定积分在几何学上的应用课件-2.ppt

1、1定积分有着广泛的用途定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便方先介绍建立定积分的一种适用的简便方元素法元素法(微元法微元法).).第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 本章介绍它在本章介绍它在几何几何,物理上的简单应用物理上的简单应用,培养用数学知识来培养用数学知识来分析和解决实际问题的能力分析和解决实际问题的能力.法法-The application of definite integral 2问题的提出问题的提出小结小结 思考题思考题第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法第六章第六章 定积分的应用定积分的应用(微元法微元法)3究竟哪些量可用定积分来计算呢。究竟哪些量可

2、用定积分来计算呢。首先讨论这个问题。首先讨论这个问题。结合曲边梯形面积的计算结合曲边梯形面积的计算一、问题的提出一、问题的提出可知，可知，用定积分计算的量用定积分计算的量应具有如下应具有如下及定积分的定义及定积分的定义许多部分区间，许多部分区间，(即把即把a,b分成分成两个特点两个特点:(1)所求量所求量I 与与a,b有关；有关；(2)I 在在a,b上具有可加性上具有可加性则则I 相应地分成许多部分量，相应地分成许多部分量，而而I 等于所有部分量之和等于所有部分量之和)。4按定义建立积分式有按定义建立积分式有四步曲四步曲:“分割、分割、baxxfId)(有了有了N-L公式后公式后,对应用问题来

3、说对应用问题来说关键关键就在于如何写出就在于如何写出被积表达式被积表达式.iniixf )(lim10 得到得到 这个复杂的极限运算问题得这个复杂的极限运算问题得到了解决到了解决.xxfd)(xxfId)(d )1(是所求量是所求量 I 的微分的微分.iI 于是于是,称称xxfId)(d 为量为量 I 的的微元微元或或元素元素.取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限,5)2(I这种简化了的建立积分式的方法称为这种简化了的建立积分式的方法称为元素法元素法或或微元法微元法.xxfd)(ba方法方法简化步骤简化步骤)1(求出求出上任取一小区间上任取一小区间在在,d,xxxba+也是它的也是它的的近

4、似值的近似值上所求量上所求量(d,Ixxx+即即的微分的微分,d)()xxf.d)(xxfI 6Oxyab)(xfy xxxd+bxaxxfy 、直直线线设设曲曲边边梯梯形形由由)(.轴轴围围成成与与x这个小区间上所这个小区间上所对应的小曲边梯形面积对应的小曲边梯形面积面积元素面积元素xxfAd)(d 得得 曲边梯形面积的积分式也可以用曲边梯形面积的积分式也可以用元素法。元素法。Axxfd)(ba地等于长为地等于长为f(x)、宽为、宽为dx 的的小矩形面积小矩形面积,故有故有近似近似Adxxfd)(上任取一小区间上任取一小区间在在,ba,d,xxx+7平面图形的面积平面图形的面积体体 积积第二

5、节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用第六章第六章 定积分的应用定积分的应用8一、平面图形的面积一、平面图形的面积 回忆回忆 baxxfd)(的几何意义的几何意义:,0)(,xfba内内若若在在的值的值则则 baxxfd)(轴之间轴之间与与等于介于等于介于xbxaxxfy ,),(启示启示 一般曲线围成区域的面积也可以一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算用定积分来计算.定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线.注注9Oxy,上上设在区间设在区间ba,)(的上方的上方xgy ),()(xgxf 求这两条曲线求这两条曲线及直线及直线bxax ,所围成的区

6、域的所围成的区域的面积面积A.)(xgy )(xfy ab上上任任取取一一个个在在,ba,d,xxx+的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应 Ad xxgxfAd)()(1)()(xgxf xd ab位位于于曲曲线线曲曲线线)(xfy 即即A1.直角坐标系中图形的面积直角坐标系中图形的面积小区间小区间xxxd+10(2)由曲线由曲线)()(ygyf 和直线和直线dycy ,所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.上上任任取取一一个个在在,dc,d,yyy+的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应 yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd+)(),(

7、ygxyfx cdA小区间小区间Oxy11例例解解.2,02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便解方程组解方程组:xxyyx202交点交点).3,3(),0,0(面积元素面积元素 Ad,3,0 x法一法一+xxxAd)3(2.2903选选 为积分变量为积分变量,xxd)2(2xx x确定积分限确定积分限,OxyA xxxd+xxxd)3(2+xxy22 )3,3(0 yx12Oxy法二法二 选选y为积分变量为积分变量,3,1 y.2,02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 面积元素面积元素 1dAyd)1

8、1(+y y)11(+y)11(+yyd Ayyd12+1 003yyyd)11(+29 法三法三 将图形看成将图形看成:3,0上方的三角形上方的三角形减去减去在在3,2上方的曲边梯形上方的曲边梯形,再再加上加上2,0下方的曲边梯形下方的曲边梯形:Axxd30 xxxd)2(322 xxxd)2(0202 +29 2dA2A1A31 0 yxxxy22)3,3(13分成若干块上面讨论过的那两种区域分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别只要分别(3)一般情况下一般情况下,由曲线围成的有界区域由曲线围成的有界区域,总可以总可以算出每块的面积再相加即可算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)

9、(2)14上连续上连续,与直线与直线bxax ,所围成的所围成的(4)()(xgxf、设设,ba在在则曲线则曲线)()(xgyxfy 、平面图形面积为平面图形面积为xxgxfAbad)()()(xxgxfBbad|)()(|)(xxgxfCbad)()()(xxgxfDbad|)(|)(|)()(xfy )(xgy Oxyab15例例解解,311,222 +xxyxy与直线与直线求曲线求曲线.3围成的图形面积围成的图形面积 x两曲线交点为两曲线交点为).21,1(),21,1(由于图形关于由于图形关于y轴对称轴对称,故故 A2xxxd)211(22 +xxxd)112(22+2 0113332

10、3+Oxy3 3211xy+22xy 11 1 :出如果曲线由参数方程给 .,)(,)(ttytx .处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面 .)()(件满足定积分换元法的条和此时要求函数tt2.参数方程形式下平面图形的面积参数方程形式下平面图形的面积1617解解曲线的参数方程为曲线的参数方程为 tbytaxsincos由对称性由对称性,d40 axyA 4Attabdsin4202 .ab 作变量代作变量代换换,costax ,时时当当ax ,0时时当当 x例例其中其中22xaaby 总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积不易积分不易积分.ttaxdsind ;

11、2 t.0 t)cos(dta02 abtbsinOxy.12222的面积的面积求椭圆求椭圆+byax解解.积所围成的平面图形的面 20 ,sin ,cos 33ttaytax求星形线Oxya223 ,只需求出由对称性 ,1然第一象限中的面积 A.4 即可后乘以 )1 (积分区间 .02 :,0 :tax时 )2(微分元素 .dcossin3)cosd(sind|d242331tttatataxyA )3(所求面积0 2 242 0 1d)cossin3(4d|44tttaxyAAa.8 3dsin)sin1(1222 0 422attta t例例1819 d 面积元素面积元素 Ad曲边扇形的

12、面积曲边扇形的面积.d)(212 A3.极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积)(由极坐标方程由极坐标方程)(给出的平面曲线给出的平面曲线)(,所围成的面积所围成的面积A.d)(212和射线和射线曲边扇形曲边扇形 d+Ox .中曲边扇形的面积公式该公式也称为极坐标系Ox)(1rr)(2rr A如何计算?.d|)()(|21d2221rrA.d|)()(|21 2221rrA2021解解 由对称性知总面积由对称性知总面积14AA d2cos2142 aA.2a 04=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形的面积所围平面图形的面积.xy O

13、xy曲边扇形的面积：曲边扇形的面积：dS2)(21),(22解解利用利用对称性对称性知知 d)coscos21(202+a 022sin41sin223 +a223a A)cos1(+a d)cos1(2122+a 2 0 xyO2曲边扇形的面积：曲边扇形的面积：dS2)(21),(23解解求交点求交点 cos1cos3 由对称性由对称性 A3127 2例例+d)cos1(212 03 dcos2122 3 cos1 cos xyO12 所围图形与所围图形与求心形线求心形线 cos1 rcos的公共部分的面积的公共部分的面积.圆盘圆盘 r24解解 利用对称性知利用对称性知14AA d12142

14、 06 d2cos2214+6 4 332+6 Oxy所围成图形所围成图形和双纽线和双纽线求求 2cos212 r.的公共部分面积的公共部分面积 思考与练习思考与练习 .2 ,2所围平面图形的面积直线求曲线xyxyxy1.)cos1(),sin(的第一拱求由摆线tayttax .)20(积所围成的平面图形的面与横轴 xt2.cos1 cos3 所围成的与心形线求圆+rr .平面图形的面积3.Oxya2a tOx3cos3rcos1+r解解 .2 ,2所围平面图形的面积直线求曲线xyxyxyOxyxy2xy 2xy :)1 (求积分区间 )2(微分元素 )3(计算面积 联立方程组 2xy xy

15、2xy 2xy xy 2xy.)0 ,0(),4 ,2(),1 ,1 (OBA求得交点为AB12 .2 0,2 1,1 0,积分区间为 ;dd)2(d ,1 ,0 xxxxxA中在 .d)2(d ,2 ,1 2xxxA中在 .6 7d)2(d)2(2 1 21 0 +xxxxxxA练习练习126解解 )cos1(),sin(的第一拱求由摆线tayttax .)20(积所围成的平面图形的面与横轴 xtOxya2a )1 (求积分区间 .20 :,20 :tax时 )2(求微分元素 d|dxyA )sin(d()cos1(ttata .d)cos1(22tta )3(计算面积2 0 222 0 d

16、)cos1(d|ttaxyAa .3d)coscos21(22 0 22attta+t练习练习227解解 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆+rr .平面图形的面积Ox3cos3rcos1+r .2 ,11AAA则求出上半部分的面积由对称性 )1 (联立方程组求积分区间cos3rcos1+r 2 1cos3 ,cos1 ,30 +r曲边为时当 )2(微分元素 .d)cos1(21d21+A ,cos3 ,2 3 r曲边为时当 .d)cos3(21d21A练习练习328 )3(计算面积12AA+2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1(212+3 0 d)22cos1cos21(+2 3 d2)2cos1(9 4 5 29303,5(1)(2),8,9,10