人教版B版选修1-2数学课件：2.2 直接证明与间接证明第2课时.ppt

1、推理与证明推理与证明 第二章第二章 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 第第2课时课时 反证法反证法 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 有甲、 乙、 丙、 丁四位歌手参加比赛， 其中只有一位获奖 有 人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、 丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖了” 四位歌手中只有两人说对了，你知道获奖的歌手是谁吗？ 1.综合法的推证过程： _. 2分析法的推证过程 _. 答案： 1.命题的条件结论A结论B命题的结论 2.命题的结论结论1结论2命题的条件

2、 一 反证法 1反证法的定义 一般地，由证明 pq 转向证明 qrt，t 与假设矛 盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为假，推出 q 为真的方 法，叫做反证法 反证法不是直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论 的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性 2思维过程 否定结论推理过程中引出矛盾否定假设 肯定结论即否定推理否定，经过正确的推 理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即 肯定原命题) 3常见的主要矛盾 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾， 常见的主要矛盾有： (1)与题设矛盾 (2)与假设矛盾(自相矛盾) (3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证 明了的结论矛盾

3、(4)与公认的简单事实矛盾 (4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论 4用反证法证明的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假定； (3)由假定出发，应用正确的推理方法，推出 矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假定不真，于是原结论成立，从而间接地 证明命题为真 用反证法证明命题“如果 ab，那么3a3b”时，假设的 内容应是_ 答案 3 a3b或3a3b， 3 a3b和 3 a3b”的反设应为“3a3b或3a 2，求证1x y 0，1x2y 且 1y2x， 两式相加，得 2xy2x2y， xy2，这与已知条件 xy2 矛盾， 因此1x y

4、0，这与 abc0 矛盾， 因此 a、b、c 中至少有一个大于 0. 用反证法证明唯一性命题 求证：过直线外一点有且只有一条 直线与这条直线平行 解题提示 当证明的结论中含有“有且只 有”“唯一”等词时常用反证法证明 证明 已知：点P在直线a外 求证：过点P与直线a平行的直线有且只有 一条 证明：点P在直线a外，点P和直线a确 定一个平面，设该平面为，在平面内，过点 P作直线b，使得ba，则过点P有一条直线与 a平行 假设过点P还有一条直线c与a平行 ab，ac，bc，这与b、c相交于点 P矛盾，故假设不成立 方法总结 证明“有且只有一个”的问题， 需要证明两个命题，即存在性和唯一性当 证明结

5、论以“有且只有”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题时，由于反 设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯 一性较简单明了 已知直线 m 与直线 a 和 b 分别相交于 A、B，且 ab，求 证：过 a、b、m 有且只有一个平面 证明 ab， 过 a、b 有一个平面 . 又 maA，mbB， Aa，Bb， A，B，又 Am，Bm，m. 即过 a、b、m 有一个平面 ， 假设过 a、b、m 还有一个平面 异于平面 . 则 a，b，a，b，这与 ab，过 a、b 有且只 有一个平面相矛盾 因此，过 a、b、m 有且只有一个平面. 用反证法证明否定命题 给定实数 a，a0 且 a1，设函数 y

6、 x1 ax1 xR且x1 a ，求证：经过这个函数图象上任意两点的直线不 平行于 x 轴 解题提示 当证明的结论中含有否定词时常用反证法 证明 假设此函数图象上存在两点 M1、M2，使得直线 M1M2平行于 x 轴 设 M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且 x1x2， 则 由kM1M2 0得 y2y1 x2x1 x21 ax21 x11 ax11 x2x1 a1 ax21ax110. 解得 a1，这与已知条件 a1 矛盾， 故假设不成立，原命题成立， 即经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于 x 轴 方法总结 当结论中含有“不”、“不是”、“不可 能”、“不存在”等词语的命题，此类问

7、题的反面比较具体， 适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假 设作为已知条件推导出矛盾 求证 a， a1， a2不可能成等差数列，其中 a0. 证明 假设 a， a1， a2成等差数列，其中 a0， 则有 2 a1 a a2. 两边再同时平方得 4(a1)aa22 aa2， 整理得 a1 aa2， 两边再同时平方得 a22a1a22a， 即 10，这显然不成立， 所以假设不成立，原命题成立， 即 a， a1， a2不可能成等差数列，其中 a0. 分类讨论思想在反证法中的应用 用反证法证明“如果四边形ABCD 的一组对角互补，那么这个四边形内接于 圆” 解题提示 本题主要考查用反证法

8、证明几 何问题，注意分情况讨论 解析 假设四边形ABCD不是圆内接四边 形， 设经过点A，B，D的圆为O， 则点C在O内或O外 在O上取点C，连接BC，DC. 若点C在O内，则CBCD，A C180， 与AC180矛盾，所以假设不成 立； 若点C在O外，则CBCD，A C180， 与已知AC180矛盾所以假设不 成立 综上所述，四边形ABCD是圆内接四边形 方法总结 当假设中包括多种情况时，要注 意用分类讨论的方法，对每种情况进行否 定，从而得出正确结论 求证：当x2bxc20有两个不相等的非零 实数根时，bc0. 证明 假设bc0，则有三种情况出现： (1)若b0，c0，方程变为x20；x1

9、x2 0是方程x2bxc20的根，这与已知方程 有两个不相等的实根矛盾 (2)若b0，c0，方程变为x2c20，但当 c0时x2c20与x2c20矛盾 (3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程 的根为x10，x2b，这与已知条件：方 程有两个非零实根矛盾 综上所述，bc0. 用反证法证明：若函数f(x)在区间 a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a， b上至多只有一个实根 误解 证明：假设函数f(x)在区间a，b上 有两个实根，.因为，不妨设，又因 为函数f(x)在a，b上是增函数， f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以 方程f(x)0在区间上至多只有一个实根 辨析 至多只有一个实根的反面是“至少有 两个实根”，而不是“有两个实根” 正解 假设方程f(x)0在区间a，b上至少 有两个实根，设，为其中的两个实根 因为，不妨设，又因为函数f(x)在 a，b上是增函数，所以f()f() 这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0 在区间a，b上至多只有一个实根. 反证法 定义理解 理论依据理解 思维过程掌握 适用范围了解 证明过程假设；推理；导出矛盾； 结论