第8讲-镜像法-课件.ppt
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- 镜像法 课件
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1、第八讲第八讲 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子工程学院电子工程学院 陈其科陈其科第八讲第八讲 镜像法镜像法第八讲第八讲 镜像法镜像法镜像法的基本原理镜像法的基本原理接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像导体球面的镜像导体球面的镜像导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像本讲内容本讲内容第八讲第八讲 镜像法镜像法几个实例:几个实例:非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效等效点电荷点电荷产生的电位替代。产生的电位替代。求解位于接地导
2、体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 问题的提出问题的提出q qqq非均匀感应面电荷非均匀感应面电荷等效电荷等效电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法 镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。几个实例:几个实例:问题的提出问题的提出 接地导体球附近点电荷产生的电位接地导体球附近点电荷产生的电位用用等效电荷等效电荷代替非代替非均匀感应电荷均匀感应电荷q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷 等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置镜像法镜
3、像法。第八讲第八讲 镜像法镜像法问题问题:这种等效电荷是否存在?:这种等效电荷是否存在?这种等效是否合理?这种等效是否合理?条件:条件:回顾:回顾:静电场的静电场的惟一性定理惟一性定理 已知场域已知场域V 内的自由电荷分布和电介质特性内的自由电荷分布和电介质特性结论:结论:场域场域V 内的位函数具有惟一确定解。内的位函数具有惟一确定解。SSn 已知已知 场域场域V的边界面的边界面S上的上的 或或 的值的值一、镜像法原理一、镜像法原理方法:方法:在求解在求解区域外区域外设置等效电荷,替代设置等效电荷,替代边界上边界上分布电荷的作用分布电荷的作用目的:目的:将复杂边值问题转换为将复杂边值问题转换为
4、无界均匀媒质无界均匀媒质空间的问题空间的问题第八讲第八讲 镜像法镜像法一、镜像法原理一、镜像法原理根据根据唯一性定理唯一性定理,若镜像电荷的引入满足:,若镜像电荷的引入满足:u 电位函数仍然电位函数仍然满足原方程满足原方程(拉氏方程或泊松方程)(拉氏方程或泊松方程)u 电位分布仍电位分布仍满足原边界条件满足原边界条件则可确保求得的解就是正确的。则可确保求得的解就是正确的。引入镜像电荷的引入镜像电荷的两条原则两条原则:u 等效电荷必须位于所求解的场等效电荷必须位于所求解的场区域以外区域以外的空间中;的空间中;u像电荷的个数、位置及电荷量的大小根据场区域的像电荷的个数、位置及电荷量的大小根据场区域
5、的边界条件边界条件来确定。来确定。:像电荷的:像电荷的个数个数、位置位置及其及其电量电量镜像法应用的关键点:镜像法应用的关键点:镜像电荷的确定镜像电荷的确定 明确明确等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。第八讲第八讲 镜像法镜像法 等效问题与原问题在求解区域内等效问题与原问题在求解区域内边界条件边界条件及及电荷分布相同。电荷分布相同。由唯一由唯一性定理,知解唯一正确。性定理,知解唯一正确。二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像q qh有效区域有效区域q qhhq 原电荷:原电荷:镜像电荷镜像电荷:(求解域外求解
6、域外),q h,qq hh 第八讲第八讲 镜像法镜像法1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间内的电位分布为:上半空间内的电位分布为:11(,)()4qx y zRR22222211()(0)4()()qzxyzhxyzh0snnzDEnz 222 3/22()qhxyh222 3/22()inssqhqdsdxdyqxyh 点电荷在平面导体面上的点电荷在平面导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等感应电荷电量与镜像电荷电量相等。接地导体分界面上感应电荷分布接地导体分界面上感应电荷分布二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像
7、法1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像思考思考 无限大导体平板不接地,镜像电荷如何确定?无限大导体平板不接地,镜像电荷如何确定?有限大接地导体平板问题,可否用镜像法求解?有限大接地导体平板问题,可否用镜像法求解?q qhq qh二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法引入像电荷后满足原问题的边界条件,引入像电荷后满足原问题的边界条件,所得解正确。所得解正确。2 2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像hhl 有效区域有效区域RR l xzhl导体 等效问题:等效问题:llzh 上半空间
8、的电位分布为:上半空间的电位分布为:11(,)(lnln)2lx y zCRR2222()ln(0)2()lxzhCzxzh二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法3 3、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 要满足在导体平面上电位为零,要满足在导体平面上电位为零,则必须引入则必须引入3 3个镜像电荷。个镜像电荷。对于非垂直相交的两导体平面对于非垂直相交的两导体平面构成的边界,若夹角为构成的边界,若夹角为 ,则,则所有所有镜像电荷数目为镜像电荷数目为2n-1个。个。n d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q
9、3d2d1123qqqq 1231111()4qRRRR电位:电位:qd12d2160二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外PqarRd1()4qqRR?dq问题问题:qPaqrRRdd 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内(不影响原应位于导体球内(不影响原方程),且在点电荷方程),且在点电荷q与球心的连线上,与球心的连线上,距球心为距球心为d。则有。则有 点电荷点电荷q 位于半径为位于半径为a 的接地导体的接地导体
10、球外,距球心为球外,距球心为d。第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外qPaqrRRdd104r ar aqqRR 镜像电荷的确定镜像电荷的确定由镜像法原理:镜像电荷位于球内区域,由镜像法原理:镜像电荷位于球内区域,且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为面上电位为0 0,即:,即:222cosRrdrd222cosRrdrd221(42cosqadad22)02cosqadadr a22222222()()2()cos0adqadqa dqd q第八讲第八讲 镜像法镜像法三
11、、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外 镜像电荷的确定镜像电荷的确定22222222()()2()cos0adqadqa dqd q22222222()()02()0adqadqa dqd q2(aqqqqdadddd 或舍去)qPaqrRRdd导体球面镜像电荷导体球面镜像电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外 接地导体球边界静电问题接地导体球边界静电问题qPaqrRRdd22142cosqrdrd22223 2()4(2cos)Sr aq dara ad
12、ad 2222in223 200()sin d dd4(2cos)SSq daaaqSqaadadd 导体球面上的总导体球面上的总感应电荷感应电荷也也与与所设置的所设置的镜像电荷电量相等镜像电荷电量相等。球外的电位函数为球外的电位函数为 导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为 球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为2222()()2()cosaradradr ad第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像2 2、点电荷位于接地导体球壳内、点电荷位于接地导体球壳内 镜像电荷的确定镜像电荷的确定aqdObqdrRRP 如图所示接地空心导体球壳的内半径如图所示
13、接地空心导体球壳的内半径为为a、外半径为、外半径为b,点电荷,点电荷q 位于球壳内,位于球壳内,与球心相距为与球心相距为d(d|q|,镜像电荷的电荷量,镜像电荷的电荷量大于大于点电荷的电荷量点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关无关(为什么?为什么?)第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像2 2、点电荷位于接地导体球壳内、点电荷位于接地导体球壳内 接地导体球壳的静电问题接地导体球壳的静电问题aqdObqdrRRP导体球面上的导体球面上的总感应电荷与总感应电荷与所设置的所设置的镜像电荷不相等镜像电荷不相等。球壳球壳内内的电位函数为的电
14、位函数为 球壳球壳内表面内表面的总感应电荷为的总感应电荷为 球壳球壳内表面内表面感应电荷面密度为感应电荷面密度为22222201()42cos()2()cosqarardrdd radr ad220223 2()4(2cos)Sr aq adra adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos)SSq adaqSqaadad 第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外aqrPd1qd2-qRR导体球不接地时的特点:导体球不接地时的特点:导体球面是导体球面是电位不为零电位不为零的等位面的等位面
15、 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布,但荷分布,但总的感应电荷为零总的感应电荷为零。u负电荷分布与接地球球分布相同负电荷分布与接地球球分布相同u正电荷均匀分布正电荷均匀分布与与 共同使使球面电位为共同使使球面电位为0 0q使球面为电位非使球面为电位非0 0的等势面的等势面问题:如何确定镜像电荷?问题:如何确定镜像电荷?q qa a=+a aa第八讲第八讲 镜像法镜像法0aqqqdd,2,aaqq ddd 三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外q qaq qa+qPaqrRRddqq qa a
16、=+a aa第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外0aqqqdd,01()4qqqRRr球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq2,aaqq ddd 结论:结论:不接地导体球外存在点电荷不接地导体球外存在点电荷q时,其镜像电荷为:时,其镜像电荷为:第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像4 4、点电荷位于不接地空心球壳内、点电荷位于不接地空心球壳内aqqd,add2 aqdobaqobPaqrRRddqPbrqq=q,位于球心,位于球心(为什么?)(为什么?)第八讲第八讲
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