第八节极值与最值课件.ppt
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- 八节 极值 课件
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1、 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值多元函数的极值回顾:回顾:一元函数 y=f(x)的极值概念:1x 1x 1x2xxy0()yf x1(,)x U x 总有1()(),fxf x,1称为极小值点x ,)(1称为极小值xf1111(,)(,)xxxx(1)极值是一个局部概念,它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。(2)()(极值存在的必要条件)若 f(x)在极值点处可导,则导数一定为 0,反之不成立。(3)(驻点为极值点的充分条件)设设0()0,fx存在,则有0()fx(1)如果0()0fx
2、0()f x(3)如果0()0fx,则为 f(x)的极小值;(2)如果0()0fx0()f x,则为 f(x)的极大值;,定理失效。定义定义:设 z=f(x,y)的定义域为 D,000(,)PxyD总有),(),(00yxfyxf总有是 D 的一个内点,则称),(00yxf是 f(x,y)的极大值;则称),(00yxf是 f(x,y)的极小值。),(),()1(0PUyx当若存在点 的一个去心邻域0P00()(,)|0|U PP x yPPD),(),()2(0PUyx当),(),(00yxfyxf 极大值和极小值统称为极值;一、一、多元函数的极值多元函数的极值 xyz例如:在点(0,0)有极
3、小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.2243yxz22zxy yxz xyzxyz 使函数取得极值的点称为极值点;同一元函数一样,二元函数极值也是一个局部概念 极值点必是D 的内点;结论:结论:二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高(低)点问题:问题:什么点可能成为极值点?什么点必定是极值点?0),(,0),(0000yxfyxfyx定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数,且在点(x0,y0)有极值,则有:证明:如果取y=y0,则函数f(x,y0)是x的一元函数 0),(,),(),(000000yxfyxfyxfxxx的极值是,时同理有0),
4、(00yxfy极值点的几何意义极值点的几何意义:若曲面z=f(x,y)在点 处有切平面,则切平面使函数的各偏导数同时为0的点,称为驻点.),(000zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成为平行于xoy坐标面的平面00 zz说明:具有偏导数的函数的极值点必定是驻点,但驻点不一定是极值点。极值点也可能是偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.例如,有驻点(0,0)yxz 例:例:22(,)1f x yyx解:解:20,xfx得驻点(0,0)(0,0)1,f,0,0时当xy2(,0)11f xx,0,0时当yx2(0,)11fyy(0,0)1,f
5、不是极值该函数无极值。)0,(x),0(yxy0(0,0)f(0,0)f20,yfy时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令 1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下:问题问题:如何判定一个驻点是否为极值点?求极值的步骤求极值的步骤第一步 解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx得
6、一切驻点;第二步 对所求的驻点),(00yx求出二阶偏导数),(),(00 00 yxfyxfxyxx、),(00 yxfyy和.),(00,是极大值还是极小值是否是定判由充分条件定理的符号,定出第三步yxf极值 ACB2例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 求二阶偏导数及判别求二阶偏导数及判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,
7、1(f,0Axyxyxyxf933),(2233在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,
8、0)xyzo并且在(0,0)都有 02 BAC33yxz可能为0)()0,0()0,0(222yxz0422204222yyxxzzzyzzzx解解例例3 3令令0,0,xyzz代入上式,解得驻点为 得得,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 例例3 3解解,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小 值)(Pf为最小 值(大大)(大大)依据 求可微函数最大值和最小值的一般方
9、法:(1)求函数在 D 内的所有驻点;(2)求函数在 D 的边界上的最大值和最小值;(3)将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较,最大者就是函数在 D 上 的最大值,最小者就是最小值。在实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得,而函数在 D 内只有一个驻点,则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2
10、xD为问怎样折法才能使断面面例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x解:解:sin24)sin2cos(sin2xxA20,120:xD得唯一驻点,3,8x,348)3,8(A(2)在 D 的边界上,120,2:xD,224)2,(2xxxA0424)2
11、,(xxAx,6 x72)2,6(A348所以当当,3,8时x断面的面积最大。x 0D把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,积最大.问怎样折法才能使断面面例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,解解xyo6 yxDD如图,222(,)2(4)0(,)(4)0 xyfx yxyxyx yfx yxxyx y)4(),(2yxyxyxf,2|64 xxy(4,2)64,f)4(),(2yxyxyxf xyo6 yxD解:设箱子的长、宽、高分别为x、y、z,容量为V,则V=xyz,设箱子的表面积为S,则 S=2(xy+yz+zx)例例6.要造一个容量一定的长方形箱子,问选择怎样的尺寸,才能使用的
12、材料最少?)(2yVxVyx ,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy解得唯一驻点),(33VV 根据实际问题可知S一定存在最小值,并一定在D 内部取得,所以当S 取得最小值,此时用料最省。3xyzV22222(1)2()0,(1)xxyx xyzxy22222(1)2()0,(1)yxyy xyzxy解解由111(,),222z111(,),222z 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数)
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