掌握平面向量数量积的重 要性质要性质 3.能够运用定义解决相关问能够运用定义解决相关问 题题 位移S O A F 一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景 力做的功：力做的功：W = |F| |s|cos ， 是是F与与s的夹角。的夹角。 问问: 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那，那 么力么力F 所做的

2、功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？ )1800( 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ， a b,OAa OBb 180 与与 反向反向 ab O A B a b O A a 0 与与 同向同向 a b O A B a b a B b b AOBab 则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角 记作记作 ab 90 与与 垂直，垂直， a b O A B a b 注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角 定义中定义中,两向量必须是两向量必须是 共同起点的共同起点的 二、两个向量的夹角二、两个向量的夹角 如图如图,等边三角形等边三角形ABC中中,求：求： （1）AB与与AC的夹角；的夹角

3、； （2）AB与与BC的夹角的夹角_ A B C 通过平移通过平移 变成共起点！变成共起点！ 120 60 C D D 0 120 60 120 规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 三、向量三、向量 与与 的数量积的概念的数量积的概念 ab cos cos , , ab a bab a ba ba b 已知两个非零向量 与 他们的夹角为 ， 我们把数量叫做 与 的数量积 （或内积） 记作即 向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ a b =| a | b |cos 当当90 180时

4、时 ， 为负为负。 当当0 90时，时， 为正；为正； 当当 =90时，时， 为零。为零。 a b a b a b 注意注意： 数量积数量积 a b =| a | b |cos 00a 注意公式变形，知三求一注意公式变形，知三求一. “ ”不能省略不写，也不能写成不能省略不写，也不能写成 “” 一种新的运算一种新的运算 aba b不同，与、不同，它们表示数量； a ba b表示数量而不表示向量，与实数 1.5,4,120.ababa b例 已知与 的夹角，求 cosa ba b解： 5 4 cos120 1 5 4 ()10 2 O A B b a a ba OB ba 叫做向量 在向量 的方

5、向上的投影的数量， 即有向线段的数量 1 B cosb 数量积数量积 a b 等于等于a 的模的模| a |与与 b 在在 a 的方向的方向 上的投影的数量上的投影的数量| b |cos 的乘积的乘积. 四、数量积的几何意义四、数量积的几何意义 cosb 数量积的几何意义数量积的几何意义 投影的作图投影的作图: : A O A O B | b |cos = b | b |cos 0 | b |cos 0 | b |cos b | b |cos 0 O A a B b O A a B b O A a B b B1 B1 B baba | aba ba b当且仅当 与 同向时： aba ba b

6、当且仅当 与 反向时： 课本练习课本练习B.1 |cos = | a b b a .5,4,120abab ab 例2已知与 的夹角， 求 在 方向上的射影的数量。 向量数量积的性质向量数量积的性质 2 =| | |=a ba aaaa a（3）当时，即，即 是非零向量、设 ba 1=0aba b（） =| | | =-| | | aba ba b aba ba b （2）当 与 同向时， 当 与 反向时， -| | | |a ba ba b（4） cos | a b ab a b （5）， 夹角公式：夹角公式： 变式练习： 若 a b= -108 呢？呢？ 设设|a|=12,|b|=9, a

7、 b=-542( 1)求求a和和b的夹角的夹角 .(2)求求 的值的值 cos = a b |a| |b| - 54 2 129 = ， -2 =135. = ， 2 cos a a =|1212144a aaa 变式一变式一 0 45 2 2 44 28 | cos 可得 解：由 ba ba 的夹角 与 求 ， ， ， b a b a b a 2 8 4 | | 4 | | 夹角的范围夹角的范围 性性 质质 数量积数量积 0 重点知识回顾: cos|baba 2 =| | |=a ba aaaa a（3）当时，即，即 是非零向量、设 ba 1=0aba b（） =| | | =-| | |

8、aba ba b aba ba b （2）当 与 同向时， 当 与 反向时， -| | | |a ba ba b（4） cos | a b ab a b 夹角公式（5）， 几何意义：几何意义： 数量积数量积 a b 等于等于a 的模的模| a |与与 b 在在 a 的方向的方向 上的投影上的投影| b |cos 的乘积的乘积. |cos= | a b b a 1.理解平面向量的数量积的物理意义、几何意义 2.掌握平面向量的数量积的概念 3.理解数量积的运算是不同于实数运算 的一种新的运算，注意它们的区别； 4.掌握平面向量的数量积的性质 课堂小结课堂小结 检测：检测： 是非零向量 与 1.已知

9、： b a () ( ) ( ) () () 的结果还是一个向量 b a ) 1 ( ( ) 2 | | ) 2 ( a a a | | | | | ) 3 ( b a b a b a b a 0 ) 4 ( 0 ) 5 ( b a b a | | | / ) 6 ( b a b a b a 2 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说明理由 。是锐角，则中，若在ABC0BCABABC) 1 ( 。是钝角，则中，若在ABC0BCABABC)2( 。是直角，则中，若在ABC0BCABABC)3( 错误错误 正确正确 正确正确 同向时，同向时，4848 反向时，反向时，- -4848 0cos048 180cos18048 a ba ba b a ba ba b 解： 和 方向相同时， 和 方向相反时， . 8 | | 6 | 3.| b a b a b a 求 平行， 与 ， ，