人教版B版选修1-2数学课件：2.1 合情推理和演绎推理第2课时.ppt

1、推理与证明推理与证明 第二章第二章 2.1 合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理 第第2课时课时 演绎推理演绎推理 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 一位双目失明的少女在一个炎热的 夏日被绑架了家人交了赎金后，她在 3 天后平安回到家少女告诉警察，绑 架她的好像是一对年轻夫妇，她应该是 被关在海边的小屋里：“在这间小屋里 能听到海浪的声音，我好像被关在阁楼上，天气非常闷热，不 过到了夜晚会有风吹进来” 警察在海边找到了两间简易小屋，一间朝 南，一间朝北，主人都是一对年轻夫妇不 过这两间屋打扫得干干净净

2、，找不出痕迹 后来警察根据一些情况，立即做出了判 断这些情况是： (1)两间小屋结构几乎完全相同，只是阁楼的 小窗一个朝北，一个朝南； (2)站在海岸上，面向海的方向是南面，背面 对着丘陵； (3)少女被关的3天都是晴天，而且一点风也 没有 那么，你知道少女被关在哪一间小屋里吗？ 1.推理 (1)定义：根据一个或几个已知 _得出一个判断，这种 _就是推理 (2)结构：一般由两部分组成，一部分是 _，叫做前提；一部分是 由已知_，叫做结论 (3)分类：推理一般分为_与 _ 2合情推理 (1)定义：前提为真时，结论_的 推理，叫做合情推理 (2)分类：数学中常用的合情推理有 _和_ 答案：1.(1

3、)事实(或假设) 思维方式 (2)已 知的事实(或假设) 推出的判断 (3)合情推 理 演绎推理 2(1)可能为真 (2)归纳推理 类比推理 一 演绎推理的含义 1定义：由概念的定义或一些真命题，依照 一定的逻辑规则得到正确结论的过程叫做演 绎推理 2演绎推理的特征：当前提为真时，结论必 然为真 说明：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理 (2)演绎推理与合情推理的区别： 合情推理 归纳推理 类比推理 演绎推理 推理 形式 个别一般 部分整体 特殊特殊 一般一般 一般特殊 结论 具有猜测性，不一定正确 若前提和推理过程正确， 则结论正确 作用 猜想发现结论，探索和提供思路 证明数学结论，建立数学

4、 体系的重要思维过程，是 严格证明的工具 二 演绎推理的三种形式 1三段论推理 (1)三段论推理是由大前提、小前提得出结论的推理形 式其结构形式为： 大前提已知的一般性原理； 小前提指出一个特殊的对象； 结论得出一般原理和特殊对象之间的内在联系 (2)三段论的一般格式： 大前提：M 是 P， 小前提：S 是 M， 结论：S 是 P 或 MP(M 是 P) SMS是M SPS是P . 也可以用：若 ab，bc，则 ac. (3)用集合知识说明“三段论”，如右图所示 若集合 M 中的所有元素都具有性质 P，且 S 是 M 的子集， 则集合 S 中的所有元素都具有性质 P. 有一段演绎推理是这样的“

5、任何实数的平方 都大于0，因为aR，所以a20”结论显然是 错误的，是因为( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 答案 A 解析 大前提“任何实数的平方都大于 0”是错误的，导致结论错误 2传递性关系推理 如果按规则“如果 aRb， bRc， 则 aRc”进行推理， 其中“R” 表示具有传递性的关系，这种推理规则叫做传递性关系推理 例如：“如果 ab，bc，则 ac”再如“ab，bc， 则 ac” 注意： 传递性关系推理与三段论既相联系， 又有本质区别， 三段论中是 bc， ab， 则 ac， 而传递性关系推理中的 ab， bc，则 ac，或 ab，bc，则 ac 的

6、关系更加具体化， 学习中应该注意二者的区别，切勿混淆 如图，因为ABCD，所以12，又因 为23，所以13.所用的推理规则 为( ) A假言推理 B关系推理 C完全归纳推理 D三段论推理 答案 B 解析 由题可知所用的推理规则为关系推 理 3完全归纳推理 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则是叫做完全归纳推 理 完全归纳推理和归纳推理的区别：完全归纳推理不同于归 纳推理，后者仅仅是说明了几种特殊情况就得出了结论，它的 结论不一定正确而前者是对所有的情况都进行了证明，它的 结论一定是正确 求证函数f(x)x4x3x21的图象都在x轴 的上方 证明 当x0恒成立，所以函数f(x)x4x3x21 的图

7、象在x轴的上方 当0x1时，f(x)x4x2(1x)10，所以 函数f(x)的图象在x轴的上方 当x1时，f(x)x3(x1)x210，所以函 数f(x)的图象在x轴的上方 综上所述，函数f(x)的值恒为正，所以其图象 在x轴的上方 三 数形结合思想在推理中的应用 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，“数”与 “形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直 观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维 和形象结构有机结合，应用数形结合思想，就是充分考查数学 问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示 其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思 路，

8、从而使问题得到解决 若函数 f(x)log2(x1)，且 cba0，则fa a ，fb b ，fc c 的 大小关系是( ) A.fa a fb b fc c B.fc c fb b fa a C.fb b fa a fc c D.fa a fc c fb b 答案 A 解析 作出函数 f(x)log2(x1)的图象(如图所示)， fa a ， fb b ，fc c 可看做三点与原点的连线的斜率，由图知选 A. 课堂典例探究课堂典例探究 用“三段论”证明：已知a、b、 cR，求证a2b2c2abbcca. 解题提示 利用“三段论”证题，要明确 大前提、小前提与结论，另外要知道三段论证 明的步骤

9、 利用三段论证明几何问题 解析 (1)一个实数的平方是一个非负数，(大前提) aR，bR，(小前提) 所以(ab)20.(结论) (2)不等式两边同时加上同一个数或式子，不等式仍成立， (大前提) (ab)20,2ab2ab，(小前提) 所以 a2b22ab.(结论) (3)同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同 向，(大前提) a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，(小前提) 所以(a2b2)(b2c2)(c2a2)2ab2bc2ca， 即 2(a2b2c2)2(abbcca)(结论) (4)不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，(大前提) 2(a2b2c2)2(abbc

10、ca)，(小前提) 所以 a2b2c2abbcca.(结论) 证明通常简略地表述为 aR，bR(ab)20 a2b22ab 同理b2c22bc c2a22ca (a2b2)(b2c2)(c2a2)2ab 2bc2ca 2(a2b2c2)2(abbcca)a2b2c2abbc ca. 方法总结 (1)应用三段论时，若大前提是显然的，则可 以省略如本例中，第二个三段论证明过程中，大前提及小前 提均可省略 (2)在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，其结论 必然是正确的 (3)重视演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中 的作用，养成言之有理，论证有据的好习惯 如图，在ABC 中，ACBC，C

11、D 是 AB 边上的高求证： ACDBCD. 证明 在ABC 中， 因为 CDAB， 所以ACDABCDB90 . 又 ACBC，所以BA，于是ACDBCD. 传递性关系推理 已知 a0， b0， ab1， 求证a1 2 b1 2 2. 解题提示 直接用条件 ab1 来推理，方向不够明确， 但只要注意求证式子的特点，就不难想到可以利用关系推理进 行证明 解析 1ab2 ab，ab1 4. 1 2(ab)ab 1 41， a1 2b 1 21， 从而有 22a1 2b 1 24， 即(a1 2)(b 1 2)2 a1 2b 1 24， (a1 2 b1 2) 24， a1 2a b1 22. 方

12、法总结 形中“ab，bc，则 ac”的推理规则叫 做传递性关系推理，其一般步骤是：(1)ab 成立；(2)bc 成 立；(3)ac 成立 求证：当 a，b，c 为正数时，(abc) (1 a 1 b 1 c)9. 解析 首先， 我们知道， ab 2 ab， (abc) (1 a 1 b 1 c) (ab)(1 a 1 b)(ab) 1 cc ( 1 a 1 b)c 1 c ab2 ab (ab)(1 c c ab)14(ab) 2 1 c c ab15 2ab ab 549. 易证：(abc)(1 a 1 b 1 c)3 b a c a a b c b a c b c3( b a a b)(

13、c a a c)( c b b c)32229(当且仅当 abc 时取 等号). 合情推理和演绎推理的综合应用 设 f(x)a xax 2 ， g(x)a xax 2 (其中 a0， a1) (1)求证：g(5)f(3) g(2)g(3) f(2) (2)能否把(1)中的结论推广？写出你的推广并加以证明 解题提示 由 523 推测验证 g(5)f(3) g(2) g(3) f(2)，再猜想 g(xy)f(x) g(y)g(x) f(y) 解 析 (1)f(3)g(2) g(3)f(2) a3a 3 2 a2a 2 2 a3a 3 2 a2a 2 2 a 5aa1a5a5aa1a5 4 a 5a

14、5 2 . 又 g(5)a 5a5 2 ，所以 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2) (2)因为 g(5)f(3) g(2)g(3) f(2)，即 g(32)f(3)g(2) g(3)f(2)， 于是猜测 g(xy)f(x) g(y)g(x) f(y) 证明如下：因为 f(x)a xax 2 ，g(x)a xax 2 ， 所以 g(xy)a xyaxy 2 . 又 g(y)a yay 2 ，f(y)a yay 2 ， 所以 f(x)g(y)g(x)f(y) a xax 2 aya y 2 a xax 2 aya y 2 a xyaxy 2 g(xy) 即 g(xy)f(x) g(y)g(x

15、) f(y) 方法总结 合情推理与演绎推理是互相渗透、互相联系、 互相补充的，是辩证统一的，在实践中，通常把两种推理结合 使用，由合情推理获得猜想假设，通过鉴别其真伪，去掉不正 确的部分，保留有研究价值的部分，获得确定结果，再给予演 绎证明 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并说明结 论的真假 sin215 sin275 sin2135 3 2； sin230 sin290 sin2150 3 2； sin245 sin2105 sin2165 3 2； sin260 sin2120 sin2180 3 2. 解析 猜想：sin2(60 )sin2sin2(60 )3 2. 左边(si

16、ncos60 cossin60 )2sin2(sincos60 cossin60 )23 2(sin 2cos2)3 2右边，所以猜想的结论正确. 求证：四边形的内角和是 360 . 误解 设四边形是矩形 ABCD，则它的四个角都是直角， 有ABCD90 4360 ， 所以四边形的内角和 等于 360 . 辨析 上述推理过程是错误的在证明过程中，把命题 中的四边形改为矩形，犯了偷换概念的错误 正解 设四边形为四边形 ABCD， 连结对角线 AC.由三角 形内角和定理， 得ABC 和ADC 的内角和均为 180 ， 所以四 边形 ABCD 的内角和为 180 2360 . 演绎推理 定义了解 特征理解 分类 三段论推理掌握 传递性关系推理理解 完全归纳推理理解