第三节分部积分法课件.ppt

1、第三节由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v 容易求得;xvuxvudd)2比容易计算.:)d(的原则或及选取vvu分部积分法 第四四章 例例1.求.dcosxxx解解:令,xu,cosxv 则,1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考:如何求?dsin2xxx提示提示:令,2xu,sin xv 则原式xx cos2xxxdcos2例例2.求.dlnxxx解解:令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式=xx ln212xxd21Cxxx2241ln21例例3.求.dar

2、ctanxxx解解:令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111(212xx arctan212Cxx)arctan(21例例4.求.dsinxxex解解:令,sin xu xev,则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev,则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式=Cxxex)cos(sin21说明说明:也可设veux,为三角函数,但两次所设类型必须一致.解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积,按“反对

3、幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为u.v例例5.求.darccosxx解解:令,arccosxu 1 v,则,211xuxv 原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx 21反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例例6.求.dcoscosln2xxx解解:令,coslnxu xv2cos1,则,tan xuxvtan原式=xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan例例7.求.dxex解解:令,tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2

4、tet(2Cxex)1(2,tu tev)teC令例例8.求.)0(d22axax解解:令,22axu,1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22例例9.求.)(d22nnaxxI解解:令,)(122naxu,1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22

5、说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例例10.证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln说明说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生

6、循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)3)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.例例11.已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明:此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例12.求.d xI23)1(2x解法解法1 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsin

7、ttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctanxeIxdarctan23)1(2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1(11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部积分法xexarctan211xd 23)1(2xxexarctanvu内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1.使用原则:xvuvd易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:vu例

8、例13.求xxId)ln(sin解解:令,lnxt 则texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部积分uexexuudd,例例14.求.d)(ln43xxx解解:令则原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式=ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344思考与练

9、习思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.xxsinsindCx sinln2.求xbxaeIxkd)cos(提示提示:)cos(bxa)sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek1备用题备用题.求不定积分解解：.d1xexexx方法1(先分部,再换元)xexexxd1)1(d1xxeexx2)1(dxe12xexxexd12令,1xeu则uuuxd12d2uuud122212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414方法方法2(先换元,再分部)令,1xeu则,)1ln(2ux故xexexxd1uuuuuud12)1ln()1(222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4Cu arctan412xexCeexx1arctan4141uuuxd12d2