人教版B版选修1-1数学课件：3.1 导数 第1课时.ppt

1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是 微积分的基本方法 从微积分成为一门学科来说，是在十七世 纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经 产生了 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解 决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下 面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含 着近代积分学的思想作为微分学基础的极 限理论来说，早在古代以有比较清楚的论 述比如庄子一书中，记有“一尺之 棰，日取其半，万世不竭” 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥 细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则 与圆周和体而无所失矣”这些都是朴素的、 也是很典型的极限概念 归纳起来，微积分

2、大约解决四种主要类型 的问题：第一类是研究运动的时候直接出现 的，也就是求即时速度的问题第二类问题是 求曲线的切线的问题第三类问题是求函数的 最大值和最小值问题第四类问题是求曲线 长、曲线围成的面积、曲面围成的体积 3.1 导数导数 第第1课时课时 平均变化率、瞬时速度与导数平均变化率、瞬时速度与导数 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 2008年，北京奥运会上，牙 买加飞人博尔特以不可思议 的速度创造了当时的百米世 界纪录：9.69s，闻讯后， 人们倍感震惊，太快了！震 惊之余，很多运动专家和物 理学

3、家对他在这100m的运 动情况，饶有兴趣地展开了 分析，并用分析结果从不同 的角度诠释这个飞人的过人 之处. 1.函数yf(x)的平均变化率为_ 2如图，液体从一圆锥形漏斗注入圆柱形桶 中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟注完， 已知圆柱形桶中液面上升的速度是一个常 数，h是圆锥形漏斗液面下降的高度，则h与 注水时间t(分钟)的函数关系用图象表示只可 能是( ) 答案：1.y x 2.D 一 函数的平均变化率 1函数平均变化率的定义 已知函数yf(x)在点xx0及其附近有定义， 令 xxx0， yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当 0 时，比值 fx0xfx0 x y x叫做函

4、数 yf(x)在 x0 到 x0x 之间的平均 变化率 2求函数平均变化率的步骤 求函数 yf(x)在 x0到 x0x 之间的平均变化率的步骤为： (1)求函数值的增量 yf(x0x)f(x0)； (2)求平均变化率y x fx0xfx0 x . 注意： (1)x， y 称为改变量， 也可以称为 x、 y 的增量， x， y 可为正值，也可为负值，但 x0，y 可以为 0. (2)函数 f(x)在 xx0及其附近有定义 在曲线 yx21 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1x,2 y)，则y x为( ) Ax 1 x2 Bx 1 x2 Cx2 D2x 1 x 答案 C 解析 yf(1x)f(

5、1)(1x)21121x2 2x. y xx2. 二 瞬时速度 1瞬时速度 设物体的运动方程为 sf(t)，如果一个物体在时刻 t0有 s f(t0)，在 t0t 这段时间内，物体的位移增量是 sf(t0t) f(t0)，那么位移增量 s 与时间增量 t 的比，就是这段时间内 物体的平均速度v，即vs t ft0tft0 t . 当这段时间很短，即 t 很小时，这个平均速度就接近时刻 t0的速度，t 越小，v就越接近于 t0时刻的速度当 t 趋近于 0 时，v就趋近于常数 v0，我们把 v0称为 t0时刻的瞬时速度 注意：(1)t趋近于0，是指时间间隔t越来 越短，能越过任意小的时间间隔，但始

6、终不 为0. (2)s、t在变化中都趋于0，但它们的比值 却趋近于一个确定的常数 2函数的瞬时变化率 设函数 yf(x)在 x0附近有定义，当自变量在 xx0附近改 变 t 时，函数值相应地改变 yf(x0x)f(x0)，如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率y x就趋近于一个常数 l，则常数 l 称为 f(x)在点 x0的瞬时变化率 记作：lim x0 fx0xfx0 x l. 3求瞬时变化率(瞬时速度)的步骤 (1)求 yf(x0x)f(x0)； (2)求平均变化率y x fx0xfx0 x ； (3)求极限lim x0 y xlim x0 fx0xfx0 x . 如果质点A按规律s2t3

7、运动，则在t3秒时 的瞬时速度为( ) A6 B18 C54 D81 答案 C 解析 s(t)2t3， ss(3t)s(3)2t318t254t， s t2t 218t54，在 t3 秒时的瞬时速度为： lim t0 s tlim t0 (2t 218t54)54. 三 导数 1导数的定义 如果当 x0 时，函数 yf(x)在 x0到 x0x 之间的平均 变化率y x fx0xfx0 x 有极限，就说函数 yf(x)在点 x0处 可导，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)lim x0 y xlim x0 fx0xfx0 x . 注意：(1

8、)x0 的意义：|x0|可以小于给定的任意小的 正数，但始终有 x0. (2)当 x0 时，存在一个常数与fx 0xfx0 x 无限接近 2导函数 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x) 在区间(a，b)内可导这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都对 应一个确定的导数 f(x)，于是在区间(a，b)内 f(x)构成一个 新的函数，我们把这个函数称为函数 yf(x)的导函数，记为 f(x)(或 yx、y)导函数通常简称为导数 3用定义求导数的步骤 由导数的定义可知，求函数 yf(x)在点 x0处的导数的方法 如下： 求函数的增量：yf(x0x)f(x0)； 求

9、平均变化率：y x fx0xfx0 x ； 取极限，得导数：f(x0)lim x0 y x. 简记为“一差、二比、三极限” 4“函数 f(x)在点 x0处的导数”、“导函数”、“导数” 三者之间的区别和联系 (1)“函数在某一点处的导数”，就是在该点的函数的改变 量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数 (2)“导函数”：函数 f(x)在某一可导区间上的所有导数构 成的新函数 (3)导函数也简称导数，所以“f(x)在某一点 x0处的导数” 与“导函数”二者是个别与一般的关系 (4)函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 点 xx0处的函数值，f(x0)

10、f(x)|xx0. 所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函 数，再计算该点处的导函数值 已知函数 f(x)ax24 3axb，f(1)1，f(1)2，求 a、b 的值 解析 f(1)lim x0 f1xf1 x lim x0 a1x24 3a1xba 4 3ab x lim x0 a x22 3ax x lim x0 (a x 2 3a) 2 3a1， a3 2.又 f(1)a 4 3ab2，b 5 2. 因此得 a3 2，b 5 2. 课堂典例探究课堂典例探究 过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和 Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x 0.1时割线的斜率 平均变化率 解题提

11、示 割线 PQ1的斜率为y x. 解析 yf(1x)f(1)(1x)31 x33x23x， 割线 PQ 的斜率 ky x x33x23x x x23x3. 设当 x0.1 时割线的斜率为 k1，则 k10.1230.13 3.31. 方法总结 一般地， 设曲线 C 是函数 yf(x)的图象， P(x0， y0)是曲线上的定点， 点 Q(x0x， y0y)是曲线上与点 P 邻近 的点， 则有 y0f(x0)， y0yf(x0x)， 割线 PQ 的斜率 ky x fx 0x x . 某质点沿曲线运动的方程为y2x21(x表 示时间，y表示位移)，则该质点从x1到x 2时的平均速度为( ) A4 B

12、8 C6 D6 答案 D 解析 令 f(x)y2x21， 则质点从 x1 到 x2 时的 平均速度为vy x f2f1 21 22 212121 21 6，故选 D. 瞬时速度 以初速度 v0(v00)垂直上抛的物体，t 秒时的高 度为 s(t)v0t1 2gt 2，求物体在时刻 t 0处的瞬时速度 解题提示 求瞬时速度即求s t，当 t0 时的值 解析 sv0(t0t)1 2g(t0t) 2(v 0t01 2gt 2 0(v0 gt0)t1 2g(t) 2， s tv0gt0 1 2gt，当 t0 时， s tv0gt0. 故物体在时刻 t0的瞬时速度为 v0gt0. 方法总结 瞬时速度是平

13、均速度在 t0 时的极限值 因 此，要求瞬时速度应先求出平均速度 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关 系是s3tt2，求此物体在t2时的瞬时速 度 解析 由于 s3(2t)(2t)2(3222)3t 4tt2tt2， s t tt2 t 1t. vlim t0 s tlim t0 (1t)1. 物体在 t2 时的瞬时速度为1. 利用导数的定义求函数的导数 求yx2在点x1处的导数 解题提示 利用导数的定义解题 解析 因为 y(xx)2x2 (1x)2122x(x)2， 所以y x 2xx2 x 2x， 所以lim x0 y xlim x0(2x)2. 所以 y|x12. 方法总结 用导数

14、的定义求一个函数的导数的步骤：第 一步：求函数的增量，即求 yf(xx)f(x)第二步：求平 均变化率， 即求y x.第三步： 求极限， 即求lim x0 y x， 可简记为“一 差二化三极限” 利用导数定义求函数f(x)x23x在x2处 的导数 解析 由导数的定义知，函数在 x2 处的导数 f(2) lim x0 f2xf2 x ， 而 f(2x)f(2)(2x)23(2x)2 (x)2x，于是 f(2) lim x0 x2x x lim x0 (x1)1. 若函数 f(x)在 xa 的导数为 m， 求lim x0 fa2xfa2x x 的值 误解 lim x0 fa2xfa2x x lim

15、 x0 fa2xfafafa2x x lim x0 fa2xfa x lim x0 fafa2x x lim x0 fa2xfa x lim x0 fa2xfa x mm2m 辨析 不能正确地把已知条件转化为平均变化率的极 限，误认为lim x0 fa2xfa x m，lim x0 fa2xfa x m，从 而导致错误 正解 lim x0 fa2xfa2x x lim x0 fa2xfafafa2x x lim x0 fa2xfa x lim x0 fafa2x x 2lim x0 fa2xfa 2x 2lim x0 fa2xfa 2x 2m2m4m. 导数 平均变化率瞬时变化率了解 平均速率瞬时速度了解 定义理解 导数的求法理解