第二类曲线积分与第二类曲面积分课件.ppt

1、二、第二类曲线积分的概念与性质二、第二类曲线积分的概念与性质三、第二类曲线积分的计算法三、第二类曲线积分的计算法 理解第二类曲线积分的定义理解第二类曲线积分的定义 掌握第二类曲线积分的计算方法掌握第二类曲线积分的计算方法 教学内容教学内容 教学目的教学目的一、问题的提出一、问题的提出14.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分（第二类曲线积分与第二类曲面积分（1）.一、一、问题的提出问题的提出 。1.引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设设 L 为平面上一条可求长的连续曲为平面上一条可求长的连续曲线段，一质点在变力线段，一质点在变力的作用下沿的作用下沿 L 从点从点 A 移动到点移动到

2、点 B,ABLxy求移动过程中变力所作求移动过程中变力所作cosWFAB“大化小大化小”“常代变常代变”“近似和近似和”“取极限取极限”常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功解决办法解决办法:的功的功W.ABF ABF(,)(,)(,)F x yP x y iQ x y j1)“大化小大化小”.2)“常代变常代变”把把 L 分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段(,)kkxy 所做的功为所做的功为,kW F 沿沿1kkMM 1nkkWW 则则用有向线段用有向线段 1kkMM 1kkMM(,)kkkkkxysss (cos,cos)kkks 22kkksxy coscoskkkij

3、是单位向量。是单位向量。近似代替近似代替,其中其中oxyABL1 nMkM1kM 2M1Mkx ky(,),kk则有则有kk(,)cos(,)coskkkkkPQs (,)kkkkkWFs 1kkMM 上任取一点上任取一点在在3)“近似和近似和”1,cos,cosnkkkkkkkkPQs 1nkkWW oxyABL1 nMkM1kM 2M1Mkx ky 4)“取极限取极限”0limW (其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)1,cos,cosnkkkkkkkkPQs oxyABL1 nMkM1kM 2M1Mkx ky 2.定义定义.设设 L 为一条定向的可求长连续曲线，起

4、点为为一条定向的可求长连续曲线，起点为 A，在在L 上每一点取单位切向量上每一点取单位切向量终点为终点为 B。使它与使它与 L 的定向相一致。设向量函数的定向相一致。设向量函数(cos,cos)(,)(,),(,)F x yP x yQ x y 若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,极限极限0lim 1,cos,cosnkkkkkkkkPQs 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上的上的第二类第二类则称此极限为函数则称此极限为函数曲线积分曲线积分.其中其中,),(yxPL 称为称为积分路径积分路径 或或 积分曲线积分曲线.称为称为被积函数被积函

5、数,),(yxQ),(yxF (,)cos(,)cosLP x yQ x yds 记作记作cos,cos,dsdxdsdyL(,)(,)P x y dxQ x y dy L(,)cos(,)cos(,)cosP x y zQ x y zR x y zds,(1)(1)第二类曲线积分与方向有关，故题中都要指明第二类曲线积分与方向有关，故题中都要指明 L L 的方向。的方向。故第二类曲线积分又可表示为：故第二类曲线积分又可表示为：（3 3）对空间）对空间上的有向曲线上的有向曲线 L L，第二类曲线积分就化为，第二类曲线积分就化为其中其中是是 L 的切向量与的切向量与 x，y，z 轴正向的夹角。轴正

6、向的夹角。(2)由于由于3RL(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 若若 为空间曲线弧为空间曲线弧,记记（4）若）若记记,第二类曲线积分也可写作第二类曲线积分也可写作(,)dsdx d y(,)(,)LLF dsP x y dxQ x y d y(,)(,),(,),(,)F x y zP x y zQ x y zR x y z(,)(,)(,)F dsP x y z dxQ x y z dyR x y z dz(,)dsdx d y dz 类似地类似地,3.性质性质(1)（路径可加性）若（路径可加性）若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光

7、滑曲线弧(1,),iLik(,)d(,)dLP x yxQ x yy 1(,)d(,)dikLiP x yxQ x yy (2)（方向性）用（方向性）用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧,则则(,)d(,)dLP x yxQ x yy (,)d(,)dLP x yxQ x yy 则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对第二类曲线积分必须注意对第二类曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!二、第二类曲线积分的计算法二、第二类曲线积分的计算法u L为参数方程为参数方程u L为一般方程为一般方程u L为空间光滑曲线为空间光滑曲线定理定理:),(,),(yxQ

8、yxP设在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd(),()Qtt 连续连续,存在存在,且有且有1 1、L L为参数方程为参数方程说明：说明：定理中的计算公式相当于定理中的计算公式相当于“换元法换元法”：()dxt dt ()dyt dt 下限下限起点参数值起点参数值上限上限终点参数值终点参数值将将 L L 的参数方程代入被积函数的参数方程代入被积函数换元：换元：定限：定限：2、L为一般方程为一般方程(),:,yxx ab 则则()dyx dx (,)

9、d(,)dLP x yxQ x yy ,(),()dbaP xxQ xxx)(x L:则(,)d(,)d(,)dLP x y zxQ x y zyR x y zz)(t)(t)(t(),(),()Pttt()():,()xtyttzt 3 3、L L为空间光滑曲线为空间光滑曲线()()()dxt dtdyt dtdzt dt (),(),()Qttt (),(),()Rttt dt例例1.计算计算,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1 取取 x 为参数为参数,则则OBAOL:,:10AOyxx :,:01OByxxdddLAOOBxy xxy xxy x01()dxxx

10、 312042d5xx 1221d()dLxy xy y yy xyxy 解法解法2 取取 y 为参数为参数,则则2:,:11L xyy14142d5yy 从点从点10dxx x 的一段的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx例例2.设在力场设在力场作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解解:(1)dddyxxyzz 2220()dRk tt (2)的参数方程为的参数方程为,0,2,:01xR yzktt dddAByxxyzz 1022dktk t 试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)

11、1(tkztRytRx222()kR 222k 其中其中 为为(,)Fyx zdWFs dWFs 1.定义定义 kk01lim(,)(,)nkkkkkPxQy (,)d(,)dLP x yxQ x yy 2.性质性质(1)L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示表示 L 的反向弧的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对第二类曲线积分必须注意对第二类曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3.3.计算计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd 对空间有向光滑弧:作业作业 P323 1(2),(3)