对坐标的曲面积分91922课件.ppt

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 三三、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 四四、对坐标的曲面积分的计算法、对坐标的曲面积分的计算法五、两类曲面积分的联系五、两类曲面积分的联系二、二、概念的引入概念的引入机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上

2、曲面分上侧和下侧侧和下侧曲面分内曲面分内侧和外侧侧和外侧曲面分左曲面分左侧和右侧侧和右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束n典型双侧曲面典型双侧曲面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束其方向用其方向用法向量法向量指向指向表示表示:方向余弦方向余弦 cos cos cos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧设设 为有向曲面为有向曲面,)(yxS S yxS)(侧的规定侧的规定指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面,其面元其面元在在 xoy 面上的投影记为面上

3、的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为的面积为则规定则规定,)(yx ,)(yx ,0时时当当0cos 时时当当0cos 时时当当0cos 类似可规定类似可规定zxyzSS)(,)(取上侧取上侧取下侧取下侧说明说明 看作上、下两侧看作上、下两侧面投影则将面投影则将向向曲面曲面 xoy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束面上的投影面上的投影面及面及在在类似地可定义类似地可定义xozyozS.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当yzyzyzS.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当zxzxzxS取前侧取前侧取后侧取后侧取右侧

4、取右侧取左侧取左侧规律规律上侧、前侧、右侧投影到相应坐标面上时，符上侧、前侧、右侧投影到相应坐标面上时，符号取正；反之则取负号取正；反之则取负.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、二、概念的引入概念的引入1.引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量(设流体密度为设流体密度为1).),(),(),(zyxRzyxQzyxPv A【分析分析】若若 是面积为是面积为A的的平面平面,则流量则流量 单位法向量单位法向量:流速为流速为常向量常向量:)cos,cos,(cos nv co

5、svAnvA nv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对一般的有向曲面对一般的有向曲面 ,用用“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”ni 10lim 0lim ni 1 iiiiP cos),(iiiiR cos),(0lim ni 1 zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQ cos),(iS 对稳定流动的不可压缩流体的对稳定流动的不可压缩流体的速度场速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得进行分析可得iniviiiSnv )cos,cos,(cosiiiin 设设,则则 机动机动 目录目录

6、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、概念及性质三、概念及性质 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(2.【存在条件】【存在条件】（充分性）（充分性）3.【组合形式组合形式】dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(zyPdd xzQdd称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为称为R 在有向曲面在有

7、向曲面 上上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束引例中引例中,流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为 yxRxzQzyPdddddd若记若记 正侧正侧的单位法向量为的单位法向量为令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS ),(,),(,),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式4.【物理意义物理意义】5.【向量形式向量形式】有向曲有向曲面元面元 y

8、xRxzQzyPdddddd SnAd SA d机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6.【性质】【性质】与第二类曲线积分性质类似与第二类曲线积分性质类似 2121).1(RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),().2(由此性质可知：对坐标的曲面积分必须注意积分曲由此性质可知：对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的面所取的侧侧.(积分域的可加性积分域的可加性)(有向性有向性)机动机动 目录目录

9、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束四、计算法四、计算法),(yxfz xyDxyzoxyS)(化为二重积分计算化为二重积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(一一投投 二代二代 三定号三定号【定理】【定理】设光滑曲面设光滑曲面yxDyxyxzz ),(,),(:取上侧取上侧,),(zyxR是是 上的连续函数上的连续函数,则则,)()(,0cos,xyxyiS 取下侧取下侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有如果如果,),(),(:yzDzyzyxx yzDdydzzyzy

10、xPdydzzyxP,),(),(（前后两侧）（前后两侧）【说明说明】(前正后负前正后负)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束则有则有如果如果,),(),(:zxDxzxzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(1 1、对坐标的曲面积分、对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的侧侧.（左右两侧）（左右两侧）(右正左负右正左负)【注注】2 2、积分曲面的方程必须表示为、积分曲面的方程必须表示为单值显函数单值显函数 否则否则分片分片计算，结果相加计算，结果相加3 3、确定正负号的原则：、确定正负号的原则：曲面取曲面取上上侧、侧、前前侧、侧、

11、右右侧时为侧时为正正 曲面取曲面取下下侧、侧、后后侧、侧、左左侧时为侧时为负负机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1】dxdyzdzdxydydzx222 计算曲面积分计算曲面积分 整个表面的外侧整个表面的外侧是长方体是长方体其中其中 czbyaxzyx 0,0,0),(【解】【解】分为六个部分分为六个部分有向曲面有向曲面 的上侧的上侧cz :1的下侧的下侧0:2 z的前侧的前侧ax :3的右侧的右侧by :5的后侧的后侧0:4 x的左侧的左侧0:6 y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dydzx2先计算先计算 43面上的投影为零面上的投

12、影为零外，其余四片曲面在外，其余四片曲面在、除除yoz 则则 43222dydzxdydzxdydzx yzDdydza2bca2 同理同理 652dzdxyacb2 212dxdyzbac2 abccba)(原式原式故故 yzDdydz20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】;1:2211yxz ,1:2222yxz 根据对称性根据对称性0dd yxxyz 思考思考 下述解法是否正确下述解法是否正确:ozyx11 2 yxD 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy221 xyDdxdyyxxy2212 1cossin222 x

13、yDdd.152 d12103 20d2sin 0,01:22yxyxDyx xyDdxdyyxxy)1(22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系xyD),(yxfz xyzodsn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz dSdxdy cos dxdyzyxR),(cos),(dSzyxR xyDdxdyyxzyxR),(,dxdyzzdSyx221 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束类似可得类似可得

14、dszyxPdydzzyxPcos),(),(dszyxQdzdxzyxQ cos),(),(dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系合并以上三式，即得合并以上三式，即得上上是曲面是曲面、其中其中 ),(),(),(zyxzyxzyx处处的的法法向向量量的的方方向向角角点点),(zyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】【分析】【分析】将将用面积元素之间的关系用面积元素之间的关系的的曲曲面面积积分分的的曲曲面面积积分分化化为为对对对对yxzy,【例例3】计算曲面积分计算曲面积分其中其中,dddd

15、)(2 yxzzyxz旋转抛物面旋转抛物面)(2221yxz 介于平面介于平面 z=0及及z=2 之间部分的下侧之间部分的下侧.oyxz2221cosyxx dd)(2 zyxz )(2xzSdcos yxddcoscos 原式原式=)(2xz yxzdd )(2xz2211cosyx )(x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一投一投 二代二代 三定号三定号【注注】1.也可化为第一类曲面积分后再行计算也可化为第一类曲面积分后再行计算 )(xxyxD 222)(41yx oyxz2)(2122yx yxDyxyxxdd)(22212rrrrd)cos(2212202 2

16、0d 8 yxdd得得代代入入将将,)(2221yxz )(2xz yxzdd)(x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【注注】2.此例的解法具有普遍性此例的解法具有普遍性Dyxyxzz ),(,),(的方程为的方程为设光滑曲面设光滑曲面取上侧取上侧 上连续上连续在在 RQP,RdxdyQdzdxPdydz DyzyxzyxQxzyxzyxP)(,(,)(,(,dxdyyxzyxR ),(,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束另解另解 zdxdydydzxz)(2 dSzxz coscos)(2而而.11cos,1cos2222yxyxx 故故上式

17、上式dSyxzyxxxz 22222111)(（一投、二代、三换）（一投、二代、三换）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyDdxdyyxyxyxyxxxyx2222222222211)(2114)(dxdyyxxxyxyx 42222222224)(42242222222)3(21)(4yxyxdxdyyxdxdyyxx注意到第一个积分为零注意到第一个积分为零 （？）轴轴对对称称关关于于为为奇奇函函数数，关关于于yDxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束于是于是 上式上式 42222)3(21yxdxdyyx 2022220)cos2(21

18、rdrrrd 2022220)21cos(rdrrrd 8 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【规律】【规律】dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(在计算第二类曲面积分在计算第二类曲面积分时，对这类组合式的曲面积分，需要计算多个积时，对这类组合式的曲面积分，需要计算多个积分，计算量大；所以分，计算量大；所以(1)可利用两类面积分之间的可利用两类面积分之间的关系化为对面积的（第一类）面积分（尤其是当关系化为对面积的（第一类）面积分（尤其是当是平面时，此法更为有效，因为此时三个方向是平面时，此法更为有效，因为此时三个方向余弦皆为常数）。或余弦皆为

19、常数）。或(2)利用面积元素之间的关系利用面积元素之间的关系化为计算化为计算同一个同一个第二类面积分。第二类面积分。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束六、小结六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.曲面的侧曲面的侧b.“一代一代,二投二投,三定号三定号”3.两类面积分的联系两类面积分的联系:yxRxzQzyPdddddd SRQPdcoscoscos【思考思考】的方向有关的方向有关,上述联系公式是否矛盾上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与两类曲面积分的定义一

20、个与 的的方向无关方向无关,一个与一个与 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4.常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分面积分第一类第一类(对面积对面积)第二类第二类(对坐标对坐标)二重积分二重积分(1)统一积分变量统一积分变量代入曲面方程代入曲面方程(方程不同时，分片积分方程不同时，分片积分)(2)积分元素投影积分元素投影第一类：第一类：面积投影面积投影第二类：第二类：有向投影有向投影(4)确定积分域确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化机动机动 目录

21、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束当yxDyxyxzz ),(,),(:时，时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22 yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取（上侧取“+”,下侧取下侧取“”)类似可考虑在类似可考虑在 yoz 面及面及 zox 面上的二重积分转化公式面上的二重积分转化公式.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，221zxy 而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.221zxy