第四章相似理论课件.ppt

1、 工程研究方法了解相似理论的基本概念和基本方法，掌握相似准数的导出方法学习物理模型研究方法1 基 本 概 念一、物理量及其量纲 基本物理量 量纲：用以确定某一系统的特点或本质的物理变量。基本量纲所表示的物理量就是该单位制中的基本物理量无量纲量：当一物理量所有量纲指数都为零，它的量纲为1量纲与单位cbaTMLQ 量纲和谐性 任何一个完整的物理方程，其量纲必定是和谐 凡一个完整的物理方程，不因采用的单位制度的变化而发生变化，这类方程在数学中称为齐次方程。凡量纲核心的方程，在数学上应为齐次方程二、单值条件一个现象区别于其他现象的个性标志 几何条件：说明参与过程的物体的形状、大小等几何特征 物理条件：

2、说明参与过程的物体的物理性质 时间条件：说明在时间上预先已知的特点 边界条件：说明边界上过程进行的特点 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 三、量纲独立 K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此独立 公理：量纲不独立的物理量可用量纲彼此独立量的幂积形式表示kakaaaAAAAA321321量纲独立条件：对物理量a、b、c有：只有当 物理量a、b、c具有彼此独立量纲 333222111TLMcTLMbTLMa03213213212 量纲分析原理基本原则 量纲和谐性原则 定理一、定 理|描述某现象的n个物理量(a1、a2、a3an)

3、其中k个物理量的量纲彼此独立，且kn，则描述该现象：f(a1、a2、a3ak、ak+1、ak+2an)=0|其余（n-k）个物理量 的量纲可用k个独立 量纲的幂积形式表示：kkkknkkkkaaaaaaaaaaaa21212121212211 则有：描述物理现象的函数关系式可写成：含有k个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式，可简化为（n-k）个无量纲乘积（）之间的关系式无量纲方程112121211211kkkkkkaaaaaaaakkkkknkkaaaaaaaa212121121110),(21knf无量纲乘积的完整集合 由n个参数组成的函数式，如有k个基本量，则存在有（n-k）个无量纲

4、乘积（）。这（n-k）个为该函数的无量纲的完整集合 完整集合中无量纲乘积的数目：参量总数（n）基本量纲数（k）参量总数（n）-量纲矩阵的秩（r）1、柏金汉姆法（定理法）（E.Buckingham）a 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3xn)=0a 确定k个彼此独立物理量为基本物理量a 其它物理量用基本物理量的幂积形式表示a 由定理可得到（n-k）个无量纲量a 无量纲方程：f(1、2、3n-k)=0 kakaaixxxx2121kakaaiixxxx2121 将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式：由量纲和谐性原则：用基本量纲表示各个物理量的量纲，并对基本量纲列出 其指数的代数方程

5、 当nk，唯一解 nk，无唯一解nanaaxxcxy2121 nanaaxxxy2121三、量纲分析的矩阵法 写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（r）无量纲乘积数=n r 写出无量纲乘积的一般式 根据量纲和谐性原理，由量纲矩阵写出线性齐次方程 求解 方程封闭：直接求解 方程不封闭：以（n-3）个量为待定量 写出结果矩阵nanaaxxx2121水 流中物体的运动F=f（、g、w、L、）写出量纲矩阵：矩阵的秩：r=3 无量纲乘积数目n-k=3 设 写出指数方程 n3，001212311111100011654321TLMLwgFaaaaaa654321aaaaaagLgwF0220304321654321

6、621aaaaaaaaaaaaa32153214216222aaaaaaaaaaa 3 相 似 理 论 1636年，伽利略，“论二门新的科学”1686年，牛顿，“自然哲学的数学原理”1848年，法国，J.Bertrand，相似第一定理 1911年，俄国，相似第二定理，1944年美国，柏金汉（E.Buckingham），证明了定理 1931年，苏联，相似第三定理一、基本概念1、物理量相似 标量场相似 矢量场相似 相似倍数Cc2211czzyyxx 几何相似 时间相似 运动相似 动力相似 热相似 t1 2 tt3t4 2 TT3T4u1u2u3V1V2V3FP1P2T 描述现象各单值条件彼此相似的

7、同类现象 单值条件相似 3、相似准数（相似准则）（Criterion）按照一定物理规律组合而成 具有一定的物理意义 必须是无量纲的 随空间和位置的变化，在相似现象的对应点上，相似准数的数值不变。已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）二、相 似 三 定 理相似第一定理（相似正定理）相似第一定理（相似正定理）凡相似现象，对应部位上各同名相似准凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分别等值则分别等值。(规定了现象相似的必要条件)相似第三定理（相似逆定理）相似第三定理（相似逆定理）凡同类现象，当凡同类现象，当单值条件相似单值条件相似，对应部对应部位的位的同名已知准则等值同名已知准则等值，则现象之间彼

8、，则现象之间彼此相似此相似 (表明了现象相似的充分条件)相似第二定理相似第二定理 对于一个包含n个物理量的物理现象，若其中包含有k个基本物理量，则描述现象的函数式可用（n-k）个无量纲数的函数式准数方程来表示。f（1 2 n-k）=0三、相似准数的导出 量纲分析法 指数法 矩阵法 步步组合法 方程分析法 相似转换法 积分类比法 物理法则法 写出描述现象的物理方程及单值条件 写出方程中各物理量相似倍数的表达式 进行相似转换 各项相似倍数进行组合，写出其相似指标式 以等式中其中一项除以其它各项 整理，可得相应的相似准数c c 基本原理：置换法则 二个体系：等比公式 即有 ddc2211c 1212

9、11cdd 0lim步骤：8写出描述现象的基本方程和单值条件8用方程中任意一项除以其他各项8各项中所有导数用积分类比项代替 同类项用其中一项表示 坐标量用特征量表示8整理2222111lwlpglwtwxpXxwwxwwxwwwwxpXDDwxxzxyxxxxx描述对流换热的完整微分方程组：试用相似转换法和积分类比法，推导出该方程组的准数方程。0)()()(zwywxwzyxwgradpgdwD20)(nntttaztwytwxtwtdDtzyx2三、准数与准数方程v准数的指数运算v准数间的幂积运算v准数间的和、差运算 物理量用其差值代替wlwl1Re;RePrReawlawlPe2221;l

10、glg;)()(211211Welg 22;wpEuwpEu2、准数的物理意义 Re（Rerynolds）准数 Fr（Froude）准数：Fr=gL/w2 Gr（Grashot）准数 Ga（Galilei）准数 Eu（Euler）准数：Eu=p/w2 23glGa tglGr23Ho 谐时性准数：H0=w/L Fo（Fourier）准数：温度场、速度场随时间的变化关系 Pr（Prandtl）准数：Pr=/a分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系 Pe（Peclet）准数 Nu（Nusselt）准数边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与边界内温度分布的关系。20laFlNu 3、准数方程近似模化方法，以对流换热过程为例准数方程的简化K f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu）=0 Nu=f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo）K 流体运动方程：Eu=f（Re、Ho、Fr）K Pe=Re.PrK 稳定温度场、稳定温度场：Ho、FoK 准数方程的一般形式：Nu=f（Re、Fr、Pr）自由流动主要是由温差引起 Nu=f（Re、Gr、Pr）K 自然对流：Nu=f（Gr、Pr）K 强制对流：Nu=f（Re、Pr）