人教版B版选修1-1数学课件：3.2 导数的运算 第1课时.ppt

1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 3.2 导数的运算导数的运算 第第1课时课时 常数与幂函数的导数、导数公式表常数与幂函数的导数、导数公式表 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 在 17 世纪 60 年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学 和物理学科的许多问题 但是运用定义法求解导数运算太复杂， 有时甚至无法完成是否有更简单的求导方法呢？ 1.割线的斜率 已知yf(x)图象上两点A(x0，f(x0)，B(x0 x，f(x0x)，过A、B两点割线的斜率是 _，即曲线割线 的斜率就是_ 2函数yf(x

2、)在点x0处的导数f(x0)的几何意 义是 _ _相应地，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的 切线方程为_ 答案：1.y x fx0xfx0 x 函数的平均变化率 2曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线斜率 yy0 f(x0)(xx0) 1.常数函数的导数 常数函数 f(x)C 是导数 f(x)(C)0. 其几何意义可以理解为： 曲线 f(x)C 在任意点处的切线与 x 轴平行或重合 2幂函数的导数 (1)函数 f(x)x 的导数 f(x)1. (2)函数 f(x)x2的导数为 f(x)2x. (3)函数 f(x)1 x的导数为 f(x) 1 x2. 以上几个常见幂函数的

3、导数，由它们的形式可以推测出幂 函数的导数公式：(xn)nxn 1(nQ) 注意：(1)yxn中，x 为自变量，n 为常数 (2)公式中 nQ，对于 nR 公式也成立 (3)特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错，如(1 x) 1 x2，( x) 1 2 x等 函数f(x)0的导数是( ) A0 B1 C不存在 D不确定 答案 A 解析 常数函数的导数为0. 3指数函数的导数 (ax)axlna，特别地(ex)exlneex. 4对数函数的导数 f(x)logax 的导数 f(x) 1 xlna. 特别地，自然对数函数 f(x)lnx 的导数为(lnx)1 x. 曲线 yex在点(0,1)

4、处的切线斜率为( ) A1 B2 Ce D1 e 答案 A 解析 yex，y(ex)ex， 曲线 yex在点(0,1)处的切线的斜率 ke01. 5三角函数的导数 (1)正弦函数的导数：(sinx)cosx. (2)余弦函数的导数：(cosx)sinx. 曲线ycosx在点P( 3， 1 2)处的切线的斜率为_ 答案 3 2 解析 y(cosx)sinx， y|x 3sin 3 3 2 . 基本初等函数的导数公式总结如下： (1)若 yC，则 y0； (2)若 yxn(nN)，则 ynxn 1； (3)若 yxu(x0，Q，0)，则 yx 1； (4)若 yax(a0，a1)，则 yaxlna

5、； (5)若 yex，则 yex； (6)若 ylogax(a0，a1，x0)，则 y 1 xlna； (7)若 ylnx，则 y1 x； (8)若 ysinx，则 ycosx； (9)若 ycosx，则 ysinx. 课堂典例探究课堂典例探究 求导函数 求下列函数的导数 (1)yx3；(2)yx x；(3)y2sinx 2cos x 2；(4)y 1 x2. 解题提示 求函数的导数，首先搞清楚函数的结构，若 式子能化简则可先化简再求导 解析 (1)y3x2. (2)yx 3 2 ，y3 2x 1 2 3 2 x. (3)ysinx，ycosx. (4)yx 2，y2x32 x3. 方法总结

6、(1)应用导数的定义求导，是求 导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导 数公式求导数，可以简化求导过程，降低运 算难度，是常用的求导方法 (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特 征，恰当地选择求导公式有时还要先对函 数解析式进行化简整理这样能够简化运算 过程 求下列函数的导数 (1)yax(a0 且 a1)；(2)ylog3x； (3)yex；(4)ylnx. 解析 (1)yaxlna. (2)y 1 xln3. (3)yex. (4)y1 x. 求切线方程 求双曲线 y1 x在点(2， 1 2)处的切线方程 解题提示 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求 出切线的斜率，再通过点斜式求切

7、线方程 解析 y(1 x) 1 x2， 点(2，1 2)在双曲线 y 1 x上， 双曲线 y1 x在点(2， 1 2)处的切线斜率为 y|x2 1 22 1 4， 由直线方程的点斜式，得切线方程为 y1 2 1 4(x2)，即 y1 4x1. 方法总结 (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步 骤：先求出函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)，即切线斜率 kf(x0)根据直线方程的点斜式得切线方程为 yy0 f(x0)(xx0) (2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可 求曲线 y4x3在点 A(16,8)处的切线方

8、程 解析 y( 4 x3)(x 3 4 )3 4 x 1 4 3 4 4 x ， 经过点 A(16,8)的切线的斜率 ky|x16 3 4 4 16 3 8， 曲线的切线方程为 y83 8(x16) 即 3x8y160. 导数公式的应用 求过曲线ysinx 上的点P 4， 2 2 且与在这点处 的切线垂直的直线方程 解题提示 要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切 线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可 先通过求导确定曲线在点 P 处切线的斜率，再根据点斜式求出 与切线垂直的直线方程 解析 ysinx，y(sinx)cosx. y|x 4cos 4 2 2 . 经过这点的切线的

9、斜率为 2 2 ，从而可知适合题意的直线 的斜率为 2. 由点斜式得适合题意的直线方程为 y 2 2 2(x 4)，即 2xy 2 2 2 4 0. 方法总结 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考 察函数在切点处的导数 y是否为零，当 y0 时，切线平行 于 x 轴，过切点 P 垂直于切线的直线斜率不存在 求曲线 ycosx 在点 A( 6， 3 2 )处的切线方程 解析 ycosx，ysinx. y|x 6sin 6 1 2，k 1 2. 在点 A 处的切线方程为 y 3 2 1 2(x 6) 即 6x12y6 30. 已知函数 y(x)8，求 y. 误解 y8(x)78x7. 辨析 错用幂函数导数公式，导致结果错误 正解 y(x)8x8，y8x7. 导数运算 yc，yx，yx2，y1 x的导数的推导 基本初等函数的导数 基本初等函数导数的几何意义