第8讲：巧妙求和课件.ppt

1、数学家高斯 高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。一天，老师布置了一道题，1+2+3这样从1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案：你一定是算错了，回去再算算。”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=1011加到100有50组这样的数，所以50101=5050。布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高

2、斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。1+2+3+99+100 我们一起来看看小高斯他是如何解决这个问题的？=（1+100）1002=10150=50501 11 11 1 后项与前项之差都相等的数列称为等差数列。前后后项与前项之差都相等的数列称为等差数列。前后两项相差的数称为公差。数列中数的个数称为项数。两项相差的数称为公差。数列中数的个数称为项数。首项首项末项末项公差公差总和（首项总和（首项+末项）末项）项数项数2 2例题一例题一 四年级同学参加大合唱比赛，排成一个梯形，第一排四年级同学参加大合唱比赛，排成一个梯形

3、，第一排3 3人，第二排人，第二排5 5人，第三排人，第三排7 7人，第四排人，第四排9 9人人最后一排有最后一排有3737人，则一共有几排？人，则一共有几排？3+5+7+9+35+372 24 43434你能向小高斯一样解你能向小高斯一样解决这个问题吗？决这个问题吗？项项数？数？项数（末项首项）公差1(9-3)(9-3)2=2=9 9与与3 3相差的公差为：相差的公差为：3 36 69 9与与3 3一共的项数为：一共的项数为：3+1=43+1=4(37-3)(37-3)2+1=2+1=合唱比赛的排数为：合唱比赛的排数为：1818（排）（排）答：一共有答：一共有1818排。排。练习一练习一 米

4、德暑假在兴趣班学英语，第一天学会了米德暑假在兴趣班学英语，第一天学会了6 6个单词，第二天学会个单词，第二天学会9 9个个单词，第三天学会单词，第三天学会1212个单词，第四天学会了个单词，第四天学会了1515个单词个单词最后一天学会最后一天学会了了4242个单词。米德暑假一共学了几天英语？个单词。米德暑假一共学了几天英语？项数（末项首项）公差16+9+12+15+423 33 3（42-642-6）3+1=3+1=米德学英语的天数为：米德学英语的天数为：1313（天）（天）答：米德暑假一共学了答：米德暑假一共学了1313天英语。天英语。例题二例题二 有一列数，按有一列数，按2 2，5 5，8

5、 8，1111，1414，1717的规律排列，的规律排列，这列数中第这列数中第4444个数是多少？个数是多少？2 2，5 5，8 8，1111，1414，17173 33 33 3末项？末项？4444项项项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1末项末项=首项（项数首项（项数1 1）公差公差答：这列数中第答：这列数中第4444个数是个数是131131。2 2（44441 1）3=3=131131第第n n项首项（项数项首项（项数1 1）公差公差 求项数的公式大家还记得吗？练习二练习二 下面一列数是按一定规律排列的：下面一列数是按一定规律排列的：13,20,27,34,41,48 13,20

6、,27,34,41,48，（1 1）第）第2323个数是几？个数是几？（2 2）第）第100100个数是几？个数是几？7 77 77 7 第第n n项首项（项数项首项（项数1 1）公差公差答：第答：第2323个数是个数是167167，第，第100100个数是个数是706706。第第2323个数是个数是:13+13+（23-123-1）7=7=167167第第100100个数是个数是:13+13+（100-1100-1）7=7=706706小结这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，

7、其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中数的个数称为项数。数的个数称为项数。总和总和（首项（首项+末项）项数末项）项数2 2。项数（末项首项）公差项数（末项首项）公差+1+1 第第n n项首项（项数项首项（项数1 1）公差公差数列 2，5，8，11，14，23。第一项是（第一项是（）；末项是（）；末项是（）；项数是）；项数是（）；公差是（）；公差是（）；它是（）；它是（）。）。A A、等差数列、等差数列 B B、23 C23 C、2 2 D D、5 E5 E、3 F3 F、8 8 A AE EF FC CB B例题三例题三计算计算4 46

8、68 8464648485050的和。的和。=648=648=（4+504+50）+（6+486+48）+（24+2624+26）=（4 45050）24242 24 46 68 8464648485050（50-450-4）2+1=24(2+1=24(项项)（4 45050）24242=6482=648总和（首项总和（首项+末项）末项）项数项数2 2一共有多少一共有多少个偶数？个偶数？2 25 58 8474750505353练习三练习三（53-2）3+1=18(项)一共有多少一共有多少个项？个项？项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 12 25 58 8474750505353总和（

9、首项总和（首项+末项）末项）项数项数2 2=（53+253+2）18182 2 =495 =495例题四例题四 卡尔新买了一本故事书，计划第一天看卡尔新买了一本故事书，计划第一天看1515页，之后每一天都比前一页，之后每一天都比前一天多看天多看5 5页，最后一天看了页，最后一天看了7575页，这本故事书一共有多少页？页，这本故事书一共有多少页？首项是首项是15;15;末项是末项是7575；公差是公差是5 5。总和？总和？卡尔看书的天数：项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1（75-1575-15）5+1=5+1=1313（天）（天）总和（首项总和（首项+末项）项数末项）项数2 2这本故

10、事书的页数：要求故事书一共要求故事书一共有多少页，必须有多少页，必须要知道什么？要知道什么？（15+7515+75）13132=2=585585（页）（页）答：这本故事书一共有答：这本故事书一共有585585页。页。练习四练习四 为了参加秋季运动会的为了参加秋季运动会的30003000米长跑比赛，阿派给自己定制了训练计划：米长跑比赛，阿派给自己定制了训练计划：第一天跑第一天跑30003000米，以后每天比前一天多跑米，以后每天比前一天多跑300300米。最后一天阿派跑了米。最后一天阿派跑了51005100米，他一共跑了多少米？米，他一共跑了多少米？首项是首项是30003000；末项是末项是51

11、005100；公差是公差是300300。阿派跑步的天数：项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1（5100-30005100-3000）300+1=300+1=8 8（天）（天）总和（首项总和（首项+末项）项数末项）项数2 2阿派一共跑的路程：（5100+30005100+3000）8 82=2=3240032400（米）（米）答：他一共跑了答：他一共跑了3240032400米。米。例题五（选讲）例题五（选讲）芭啦啦小学举办芭啦啦小学举办“六六一一”晚会，全班晚会，全班3535人都参加了，人都参加了，晚会规定，每两人要握一次手，他们一共握了多少次手？晚会规定，每两人要握一次手，他们一共握

12、了多少次手？假设假设5 5个人，个人，每两人要握一次手。每两人要握一次手。4 4次次3 3次次2 2次次1 1次次34+33+32+3+2+134+33+32+3+2+1=（34+134+1）34342 2 =595=595（次）（次）答：他们一共握了答：他们一共握了595595次手。次手。练习五（选做）练习五（选做）校篮球赛开始了，赛制规定每支篮球队要和其他篮球队校篮球赛开始了，赛制规定每支篮球队要和其他篮球队各赛一场。现在有各赛一场。现在有1414支篮球队参赛，一共要进行多少场比赛？支篮球队参赛，一共要进行多少场比赛？13+12+3+2+1 13+12+3+2+1 =（13+113+1）13132 2 =91=91（场）（场）答：一共要进行答：一共要进行9191场比赛。场比赛。总结 记住以下三个公式，可以帮助我们记住以下三个公式，可以帮助我们更好地掌握此类问题：更好地掌握此类问题：通项公式：第通项公式：第n n项首项项首项+（项数（项数1 1）公差公差项数公式：项数（末项首项）项数公式：项数（末项首项）公差公差+1+1求和公式：总和（首项求和公式：总和（首项+末项）末项）项数项数2 2