导数的定义课件.ppt

1、(一一)、导数概念导数概念 1.导数的定义导数的定义 2.切线问题切线问题 3.可导与连续的关系可导与连续的关系1.导数的定义导数的定义引例引例1.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线AC播放播放ABACBA割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 0 xxoxy)(xfy CB如图如图,).y,x(B),y,x(A00设设的斜率为的斜率为割线割线AB00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,xx,AB0C沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线AD.)()(limtan000 xxxfxfkxx AD0yy 0 xx.ttf(t

2、),s 20时时的的运运动动速速度度求求在在物物体体移移动动路路程程引引例例 ttt:t00 )t(f)tt(fs00 t)t(f)tt(fts00 ,tt,t 00内的平均速度内的平均速度为物体在为物体在 tslim0t .t0时的瞬时速度时的瞬时速度为物体在为物体在00 xx0 xx000 x0000|dx)x(df),x(f,y,x)x(fy,x)x(fy,xylim);x(f)xx(fyy,xx,x)x(fy 记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数存在存在如果如果的改变量为的改变量为相应地函数相应地函数一个改变量一个改变

3、量给给的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数定义定义3.1xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即几何意义几何意义:.x)x(fy)x(f00处切线的斜率处切线的斜率在在表示表示 物理意义物理意义:.x)x(s00处的瞬时速度处的瞬时速度表示物体在表示物体在 从变化的观点看从变化的观点看:.x)x(f00处的变化率处的变化率表示函数在表示函数在 2.右导数右导数:def3.2 单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;0 xx)0 x(f)x(f0 xxlimx)0 x(f)x0 x(f0 xlim)0 x(f ;0 xx)0 x(f)x(f0 xxlimx)

4、0 x(f)x0 x(f0 xlim)0 x(f 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导)(0 xf =)(0 xf .f(x)在在(a,b)可导可导:可导可导在在00 x)x(f),b,a(x f(x)在在a,b可导可导:;b)(a,f(x)1(可导可导在在)x(f,D)x(f 则则内可导内可导在集合在集合为为x的函数的函数,称为导函数称为导函数,dx)x(df,dxdy,y),x(f 记为记为xxfxxfyx )()(lim0即即.h)x(f)hx(flim)x(f0h 或或注意注意:.)()(.100 xxxfxf .)b(f),a(f (2)存在存在 的函数值的函数值在在表示表示0

5、 xx)x(f )x(f)x(f:00 与与区别区别步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限)C(C)x(fy )1(为常数为常数 解解x)x(f)xx(flimxylim)x(f0 x0 x xCClim0 x .0.0)C(即即例例1用定义求下列函数的导数用定义求下列函数的导数,xsin)x(f )2(解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22.)x(sin4x 并求

6、并求xsin)x(cos:同理可得同理可得lnxy )3(解解:xylim)x(lnoxx)xln()xxln(lim0 x x)xx1ln(lim0 x xxxlim0 x x1 x1)(lnx )1a,0a(a)x(f )4(x 解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee )0(xy)5(.nx)x(1nn 特别地特别地)R(.x)x(1 解解hx)hx(lim)x(0h hx1)xh1(lim0h 10hxxhxhlim 例例2 2.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,0 x x

7、0 x xx)x(f xxlimx)0(f)x(flim0 x0 x ,1 xxlimx)0(f)x(flim0 x0 x .1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy)2(f),x(f?0 x,0 x x)ln(10 x sinx f(x)3 并求并求处可导否处可导否问在问在例例oxy)(xfy T0 xM导数的几何意义导数的几何意义:)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy 0)x(f),xx()x(

8、f1yy0000 2.切线问题切线问题.xsinxy 4程程处的切线方程和法线方处的切线方程和法线方在在求求例例 3.可导与连续的关系可导与连续的关系证证,x)x(f0可可导导在在点点函函数数存在存在)x(fxx)x(f)x(flim000 xx0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf.,x)x(fxf(x)y 2.300反之未必反之未必连续连续在在可导可导在在性质性质 0)x(f)x(f(lim0 xx0 0)xx(lim 0 xx0 )x(f)x(flim0 xx0#推论：不连续函数一定不可导推论：不连续函数一定不可导处处可导处处可导使使确定常数确定常数例例 1x x1x baxf(x)

9、ba,52.,2,1,0 x,2x x 2x1 2x1x0 12x0 x 1f(x)62可导性可导性处的连续性处的连续性在在讨论讨论例例 有有的的某某一一邻邻域域则则在在或或可可导导在在设设性性质质)x(Ox)0)x(f(0)x(f,xf(x)00000 )x(f)x(f)(x(f)x(f,xx000 或或时时)x(f)x(f)(x(f)x(f,xx000 或或时时0)x(f)x(f,x)x(Ox,0)x(f,00000 是是的的某某一一去去心心邻邻域域时时当当因因此此内必有一根内必有一根在在证证上连续上连续在在设设例例)b,a()x(f:,0)b(f,0)a(f0,f(b)f(a),ba,f

10、(x)7 六、小结六、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABAC

11、BA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x

12、)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACBA1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACAB1.导数的定义导数的定义引例引例.x)x(fy0的切线的斜率的切线的斜率在在求求 思路思路:用割线用割线AB逼近切线逼近切线ACABACA