第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件.ppt
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- 五节 极值 第六 函数 图像 描绘 描述 课件
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1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节第五节 函数的极值与 最大值最小值2x1x 1,Ux 对于对于1(),xU x )()(1xfxf 均成立均成立.2,Ux 对于对于 2,xUx)()(2xfxf 均成立均成立.oxyab)(xfy 4x5x6x 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,1.极值的定义极值的定义有有)()(0 xfxf(或(或 )0()()f xf x 设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域 内有定义,内有定义,()()f x0 x0()()U x内的任何一点内的任何一点 如果对于去心邻域如果对于去心
2、邻域)U(0ox,x那么就称那么就称 是函数是函数 的一个的一个极大值极大值(或(或极小值极小值).).)(0 xf()()f x值的点称为值的点称为极值点极值点.使函数取得极使函数取得极一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法说明:说明:极值与最值的关系极值与最值的关系区别:区别:极值概念是局部性的极值概念是局部性的.最值概念是全局性的最值概念是全局性的.极值只能在内部取得极值只能在内部取得,不可在端点处取得不可在端点处取得.最值可以在内部取得最值可以在内部取得,也可在端点处取得也可在端点处取得.联系:联系:如果最值在区间内部取得如果最值在区间内部取得,则必在极值点处取得则必在极值点处取得.
3、极大极大(小小)值唯一吗值唯一吗?极大值一定大于等于极大值一定大于等于极小值吗极小值吗?oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大值点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点,12xoy12定理定理1 12.极值存在的条件极值存在的条件(1)必要条件必要条件说明说明:3xy oxy驻点驻点1 11oxy|xy 可导函数可导函数:使得使得 的点称为函数的点称为函数 的驻点的驻点.0()()fx
4、 ()()f x可疑极值点可疑极值点 驻点驻点0)(0 xxxf处取得极值,处取得极值,处可导,且在处可导,且在在点在点设函数设函数则则0()0.fx 极值点极值点非驻点肯定不是极值点,非驻点肯定不是极值点,驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点(2)充分条件充分条件设函数设函数 在在 处连续,且在处连续,且在 的某去心邻域的某去心邻域内可导内可导.)(xf0 x0 x),(0 xUo (1 1)若若 时,时,而,而 时,时,),(00 xxx 0)(xf),(00 xxx0)(xf则则 在在 处取得极大值;处取得极大值;)(xf0 x(3 3)若)若 时,时,的符号保持不变,则的符号保持不变,
5、则 在在 处处),(0 xUxo)(xf)(xf0 x没有极值没有极值.定理定理2 2(第一充分条件)(第一充分条件)xyo0 x -+xyo0 x+-(2 2)若)若 时,时,而,而 时,时,),(00 xxx 0)(xf),(00 xxx0)(xf则则 在在 处取得极小值;处取得极小值;)(xf0 x+xyo0 xxyo0 x-如何判断驻点是否极值点?如何判断驻点是否极值点?00(,)xxx当时,()0fx00()()f xf xxx()f00()()f xf x0,即:0()()f xf x00(,)xx x当时,()0fx00()()f xf xxx()f00()()0,f xf x即
6、:0()()f xf x0()()f xf x0 x在 的左右两侧有()f x为的一个极大值证明证明 (1)0()f xoxy11 说明说明:若若 在点在点 不连续,则结论未必成立不连续,则结论未必成立.)(xf0 x例如例如:021001xxxy,|2在在 处不连续处不连续,0 x 在在 内内,1,0)0y ,yx 在在 内内,(0,10y ,yx 在在 处取得极小值处取得极小值.0 x 定理定理2 2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点
7、 取极小值.)(xf0 x证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时,故当00 xxx;0)(xf时,当00 xxx,0)(xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.说明说明 当当 时,时,在在 处可能有极值也可能没有极值处可能有极值也可能没有极值.0)(0 xf0 x)(xf例如例如4 yx0 x是极大值点是极大值点4yx 0 x是极小值点是极小值点3yx 0 x不是极值点不是极值点xoy4yx xoy4yx 212yx 212yx 6yx 3xy
8、oxy()fx3.极值的求法极值的求法步骤步骤:求函数的导数求函数的导数求出区间内所有的驻点求出区间内所有的驻点12,nx xx判断驻点是否极值点判断驻点是否极值点求出极大值或极小值求出极大值或极小值()fx261812xx6(1)(2)xx为极大点为极小点31292)(23xxxxf例求:例求:12xoy12极值极值()0fx22x 11x 121,2xx1,x 当时()0fx()0fx()0fx2x 当时12x当时(1)2f极大(2)1f极小解:解:令令得:得:例例 求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求驻点令,0)(
9、xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点,其极大值为0)0(f是极小点,其极小值为52x33.0)(52f例例.求函数1)1()(32 xxf的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别 因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.()1fxx 由于在左右邻域内不变号.1)(没有极值在xxf1xy11cos+cos3(3)3xx=cos+cos3xx)3(f1 02即2
10、得=(cos+cos3()fxxxcos+cos3(2)xx()3f01()=sin+sin333332f3=3x并求此极值。为何值时它是极大值还是极小值?有极值?处在解解:1()sinsin33f xxx()fx由题意:=cos+cos(333)03sin 33()2sin3sinsin323xx 3 所以在=3x处有极大值例:例:某地区拟建一防空洞某地区拟建一防空洞,它要求它要求:防空洞的截防空洞的截面要建成矩形加半圆面要建成矩形加半圆,截面的面积为截面的面积为5 5平方米平方米,问底宽为多少时才能保证截面的周长最小问底宽为多少时才能保证截面的周长最小,从从而使建造时所用的材料最省?而使建
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