人教版B版选修1-2数学课件：3.2 复数的运算第2课时.ppt

1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第三章第三章 3.2 复数的运算复数的运算 第第2课时课时 复数的乘法和除法复数的乘法和除法 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 实数可以进行乘、除运算，那么复数可以进 行乘、除运算吗？怎样计算呢？其结果是怎 样一个数呢？下面我们来学习复数的乘、除 运算. 1.复数的加减为_相加减， _相加减 2复数的几何意义：|z|表示 _ |zabi|表示_ 答案：1.实部与实部 虚部与虚部 2复数 z 的对应点 Z 与原点 O 的距离，也就是向量OZ 的 模；复数 z

2、 的对应点 Z 与复数 abi 的对应点 A 间的距离|ZA|. 一 复数的乘法 1运算法则 两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是 把 i2换成1，并把最后结果写成 abi(a、bR)的形式 设 z1abi，z2cdi(a、b、cR)，则 z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi2(acbd)(ad bc)i. 显然两个复数的积仍是复数 2复数乘法的运算律 对于任意 z1、z2、z3C，有 (1)z1 z2z2 z1(交换律)； (2)(z1 z2) z3z1 (z2 z3)(结合律)； (3)z1 (z2z3)z1z2z1z3(分配律) 注意：实数范围内的乘法公式在复

3、数范围内仍然成立 3复数的乘方 复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律， 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立 即对复数 z1、z2、z 和自然数 m、n 有 zm znzm n， (zm)nz m n， (z1 z2) nzn 1 z n 2， z 01； zm 1 zm(z0) 注意：实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然 成立 已知a、bR，i是虚数单位，若ai2bi， 则(abi)2( ) A34i B34i C43i D43i 答案 A 解析 a、bR，ai2bi， a2，b1. (abi)2(2i)234i. 二 共轭复数的性质 复数 zabi 的共轭

4、复数为zabi(a、 bR)， 由此可知： (1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称且|z|z|； (2)实数的共轭复数是它本身，即 zz(zR)； (3)z z|z|2|z|2. 设 z 的共轭复数是z， 若 zz4， z z8， 则 z z 等于( ) Ai Bi C 1 D i 答案 D 解析 设 zabi(a、bR)， zz4，a2. 又z z8， 4b28.b24，b 2. 即 z2 2i，故 z z i，故选 D. 三 复数的除法 规定两个复数法的运算法则：(abi) (cdi) abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c2d2 acbd c2d2 bcad

5、c2d2 i(a、 b、 c、 dR，cdi0) 在进行复数除法运算时，通常先把(abi) (cdi)写成 abi cdi的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数 cdi，把 分母变为实数，化简后，就可得到所求结果 (1)两个复数相除(除数不为 0)，所得的商仍是一个复数 (2)zabi(a，bR)，z za2b2是进行复数除法运算中 实现分母“实数化”的一个手段 (3)设 z1、z2为任意复数，则(z1 z2) z1 z 2(z 20) 13i 1i ( ) A12i B12i C12i D12i 答案 B 解析 13i 1i 13i1i 1i1i 24i 2 12i. 四 复数运算与技巧

6、复数的运算顺序与实数的运算顺序相同先进行高级运算 (乘方、 开方)， 再进行次级运算(乘、 除)， 最后进行加、 减运算 同 时要灵活运用 i 的幂的性质进行运算 计算：(1i 1i) 6 2 3i 3 2i. 解析 ( 1i 1i) 6 2 3i 3 2i 1i2 2 6 2 3ii 3 2iii 6 2 3ii 2 3i 1i. 五 虚数单位 i 的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位 i 的乘方，in有如下性 质： i1i，i21，i3i i2i， i4i3 ii i1， 从而对于任何 nN，都有 i4n 1i4n i(i4)n ii， 同理可证 i4n 21，i4n3i，i4n41.

7、这就是说，如果 nN，那么有 i4n 1i，i4n21，i4n3 i，i4n 41. 由此可进一步得(1i)22i， (1i)22i， 1i 1i1， 1i 1i i，1 i i. 计算ii2i3i2015的值 解析 i21，i3i，i41， ii2i3i40， ii2i3i2015i2013i2014i2015 1. 课堂典例探究课堂典例探究 计算： (1)(1i)(1i)(1i)； (2)(2i)(15i)(34i)2i； (3)(4i5)(62i7)(7i11)(43i) 解题提示 应用复数的乘法法则及运算律 求解 复数的乘法运算 解析 (1)(1i)(1i)(1i) 1i21i1i.

8、(2)(2i)(15i)(34i)2i (210ii5i2)(34i)2i (211i5)(34i)2i (311i)(34i)2i (912i33i44i2)2i 5321i2i5323i. (3)(4i5)(62i7)(7i11)(43i) (4i)(62i)(7i)(43i) (248i6i2i2)(2821i4i3i2) 4739i. 方法总结 多个复数相乘可按从左到右的顺 序运算或应用乘法运算律运算，能够使用乘 法公式计算的应用公式更简捷 已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实 部为_ 答案 21 解析 z(52i)22520i421 20i，z的实部为21. 复数的除法运

9、算 计算： (1) 2i 34i1i2(1i) 2； (2) i2 3 12 3i(5i 3)(1i 2 )6. 解题提示 先按复数四则运算法则运算，最后写成 a bi(a，bR)的形式 解析 (1) 2i 34i1i2(1i) 2 2i 34i 2i2i 2i 86i2i 2i86i 86i86i2i 1020i 100 2i 1 10 11 5 i. (2) i2 3 12 3i (5i3)( 1i 2 )6 12 3ii 12 3i 5i2 i (1i 2 )23i5ii35i. 方法总结 复数加减法类似于多项式加减法，即合并同 类项；复数的乘法类似于多项式乘法；复数的除法类似于分母 有

10、理化，使分母实数化 已知复数z满足(34i)z25，则z( ) A34i B34i C34i D34i 答案 D 解析 由(34i)z25，得 z 25 34i 2534i 34i34i34i. 整体代入思想的应用 计算(1 2 3 2 i)4. 解题提示 灵活应用 的性质 解析 原式(1 2 3 2 i)4 (2)4(令 1 2 3 2 i)82(因为 61) (因为 2)1 2 3 2 i. 方法总结 由方程 x31 得 x11，x21 2i 3 2 i，x3 1 2 3 2 i.取 11 2 3 2 i，21 2 3 2 i，则有如下关系： 3 1 3 21； 1210； 2 12， 2

11、 21； 12，12； 1 21. 解题时要灵活运用，适当变形，巧用 1，2的性质，从而 达到事半功倍的效果 计算( 3i 2 1 3i 2 )12. 解析 因为 3i 2 1 3i 2 3ii2 2i 1 3i 2 1 3i 2 (1 i 1)(1 2 3 2 i)(1i)， 故原式(1)12(1 2 3 2 i)12(1i)12 (1 2 3 2 i)34(1i)261(2i)664. 两个互为共轭的复数之差是( ) A实数 B纯虚数 C0 D0 或纯虚数 误解 设互为共轭复数的两个复数分别为 zabi，z abi(a、bR)，则 zz2bi 或zz2bi.所以选 B. 辨析 混淆了复数与虚数的概念，误认为复 数就是共轭虚数，这样得到的是纯虚数，忽 略了实数的情况，错误地选B. 正解 设互为共轭复数的两个复数分别为 zabi，z abi(a、bR)，则 zz2bi 或zz2bi. bR， 当 b0 时， zzzz0； 当 b0 时， zz 2bi 和zz2bi 为纯虚数 两个互为共轭的复数之差为 0 或纯虚数故选 D. 复数的乘法 和除法 复数的乘法掌握 运算法则 运算律 复数的除法掌握 运算法则 运算律