第五章-边值问题课件.ppt

1、静电场问题求解静电场问题求解解析法解析法数值法数值法分离变量法分离变量法 复位函数法复位函数法 保角变换法保角变换法 有限差分法有限差分法 有限单元法有限单元法 其它其它其它其它2022年12月28日星期三15-1 分离变量法分离变量法 分离变量法分离变量法就是将偏微分方程变量分离得到通解，利用边界条就是将偏微分方程变量分离得到通解，利用边界条件得到其定解的过程。件得到其定解的过程。为一足够长（忽略边缘效应）的为一足够长（忽略边缘效应）的方形金属槽，边宽为方形金属槽，边宽为1m，除顶盖，除顶盖电位为电位为 外，其它三方的外，其它三方的电位均为零，求槽内电位的分布。电位均为零，求槽内电位的分布。

2、100sin()x V1100sinx201m1mxy0y x 222201x 0 xx sin1001y 0y y Yx Xy x,变量的分离变量的分离:0y Y1x X12222YX2222y Y1x X1YXXdd22x XYdd22y Y2022年12月28日星期三21、0 21DxDxX 21FyFyY式中式中2121,FFDD均为任意常数。均为任意常数。2、2k1212()sc()sincosX xAhkxAhkxY yBkyBky式中式中 均为任意常数均为任意常数 1212,A A B B3、2kchkyBshkyByYkxAkxAyX4343)(cossin)(式中式中3434

3、,A A B B均为任意常数均为任意常数方程的通解的三种情况方程的通解的三种情况12121212134341,()(sincos)(sincos)()mmmmmmmmmmmmmmmmmmx yD xDF yFA shk xA chk x Bk yBk yAk xAk x B shk yB chk y方程的通解方程的通解2022年12月28日星期三3解的函数形式和任意常数的确定解的函数形式和任意常数的确定 y 0y 10,100sinx 121234341,(sincos)()mmmmmmmmmx yD xDF yFAk xAk xBshk yBchk y根据边界条件根据边界条件212434x0

4、1cos()0mmmmmmmDF yFAk x Bshk yBchk y20,D04mA1123341,sin()mmmmmmmxyD xF yFAkx BshkyBchky112334x 11sin()0mmmmmmmDF yFAkBshk yBchk y10,D 1)1sin(mk(1,2)mkmm由由由由2022年12月28日星期三43m3m4mm 1,Asinm x(B shm yBchm y)x y3m3m4my0m 1Asinmx(Bshm0Bchm0)0由由04mB3m3mmm 1m 1,Asinm xB shm yC sinm xshm yx y33()mmmCA B由由my

5、1m 1C sinmxshm100sinx1mshC1001100,sin xsh yshx y方程的唯一解方程的唯一解:分离变量法分离变量法实际是根据边界条件的特征，将偏微分方程进行变实际是根据边界条件的特征，将偏微分方程进行变量分离，形成独立坐标的微分方程，并得到通解，再根据边界条量分离，形成独立坐标的微分方程，并得到通解，再根据边界条件得到通解的函数形式和任意常数。件得到通解的函数形式和任意常数。2022年12月28日星期三55-1 复位变量法复位变量法xjyjZrer0复位函数法复位函数法-某种解析的复位函数的实部和虚部所表达的函数曲某种解析的复位函数的实部和虚部所表达的函数曲线线(正

6、交正交)分别与某种特定二维静电场的等位线和电力线相吻合，则分别与某种特定二维静电场的等位线和电力线相吻合，则求解该静电场转化为对应的解析函数实部和虚部的求解求解该静电场转化为对应的解析函数实部和虚部的求解 lnW ZAZC例例:复位函数复位函数Z为复变数，为复变数，A为实常数。为实常数。将复变数在极坐标表示将复变数在极坐标表示 12lnlnjW ZAZCAreCjCj12lnArCAC xjy的等值线的等值线的等值线的等值线两函数的等值线如图所示两函数的等值线如图所示的等值线的等值线均匀带电长直导线的均匀带电长直导线的电力线电力线的等值线的等值线均匀带电长直导线的均匀带电长直导线的等位线等位线

7、(E通量函数通量函数)2022年12月28日星期三6结合结合边界条件边界条件可得到均匀带电长直导线的场的分布可得到均匀带电长直导线的场的分布实际问题实际问题:1R2R0U一单芯电缆，其内半径为一单芯电缆，其内半径为，外半径为，外半径为，所施电压为，所施电压为E试求此单芯电缆绝缘层中的电位函数及试求此单芯电缆绝缘层中的电位函数及 通量函数通量函数 12ln,ArCAC 2,rR0210lnARC1,rR0U011lnUARC012ln/UARR01212lnln/UCRRR0,0令令20C 012ln/URR 0212(lnln)ln/UrRRR因此因此对应的对应的复位函数复位函数:002121

8、2(lnln)ln/ln/UUWrRjRRRR电位函数电位函数E通量函数通量函数0211ln/ErURR r 2022年12月28日星期三7 2W ZAZA例例5-1 5-1 求解析函数求解析函数表示的电场，式中表示的电场，式中为实常数。为实常数。22222,W ZAZA xjyA xyj Axyx yjx y解解:2(,)2x yAxyk（常数）（常数）221(,)()x yA xyk（常数）（常数）令令等通量线方程等通量线方程等位线方程等位线方程00,pxy00,pxxyyx y令令点点002pAx y00002(,)2xyAx y即即00,2px yAxyxyx y电位确定值电位确定值:

9、0000ppjxyyjxx yx y E=常数=常数2022年12月28日星期三85-3 保角变换法保角变换法 12,lnW Zu x yjx yArCj AC lnW ZAZC例例：研究解析函数：研究解析函数保角变换法的一般过程保角变换法的一般过程,x y常数,u x y 常数oxjy,x y常数,u x y 常数ujo保角变换保角变换比原比原Z平面中图形要简单。这样，就可以先平面中图形要简单。这样，就可以先求出求出W平面上较为简单的电场，然后通过函平面上较为简单的电场，然后通过函数数变换，再求得变换，再求得Z平面上原来所求的电场。平面上原来所求的电场。通过解析函数通过解析函数W=W(Z)这

10、一变换式，可将这一变换式，可将Z平面中电场的图形变换为平面中电场的图形变换为W形，平面上的电场图形，而且变换后的图形形，平面上的电场图形，而且变换后的图形平面上的电场图平面上的电场图 从电工的角度来看从电工的角度来看，就是将一个求解复，就是将一个求解复杂问题，变换为求解一个简单的电场问题。杂问题，变换为求解一个简单的电场问题。2022年12月28日星期三9 保角变换的一般理论保角变换的一般理论 1C2CDCxjyo0Z1T2TDTujo0W 由由Z平面变换到平面变换到W平面，两条曲线的夹角保持不变平面，两条曲线的夹角保持不变保角变换保角变换 Wf Z,ZxjyW Zu x yjx y2022年

11、12月28日星期三105-4 均匀媒质中的有限差分法均匀媒质中的有限差分法场域边界 xyhh012340y1yiy0 x1xix网络节点(内点)边界节点 数值计算法的基本思想数值计算法的基本思想-将整体将整体连续的场域划分为若干个细小区域，连续的场域划分为若干个细小区域，一般称之为网格或单元（见图一般称之为网格或单元（见图5-11），），然后用所求的网格交点（一般称为节然后用所求的网格交点（一般称为节点或离散点）的数值解，来代替整个点或离散点）的数值解，来代替整个场域的真实解场域的真实解。数值解数值解，即是所求场域离散点的解。，即是所求场域离散点的解。虽然数值解是一种近似解法，但当划虽然数值解

12、是一种近似解法，但当划分的网格或单元愈密时，离散点数目分的网格或单元愈密时，离散点数目也愈多，近似解（数值解）也就愈逼也愈多，近似解（数值解）也就愈逼近于真实解。近于真实解。，1,ijA,1i jA1,ijA,1i jA四个节点四个节点1、2、3、4的矢量磁位分别记为的矢量磁位分别记为、设图所示场域中的位函数为设图所示场域中的位函数为A，任取一网格节点，任取一网格节点O矢量磁位为矢量磁位为Ai,j2022年12月28日星期三1100(,)(,)(,)(,)limlimxxffxx yfx yfx yfxx yxxx 场域的剖分，网格节点及步长场域的剖分，网格节点及步长 场域的场域的剖分剖分(场

13、域的场域的离散化离散化)-将场域剖分为若干个网格或单元。将场域剖分为若干个网格或单元。差分与微分差分与微分 步骤：步骤：差分差分-用差商近似代替偏微商，用差商近似代替偏微商，或者说用差分代替微分，从而把偏或者说用差分代替微分，从而把偏微分方程转化为差分方程微分方程转化为差分方程 场域边界 xyhh012340y1yiy0 x1xix网络节点(内点)边界节点根据图示网格根据图示网格,0点与相邻的四点的的差分如下点与相邻的四点的的差分如下1,1,01,1,0()()iji ji jijiji ji jijAAAAAxhhAAAAAyhh2,1,102221,1,0222()2_()i ji ji

14、iiji jijAAAAxhAAAAyh 2022年12月28日星期三12均匀媒质中泊松与拉普拉斯方程的差分离散格式均匀媒质中泊松与拉普拉斯方程的差分离散格式 hhhbb12345678910111213141516oxy20|()(5,6,16)iAAf si 第二步：第二步：内点泊松方程的差分表达式内点泊松方程的差分表达式 2223166101151343022149720312102401:4;44;4AAAAAhAAAAAhAAAAAhAAAAAh 内点内点3:内点2:内点4:2123061621240792134013152234010124444AAAhffAAAhffAAAhff

15、AAAhff 第一步第一步：若采用正方形网格剖分，即将场域剖若采用正方形网格剖分，即将场域剖分为具有四个内点（即点分为具有四个内点（即点1，2，3，4），边界与），边界与网格线重合的九个离散单元（九个网格线重合的九个离散单元（九个网格）。这就是网格）。这就是把连续的场域进行离散化，从而将求解场域内矢量磁位函数的问题，转化为求把连续的场域进行离散化，从而将求解场域内矢量磁位函数的问题，转化为求1，2，3，4各内点的矢量磁位值的问题。各内点的矢量磁位值的问题。2022年12月28日星期三13 第三步：第三步：解代数方程组解代数方程组 当内点较少时，可直接用当内点较少时，可直接用代元消去法代元消去法

16、或或列式法列式法、张弛法张弛法等进等进行手算；当内点较多时，即内点数不是几个，十几个，而是成百行手算；当内点较多时，即内点数不是几个，十几个，而是成百个，上千个时，手算几乎不可能，这就必须借助计算机进行计算。个，上千个时，手算几乎不可能，这就必须借助计算机进行计算。求解高阶方程组的方法有求解高阶方程组的方法有赛德尔迭代法赛德尔迭代法及及超松驰代法超松驰代法等等。等等。2022年12月28日星期三145-5 有限元方法简介有限元方法简介方法原理方法原理)(|)(|)(0)()(,在不同介质交界面上上在边界域内在jisjjjisiinnSfsyyxx22()()()()min2|()Jwdxdyx

17、ysfS在界 上等价等价泛函泛函场域剖分与单元分析场域剖分与单元分析 过程：过程：将连续场域进行剖分离散，将整个场域分割为限个单元体，并将连续场域进行剖分离散，将整个场域分割为限个单元体，并在每一个单元体上作近似能量积分，然后再进行求和来进行求解在每一个单元体上作近似能量积分，然后再进行求和来进行求解 2022年12月28日星期三15221()()()()min2|kmekSJJdxdyxyf 场域剖分后其相应变分表达式场域剖分后其相应变分表达式 ke-单元剖分体单元剖分体m-单元体个数，单元体个数，-单元体电位函数单元体电位函数 为了在每个剖分单元上，近似作出能量积分，必须为了在每个剖分单元

18、上，近似作出能量积分，必须构造单元内的解函数，即电位函数。如果假设在每个单构造单元内的解函数，即电位函数。如果假设在每个单元体内，电位与空间坐标成线性关系，若设节点元体内，电位与空间坐标成线性关系，若设节点1、2、3为三角形单元为三角形单元1e之项点之项点 111,x y222,xy333,x y1e,x y123 单元体内插值函数单元体内插值函数 的具体形式可通过节点上的电的具体形式可通过节点上的电位函数值位函数值，及坐标表示出来及坐标表示出来,x yaxbyc111222333axbycaxbycaxbyc,a b c2022年12月28日星期三1631,eiiix yN一般形式：一般形式

19、：与坐标有关与坐标有关的形函数的形函数321321()()eejiijijeejiijijNNxxxNNyyy1111222233331()21()21()2eeeNxyeNyyeNxye其中其中e-单元三角形的面积；单元三角形的面积；eiN-三角形单元线性插值基函数三角形单元线性插值基函数123231312yyyyyy132213321xxxxxx123322311331221x yx yx yx yx yx y 11111111111112131311232122232,131323331122eeeeeeeeijiji jeeeaaaJaaaaaaa泛函泛函2022年12月28日星期三1

20、7 1,112knneijijki jJJa场域节点为场域节点为n时：时：总体系数（刚度）矩阵的形式总体系数（刚度）矩阵的形式,1()1()02mijiki jkkJa1111211212222212,kksskksssssskkaaaaaaaaaaaa AG矩阵方程矩阵方程 刚度（总体刚度（总体系数）矩阵系数）矩阵 刚度矩阵是一个稀疏阵刚度矩阵是一个稀疏阵 22()()()2d d2Jr r zrz轴对称极坐标系下的泛函和刚度矩阵的元素轴对称极坐标系下的泛函和刚度矩阵的元素()2()()12eijizmijijarrr 2022年12月28日星期三18边界无法边界无法模拟电荷法模拟电荷法网络拓扑法网络拓扑法等效边界原理法等效边界原理法矩量法矩量法蒙特卡拉法蒙特卡拉法 其它其它数值法数值法2022年12月28日星期三19