定积分与微积分基本定理课件.ppt

1、返回目录返回目录 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤曲边梯形的面积的具体步骤为为 、.取极限取极限 分割分割 近似代替近似代替 求和求和 返回目录返回目录 2.2.定积分的定义定积分的定义 如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,用分点用分点a=x0 x1xi-1xn=b将区间将区间a,b等分成等分成n个小区个小区间间,在每个小区间在每个小区间xi-1,xi上任取一点上任取一点i(i=1,2,n),作作和式和式 .当当n+时时,上述和式无限上述和式无限接近某个常数接近某个常数,这个常数叫做函数这个常数叫做

2、函数 f(x)在区间在区间a,b上上的定积分的定积分,记记 作作 ,即即 =,其中其中f(x)叫做叫做 ,x叫叫做做 ,f(x)dx叫做叫做 ,区间区间a,b叫叫做做 ,a叫做叫做 ,b叫做叫做 ,“”称为积分号称为积分号.积分上限积分上限 b bf(x)dxf(x)dxa )f(ab-1x)f(in1in1iib bf(x)dxf(x)dxa )f(ab-limin1inn被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积式被积式 积分区间积分区间 积分下限积分下限 返回目录返回目录 3.3.的实质的实质 (1)当当f(x)在区间在区间a,b上大于上大于0时时,表示由直线表示由直线x=a,x=b(ab

3、),y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的所围成的曲边梯形的 .这也这也是定积分是定积分 的几何意义的几何意义.(2)当当f(x)在区间在区间a,b上小于上小于0时时,表示由直线表示由直线x=a,x=b (ab),y=0和曲线和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯的所围成的曲边梯的 .b bf(x)dxf(x)dxab bf(x)dxf(x)dxab bf(x)dxf(x)dxab bf(x)dxf(x)dxa面积的相反数面积的相反数面积面积 b bf(x)dxf(x)dxa (3)当当f(x)在区间在区间a,b上有正有负时上有正有负时,表示介于表示介于x=a,x=b(ab)之间之间x轴

4、之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.4.4.定积分的运算性质定积分的运算性质(1)=.(2)=.(3)=.返回目录返回目录 b bkf(x)dxkf(x)dxab bd dx xg g(x x)f f(x x)ab bf(x)dxf(x)dxab bf(x)dxf(x)dxakb bb bg g(x x)d dx xf f(x x)d dx xaab b)c c(a ag g(x x)d dx xf f(x x)d dx xb bc cc ca a返回目录返回目录 5.5.微积分基本定理微积分基本定理 一般地一般地,如果如果f(x)是区间是区间a,b上的

5、连续函数上的连续函数,并且并且F(x)=f(x),那么那么 =F(b)-F(a).这个结论叫做微这个结论叫做微积分基本定理积分基本定理,其中其中F(x)叫做叫做f(x)的一个原函数的一个原函数.F(b)-F(a)记为记为F(x).即即 =F(x)=F(b)-F(a).6.利用微积分基本定理求定积分的关键是利用微积分基本定理求定积分的关键是 可将基本初等函数的导数公式逆向使用可将基本初等函数的导数公式逆向使用.b bf(x)dxf(x)dxab bf(x)dxf(x)dxa|b ba a|b ba a求被积求被积 函数的原函数函数的原函数 返回目录返回目录 计算下列定积分计算下列定积分:(1)x

6、(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.2021x10 0求出被积函数的原函数求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进用微积分基本定理进行求解行求解,计算计算 f(x)dx的关键是找到满足的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数的函数F(x).其中其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.返回目录返回目录 ba(1)x(x+1)=x2+x且且(x3)=x2,(x2)=x,x(x+1)dx=(x2+x)dx =x2dx+xdx=(23-0)+(22-0)=.3121202020202 20 02 22 20 03 3|x x|

7、x x3 31 1213121314返回目录返回目录 (2)(lnx)=,(e2x)=e2x(2x)=2e2x,得得e2x=(e2x),所以所以 (e2x+)dx=e2xdx+dx =e2x +lnx =e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.x x1 12 21 121x x1 12121x x1 12 21 1|2 21 1|2121212121 (3)由由(sin2x)=cos2x(2x)=2cos2x,得得cos2x=(sin2x),所以所以 sin2xdx=(-cos2x)dx =dx-cos2xdx =x -(sin2x)=(-0)-(sin2-sin0)=.0 02121

8、 02121 021 0 0|21212 21212 2121返回目录返回目录 0 0|返回目录返回目录 计算一些简单的定积分，解题的步骤是：计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（理求出各

9、个定积分的值；（5）计算原始定积分的值）计算原始定积分的值.返回目录返回目录 求下列定积分求下列定积分:(1)(2x-3x2)dx;(2)sin2 dx;(3)(x+)dx.30 x120 212x(1)(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2 -x3 =-18.(2)sin2 dx=dx=dx-cosxdx=x -sinx=.返回目录返回目录 30303030 0|20 2x20)(2 2c co os sx x-1 120 212120 2130 0|212 0 02 0 0214(3)(x+)dx=xdx+dx=x2 +lnx =+ln2.返回目录返回目录 212321x1212

10、1x121 1|21 1|返回目录返回目录 计算下列定积分计算下列定积分:(1)|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.对于第对于第(1)小题小题,应对在区间应对在区间0,2上上的正、负进行分情况计算；而对于第（的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在）小题，在0 x2的条件下，对的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论的正、负情况进行讨论.2020(1)(-cosx)=sinx,|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cosx +cosx=-(cos-cos0)+(cos2-cos)=4.返回目录返回目录 20 0 2 0 2 0 0|2|

11、(2)0 x2,x2-1 (1x2)1-x2 (0 x1),|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=(x-x3)+(x3-x)=(1-)+(23-2)-(-1)=2.(1)含绝对值的函数实际上就是分段函数含绝对值的函数实际上就是分段函数.(2)分段函数在区间分段函数在区间a,b上的定积分可分成几段上的定积分可分成几段定积分和的形式定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准分段的标准就是分段函数的标准.返回目录返回目录|x2-1|=2010213110 0|3121 1|313131 x3 x0,1 x2 x(1,2 2x x(2,3在区间在区间0,3上的积分上的积分;(2)计算

12、计算:dx.返回目录返回目录(1)求函数求函数f(x)=20 s si in n2 2x x -1 1(1)由积分性质知由积分性质知 f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=+=.返回目录返回目录 301021321024x21321010331x322ln2x2ln42ln83138412ln41231返回目录返回目录(2)当当x0,时时,=|sinx-cosx|-sinx+cosx 0 x sinx-cosx x ,=|sinx-cosx|dx=|sinx-cosx|dx+|sinx-cosx|dx=(-sinx+cosx)dx+(sinx-c

13、osx)dx2 2)cos(sin2sin1xxx=4 4 2 dxx202sin1 20 40 24 40 24 =(cosx+sinx)+(-sinx-cosx)=cos +sin -(cos0+sin0)+（-sin -cos ）-（-sin -cos ）=+-1+(-1)-（-）=2 -2.04 42 4 4 2 2 4 4 222222222返回目录返回目录 求定积分求定积分 .当利用微积分基本定理不能奏效时，需当利用微积分基本定理不能奏效时，需考虑用定积分的几何意义来进行解决考虑用定积分的几何意义来进行解决.设设 ,则则x2+y2=1（y0）,表示由曲线表示由曲线 在在0,1上的一

14、段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积，分的圆的面积，.dxx102121xy21xydxx102141102 dxx用定积分的几何意义求定积分，不仅简用定积分的几何意义求定积分，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系系.因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本学因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本学案内容的关键案内容的关键.返回目录返回目录 返回目录返回目录 求定积分求定积分 .令令y=，则，则(x-3)2+y2=25(y0),表示由曲线表示由曲线y=在在-2,3上的一段

15、与上的一段与x轴和直线轴和直线x=3所围成的面积，所围成的面积，=52=.dxxx2226162616xx dxxx2226162616xx dxxx22261641425返回目录返回目录 求抛物线求抛物线y2=2x与直线与直线y=4-x围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.先求出抛物线先求出抛物线y2=2x与直线与直线y=4-x的交点的交点,将积分区间确定将积分区间确定,再求定积分再求定积分.y2=2x y=4-x解出抛物线和直线的交点为解出抛物线和直线的交点为(2,2)及及(8,-4).解法一解法一:选选x作为积分变量作为积分变量,由图可看出由图可看出S=A1+A2,由方程组由方程组在

16、在A1部分部分:由于抛物线的上半支方程为由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为下半支方程为y=-，所以，所以 =,=于是：于是：S=18.x2x21ASdxxdxxx20212022)2(231632220223x2ASdxxx)2(48233832221402232xxx318316返回目录返回目录 返回目录返回目录：选：选y作积分变量，作积分变量，将曲线方程写为将曲线方程写为x=及及x=4-y.S=30-12=18.对于求平面图形的面积问题对于求平面图形的面积问题,应首先画出平应首先画出平面图形的大概图形面图形的大概图形,然后根据图形的特点然后根据图形的特点,选择相应的积选择相应的积分

17、变量以确定积分区间分变量以确定积分区间,写出图形面积的积分表达式写出图形面积的积分表达式,再再进行求解进行求解.242224262424yyydyyy22y如图所示如图所示,直线直线y=kx分抛物线分抛物线y=x-x2与与x轴所围图形为轴所围图形为面积相等的两部分面积相等的两部分,求求k的值的值.抛物线抛物线y=x-x2与与x轴两交点的轴两交点的横坐标横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线所以抛物线与与x轴所围图形的面积轴所围图形的面积61312132)(1032102xxdxxxS返回目录返回目录 抛物线抛物线y=x-x2与与y=kx两交点的横坐标两交点的横坐标所以所以又知又知S=,所以所以(

18、1-k)3=,于是于是k=.kxx1,02131032102)1(61321)(2kxxkdxkxxxSkk612412113321返回目录返回目录 一辆汽车的速度一辆汽车的速度时间曲线如图所示时间曲线如图所示,求此汽车在这求此汽车在这1 min内所行驶的路程内所行驶的路程.由题意知由题意知,在在t0,10)和和t40,60)物体做匀变速直线物体做匀变速直线运动运动,t10,40)做匀速运动做匀速运动,v(t)应为分段函数应为分段函数,应三段求积分应三段求积分.返回目录返回目录 由速度由速度时间曲线易知时间曲线易知,3t,t0,10)30,t10,40)-1.5t+90,t40,60,由变速直

19、线运动的路程公式可得由变速直线运动的路程公式可得 答答:此汽车在这此汽车在这1 min内所行驶的路程是内所行驶的路程是1 350 m.v(t)=135090433023)905.1(303604024010101260404010100ttttdttdtdttS返回目录返回目录 用定积分解决变速运动的位置与路程问题用定积分解决变速运动的位置与路程问题时时,将物理问题转化为数学问题是关键将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的变速直线运动的速度函数往往是分段函数速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分质将其分成几段积分,然后求出积分的和然后

20、求出积分的和,即可得到答案即可得到答案,由于函数是分段函数由于函数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些所以运算过程可能稍微复杂些,因因此在运算过程中一定要细心此在运算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误不要出现计算上的错误.返回目录返回目录 A,B两站相距两站相距7.2km，一辆电车从，一辆电车从A站开往站开往B站，电车站，电车开出开出ts后到达途中后到达途中C点，这一段速度为点，这一段速度为1.2t(m/s)，到，到C点速度达点速度达24m/s，从，从C点到点到B站前的站前的D点以等速行驶，点以等速行驶，从从D点开始刹车，经点开始刹车，经ts后，速度为后，速度为(24-1.3t)m/s.

21、在在B点点恰好停车恰好停车,试求试求:(1)A,C间的距离间的距离;(2)B,D间的距离间的距离;(3)电车从电车从A站到站到B站所需的时间站所需的时间.返回目录返回目录 （1）设）设A到到C经过经过t1s,由由1.2t1=24得得t1=20(s)，所以，所以AC=240(m).（2）设从）设从DB经过经过t2s，由，由24-1.2t2=0得得t2=20(s),所以所以DB=240(m).（3）CD=7 200-2240=6 720(m).从从C到到D的时间为的时间为t3=280(s).于是所求时间为于是所求时间为20+280+20=320(s).20020026.02.1ttdt200)2.124(dtt246720返回目录返回目录 返回目录返回目录