定积分的换元积分和分部积分法课件.ppt

1、定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当t在区间在区间,上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，则则 有有dtttfdxxfba )()()(.6.5定积分的换元积分法定积分的换元积分法证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()(dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a)(

2、、b)(,)()()()(FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()(.)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:求出求出)()(ttf 的一个原函数的一个原函数)(t 后，不后，不必象计算不定积分那样再要把必象计算不定积分那样再要把)(t 变换成原变换成原变量变量x的函数，而只要把新变量的函数，而只要把新变量t的上、下的上、下限分别代入限分别代入)(t 然后相减就行了然后相减就行了.（2）（1）用用)(tx 把变量把变量x换成新变量换成新变量 t 时，积分限也时，积分限也 相应的改变相应的改变.例

3、例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,sin xdxdt 例例2 2 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x,0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(adxxf

4、0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x,

5、0 t 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x,t x,0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上

6、具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .12312 则则例2 计算10 xxe dx解:11001100110010()

7、|(1)|1xxxxxxxxe dxxd exee dxxeeex例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx

8、102cos21x).11(cos21 ,0sin)1(11 dtttf定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 .bababavduuvudv小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法dxxfba)(dtttf )()(思考题一：思考题一：指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332:t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考题二：思考题二：设设)(xf 在在 1,0上连续，且上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求，求 10)2(dxxfx.思考题一解答思考题一解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec,43,32 t,0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考题二解答思考题二解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2