第2章：控制系统的数学模型课件.ppt

1、1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型n2-1 引言引言n2-2 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化n2-3 传递函数传递函数n2-4 控制系统的结构图控制系统的结构图n2-5 信号流图信号流图n2-6 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数2 1.1.数学模型定义：数学模型定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。和设计自动控制系统的基础。32.为什么要建立数学模型：为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指我们需要了解

2、系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依的数学模型。它是分析和设计系统的依据。据。4 另一个原因：许多表面上看来似乎毫另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究

3、具体系统而只分我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLC电路就可以电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。学模型。5 3.表示形式表示形式 a.微分方程微分方程 b.传递函数传递函数 c.频率频率特性特性 三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程

4、频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。6n4.建立方法建立方法 目前工程上采用的方法主要是目前工程上采用的方法主要是:a.分析计算法分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型学模型适用于简单的系统。适用于简

5、单的系统。7 b.工程实验法工程实验法 工程实验法：工程实验法：它是利用系统的输入它是利用系统的输入-输出信输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的无所知的 情况下，采用这种建模方法。情况下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。较准确而方便地建立系统的数学模型。黑盒黑盒输入输入输出输出8 实际控制系统的数学模型往往是很复杂实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情

6、况下，常常可以忽略一些影响的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。系统的数学模型过于复杂。9二二.线性系统线性系统 线性元件：线性元件：具有迭加性和齐次性的元件具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。称为线性元件。非线性元件：非线性元件：不具有迭加性和齐次性的不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。元件称为非线性元件。102-1 引言引言一一.

7、数学模型数学模型n工程控制中常用的数学模型有三种：n 微分方程-时域描述n 传递函数-复域描述n 频率特性-频域描述 本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型11 如果元件输入为如果元件输入为r（t）、）、r1（t）、）、r2（t），），对应的输出为对应的输出为c（t）、）、c1（t）、）、c2（t）如果如果r（t）=r1（t）+r2（t）时，）时，c（t）=c1（t）+c2（t）满足迭加性满足迭加性 如果如果r（t）=ar1（t）时，）时，c（t）=ac1（t）满足齐次性满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。12 线性系统重新定义：线性系统

8、重新定义：若组成系统的各元件均若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。为线性元件，则系统为线性系统。例如例如y=kx是线性元件是线性元件 线性元件一定满足迭加性和齐次性。线性元件一定满足迭加性和齐次性。输入输入x1y1输出输出 x2y2 输入输入x1 x2 对应输出对应输出y1 y2 满足迭加性满足迭加性 k为常数，为常数，kx1ky1 满足齐次性满足齐次性所表示的元件为所表示的元件为线性元件线性元件13 y=kx+b(b为常数为常数 0)线性方程，线性方程，但所表示的元件不是线性元件但所表示的元件不是线性元件.为什么呢？为什么呢？输入输入x1y1输出输出 y1kx1+b x2y2

9、y2=kx2+b 输入输入x1 x2输出输出y=k(x1 x2)+b =k x1+kx2+b y1+y2 不满足迭加性不满足迭加性 14k为常数为常数:kx1输出输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)=k2x1+kby ky1不满足齐次方程。不满足齐次方程。线性方程不一定满足迭加性和齐次性。线性方程不一定满足迭加性和齐次性。所表示的元件不是线性元件。所表示的元件不是线性元件。15又例如：元件的数学模型为：又例如：元件的数学模型为：线性元件)()()(txtyty不是线性元件btxtyty)()()(元件的数学模型为：元件的数学模型为：16n2.重要特点：重要特点：对线

10、性系统可以应用迭加性和对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。齐次性，对研究带来了极大的方便。迭加性的应用：迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。独求响应，然后加起来就是总响应。17 齐次性表明：齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系

11、统进行分单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析析简化了问题。简化了问题。18 一一.微分方程的建立微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。的输入和输出

12、的微分方程。2-2 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化19动态微分方程式的编写n目的：目的：确定被控量与给定量或扰动量间的函数关系。确定被控量与给定量或扰动量间的函数关系。n机理法建立数学模型的一般步骤：机理法建立数学模型的一般步骤：分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定系分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定系统和各元件的输入输出量。统和各元件的输入输出量。由输入开始依次由物理规律列写各部分方程。由输入开始依次由物理规律列写各部分方程。消去中间变量，得到描述系统输入输出变量关系的消去中间变量，得到描述系统输入输出变量关系的数学模型（微分方程）。数学模型（微分方程）。标准化（

13、如输入在右，输出在左，降幂排列导数等）标准化（如输入在右，输出在左，降幂排列导数等）20n例例1.机械平移系统机械平移系统 求在外力求在外力F(t)作用下，作用下，物体的运动轨迹。物体的运动轨迹。mkF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧21 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程.输入量为外力F，输出量为位移x。(p.22)解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f 为粘性阻尼系数，k 为弹性系数。22首先确定：首先确定：输入输入F(t),输出输出x(t)其次：其次：理论依据理论依据1.牛顿第二定律牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物物体所受的合外力等于物

14、体质量与加速度的乘积体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律牛顿第三定律 作用力等于反作用力作用力等于反作用力,现在现在我们单独取出我们单独取出m进行分析，这里不考虑重进行分析，这里不考虑重力的影响。力的影响。maFtx fFtkxF而)()(21mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力23)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列由高到低排列。机械平移系统的微

15、分方程为：机械平移系统的微分方程为：)()()()(tFtkxtx ftxm 这也是一个两阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。24n例例2.RLC电路：电路：研究在输入电压研究在输入电压ur(t)作作用下，电容上电压用下，电容上电压uc(t)的变化。的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)25依据：电学中的基尔霍夫定律依据：电学中的基尔霍夫定律 )1(),()()()(tudttdiLtRitucr)2(,)(1)(dttiCtuCdttduCtiC)()()()()()(22tudttudLCdttduRCtuCCCr由（由（2）代入（）代入（1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(

16、t)（两边求导）（两边求导）26)()()()(tututuRCtuLCrCCC 即这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。可用相同的数学模型来描述。整理成规范形式整理成规范形式机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：)()()()(tFtkxtx ftxm 27 需要讨论的问题之一需要讨论的问题之一：1 1、相似系统和相似量：、相似系统和相似量：我们注意到例2-

17、1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。可见,不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。22oooid uduLCRCuudtdt22d xdxmfkxFdtdtiuqCdtdqRdtqdL122 idtq若令 （电荷），则例2-2的结果变为：28作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。kfmFx,CRLuqi1,定义定义 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 分别与 为相似量。2930mecacmeaeameameaCCmRdtdmCCLCu

18、dtdCCJRdtdCCJL22)(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT其中 和aaaRLT meamCCJRT 分别称为电磁时间常数和机电时间常数整理(消去中间变量i=ia,ea,m,保留输入和输出的关系)得:euCK1meamCCRK分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力。aaaaueiRdtdiL电枢电路电压平衡方程eaCe 电机反电势方程amiCm 电磁转矩方程cmmdtdJ电机轴上转矩平衡方程31工程上允许忽略La时,方程变为:12()()()()macdtTtk u tk M tdt这是一阶微分方程一阶微分方程.工程上进一步允许忽略R

19、a,J时,方程变为:()()aeCtu t这是代数方程代数方程,表示电机为一个线性元件.需要讨论的问题之二需要讨论的问题之二：由上例可见,经不同的适当的工程处经不同的适当的工程处理理,同一物理系统可以有不同形式的数学模型同一物理系统可以有不同形式的数学模型.(输入输出不变输入输出不变)(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT这是二阶微分方程二阶微分方程。32二 非线性数学模型线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关;电动机本身的摩擦、死区若所得模型为非线性方程，因非线性系统一般不能应用叠加原理，数学上处理困难，为了便于理论分析，

20、经常采用线性化方法，得到系统的线性模型（对于非线性函数，在其工作点处展开成台劳级数，略去二次以上得高阶项，得到线性化方程）,得到系统的小信号偏差线性模型后，就可解线性常微分方程得到系统运动规律。33 将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。34二二.非线性元件的线性化非线性元件的线性化n1.几种常见的非线性几种常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）35 非线性微分方程的求解很困难。在一定条

21、非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。程问题，有很大的实际意义。n2.线性化的方法线性化的方法 （1）.忽略弱非线性环节忽略弱非线性环节（如果元件的非线（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）略）36例:单摆运动.输入:外力为0,输出:

22、摆动幅度(角度)(t)M摆质量,l-摆长,f-阻尼系数,g-重力加速度,摆的位移x(t)=l*(t),线速度 ,加速度()()dx tdtldtdt 2222xlddddtt由牛顿定律 Fma得 220()sintdMlflMgdtddt这是二阶非线性微分方程.当很小时,代入上式sin 得220()tdM lflM gdtddt 这是一种局部线性化处理方式.37 （2）.偏微法（小偏差法，切线法，增量线偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量个调节过程中，各个元件的输入量和

23、输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。作在平衡点附近。38 需要讨论的问题之三需要讨论的问题之三：若描述系统的数学模型是非线性(微分)方程,则相应的系统称为非线性系统,这种系统不能用线性叠加原理.在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的.但在工程应用中,除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况,一

24、般采用近似的线性化方法。对于非线性方程,可在工作点附近用泰勒级数展开,取前面的线性项.可以得到等效的线性环节。39小偏差线性化法小偏差线性化法AByx00 xxx00y00yy)(xfy 设连续变化的非线性函数为:y=f(x),若取某一平衡状态A(x0,y0)为工作点,A点附近有点B(x0+x,y0+y),当x 很小时，AB段可近似看做线性的。40 A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学

25、模型这就是非线性元件的线性化数学模型202200)(!21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdyk41)(),()(),(),(),(202),(221101),(12120102120102010 xxxxxfxxxxxfxxfxxfyxxxx增量线性方程增量线性方程2211xKxKy 42n（3）.平均斜率法平均斜率法 如果一非线性元件输入如果一非线性元件输入输出关系如图所示输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为线性化方程为 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死

26、区)电机43 注意：注意：这几种方法只适用于一些非线性程这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，度较低的系统，对于某些严重的非线性，如如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。述函数法进行分析。0继电特性0饱和特性44归纳归纳n1.1.分析法建模必须清楚系统内部的运动规律分析法建模必须清楚系统内部的运动规律n2.2.建模步骤建模步骤:n 定输入定输入,输出变量输出变量n 根据有关定律列写微分方程根据有关定律列写微分方程n 消去中间变量消去中间变量,并写成数学模型的标准形式并写成数学模型的标准形式 (输出在左输出在左,

27、降幂排列降幂排列)n3.3.数学模型是对实际系统的抽象数学模型是对实际系统的抽象,为仿真奠定了基为仿真奠定了基础础,也使研究更有效也使研究更有效n4.4.系统具有相对性系统具有相对性(相似系统相似系统:一个模型多种系统一个模型多种系统;一个系统多种模型一个系统多种模型.有时有时,系统是一个更大系统的系统是一个更大系统的一个环节一个环节;有时有时,它又可以分解成若干个小系统它又可以分解成若干个小系统)45线性定常微分方程的求解：线性定常微分方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下,输出量的变化情况。方法有经典法,拉氏变换法和数字求解。自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。1.拉氏变换求微分方程

28、解的步骤：对微分方程两端进行拉氏变换,将时域微分方程转换为s域的代数方程。对代数方程解求拉氏反变换,求得输出函数的时域解。46例2-6:RLC串联电路串联电路的微分方程求解.(课本 p.25,电路图见例2-1)00022iuduLCRCuudtddt已知:L=1H,C=1F,R=1,输入ui(t)=1(t)v初始条件为:u0(0)=0.1 v,i(0)=0.1A.求输出电压u0(t).解：采用拉氏变换求解.记输入记输入,输出的拉氏变换分别输出的拉氏变换分别为为:U Ui i(s)=(s)=uui i(t),U(t),Uo o(s)=(s)=uuo o(t)(t)由微分定理,有:000du(t)

29、L()(0)dtsU su2020002d u(t)L()(0)(0)dts U ss uu 0000()11(0)()(0)|ttdu tui tidtCC其中其中,47以上关系代入原方程以上关系代入原方程,整理得整理得:022()0.10.2()11iUssUsssss0222210.10.2110.1(1)0.1()(1)111sssUss sssssssss 1()1()()iiu ttU ss48求拉氏反变换求拉氏反变换:原方程的拉氏变换解原方程的拉氏变换解:022()0.10.2()11iUssUsssss其中其中,第一项与输入有关第一项与输入有关,与初始条件无关与初始条件无关,叫

30、叫零初始条件响应,第第二项与初始条件有关二项与初始条件有关,而与输入无关而与输入无关,叫叫零输入响应.直接查反变换表无结果直接查反变换表无结果,可采用部分分式分解可采用部分分式分解.化成反变换表上找化成反变换表上找得到的形式得到的形式,如如:2221/11(1)1sABsCsss sssss 部分分式法 对右式通分对右式通分,整理后的分子为整理后的分子为:,应等于上式左边的分子应等于上式左边的分子1.2()()AB sA C sA再解方程组再解方程组,有有:A=1,B=-1,C=-1.491s查表查表A-3:21(t)对于对于 还要变化一下还要变化一下,才能查表才能查表:22111BsCsss

31、ss 222334411221122()11()()ssssss 1232costte12321223sin()()tte查表查表A-3:22,20A-3:22,2050由拉氏反变换得由拉氏反变换得:01122112231333()1(cossin)0.1(cos3sin)222232331sin(120)0.2sin(30)223ttttu ttttttteeee 其中其中,前两项与输入有关前两项与输入有关,与初始条件无关与初始条件无关,叫叫零零初始条件响应初始条件响应或或零状态响应零状态响应,末项与初始条件有关末项与初始条件有关,而与输入无关而与输入无关,叫叫零输入响应零输入响应.总称总称

32、单位阶跃响应单位阶跃响应.512.2.求求单位脉冲响应单位脉冲响应:输入输入 时的响应时的响应 (t)(t)可看作可看作1(t)1(t)的导数的导数单位脉冲响应就是单位阶跃响应的导数单位脉冲响应就是单位阶跃响应的导数.承承上例单位脉冲响应为上例单位脉冲响应为:01122()233()sin0.2sin(30)223ttdu tg tttdtee)(ttui）523.3.关于关于(运动的运动的)模态模态的概念的概念(课本课本p.29):1)微分方程的解分为特解和通解两部分微分方程的解分为特解和通解两部分,特解特解就是零初始条件响应就是零初始条件响应,通解就是零输入响应通解就是零输入响应(自由解自

33、由解)。i2321012 SS2)2)微分方程的特征方程微分方程的特征方程,特征根特征根承上例承上例,特征方程为特征方程为特征根为特征根为535)5)系统的模态与输入量无关系统的模态与输入量无关,与输出量也无关与输出量也无关.te13)3)可见可见,微分方程的解和特征根有关微分方程的解和特征根有关.由特征由特征根根 ,构成的函数构成的函数 称为运动的称为运动的模态模态 te24)4)齐次微分方程的特征根无重根时齐次微分方程的特征根无重根时,方程的通解方程的通解 为其模态为其模态 的的线性组合。线性组合。te2te1当有重根当有重根时时,则有模态则有模态tttettee2,当特征根为复数时当特征

34、根为复数时(=+j),(=+j),则有模态则有模态 tetettcos,sin1254 2-3 传递函数传递函数n线性系统线性系统满足叠加原理（叠加性、齐次性）满足叠加原理（叠加性、齐次性）n线性定常系统的两个性质：线性定常系统的两个性质：线性定常系统输出端不会产生新的频率成分，但线性定常系统输出端不会产生新的频率成分，但幅值和相位会改变。幅值和相位会改变。输出的变化规律与输入及时间起点有关。输出的变化规律与输入及时间起点有关。回顾：回顾：55拉氏变换是求解线性微分方程的简捷方法。拉氏变换是求解线性微分方程的简捷方法。通过拉氏变换将线性微分方程转换成传递函通过拉氏变换将线性微分方程转换成传递函

35、数，进而用根轨迹，频率特性等方法间接分析、数，进而用根轨迹，频率特性等方法间接分析、设计系统。设计系统。56传递函数传递函数 1.定义：定义：零初始条件下，系统输出量零初始条件下，系统输出量 的拉的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用的传递函数，用G(s)表示。表示。()()()()()ctCsGsr tRs零 初 始 条 件输 出 信 号的 拉 氏 变 换传 递 函 数输 入 信 号的 拉 氏 变 换定义定义:57零初始条件下零初始条件下有两个含义：输入量在输入量在t=0t=0时才作用于系统，因此时才作用于系统，因此t=0t=0-时，时，输

36、入量及其各阶导数为输入量及其各阶导数为0;0;输入量加于系统之前，系统处于稳态，即输入量加于系统之前，系统处于稳态，即输出量及其各阶导数也为输出量及其各阶导数也为0 0。58 c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入为系统输入.)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn设线性定常系统的微分方程是设线性定常系统的微分方程是59 零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：得到系统传递函数为：nnnnmmmmasasas

37、absbsbsbsRsCsG11101110)()()(即是系统的特征方程。0)()(1110sNasasasasNnnnn分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。60 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G(s)G(s)的分母次数大于等于分子次数，即的分母次数大于等于分子次数，即 ,若若mn,mn,我们就说这是物理不可实现的我们就说这是物理不可实现的系统。系统。是传递函数的极点。的根是函数的零点，的根，称为传递是0)()2,1(0)()2,1()()()()()()()(210210sNnipssMmizspspsp

38、sazszszsbsNsMsGiinmmn 612.2.性质性质 (1)(1)传递函数与微分方程一一对应。传递函数与微分方程一一对应。传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数。的有理真分式函数。1)1)具有复变量函数的所有性质具有复变量函数的所有性质,2)2)所有系数为实数所有系数为实数,3)mn.3)mn.62 (2)(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。传递函数表征了系统本身的动态特性。G(s)G(s)取决于系统或元件的结构和参取决于系统或元件的结构和参数数,与输入量的形式与输入量的形式,幅度大小无关。传幅度大小无关。传递函数表现系统固有的特征。递函数表现系统固有的特征。当

39、当G(s)G(s)未知时未知时,通过对系统施加某种通过对系统施加某种输入输入R(s),R(s),再检测系统输出再检测系统输出C(s),C(s),就可以就可以求出求出G(s)G(s)。加不同的输入。加不同的输入,得到不同的输得到不同的输出出,但比值相同。但比值相同。63(3)(3)只能描述线性定常系统与单输入单输只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。况无法反映。传递函数是系统的一种外部表达传递函数是系统的一种外部表达,它不能反映系统内部的各种它不能反映系统内部的各种状态状态.(.(建建模时的中间变量就是一些系统状态模时的中

40、间变量就是一些系统状态)64 (4)不同的物理系统可以具有完全相同的不同的物理系统可以具有完全相同的传递函数。传递函数反映了数学模型的传递函数。传递函数反映了数学模型的抽象性质抽象性质.65(5)只能反映零初始条件下输入信号引起只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。输出。传递函数和微分方程都是系统的数传递函数和微分方程都是系统的数学模型学模型.传递函数的运算符传递函数的运算符(算子算子)是是S,S,微分方程的运算符微分方程的运算符(算子算子)是是d/dt,d/dt,可互可互相置换相置换.不过传递函数要求不过传递函数要求零初始条

41、件零初始条件.66(6)6)当系统不变当系统不变,选择不同的位置引入选择不同的位置引入(施加施加)输入输入信号或引出输出信号时信号或引出输出信号时,显然显然,得到的是不同的传递得到的是不同的传递函数函数.传递函数的概念主要适用于单输入单输出系传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统统.若系统有多个输入信号若系统有多个输入信号,在求传递函数时在求传递函数时,每次每次施加一个输入施加一个输入,其它的输入量一概视为零其它的输入量一概视为零.如给定如给定和扰动是两个输入和扰动是两个输入,它们共同作用时它们共同作用时,输出可以通过输出可以通过叠加原理求得叠加原理求得.(.(分别求分别求,再叠加再叠加)注

42、意注意,输出响应可以叠加而传递函数不能叠加输出响应可以叠加而传递函数不能叠加!11122212()()()()()()()()()()()C sG s R sC sG s R sC sC sC sC sc t67 (7)(7)脉冲响应是传递函数的拉氏反变换脉冲响应是传递函数的拉氏反变换 脉冲响应脉冲响应(脉冲过渡函数脉冲过渡函数)g(t)g(t)是系是系统在单位脉冲输入时的输出响应。统在单位脉冲输入时的输出响应。可见，系统传递函数的拉氏反变换可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系因此，系统的单位脉冲输入

43、信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，统的输出完全描述了系统动态特性，通常称为脉冲响应函数。通常称为脉冲响应函数。68建模建模:通常由微分方程经拉氏变换求传递函数。通常由微分方程经拉氏变换求传递函数。电路的电路的运算阻抗法运算阻抗法可以不通过微分方程可以不通过微分方程,直接直接求传递函数求传递函数:电阻电阻R R的运算阻抗就是的运算阻抗就是R,R,电感电感L L的的运算阻抗是运算阻抗是Ls,Ls,电容电容C C的运算阻抗是的运算阻抗是1/(Cs)1/(Cs)用运算阻抗置换电路中的相用运算阻抗置换电路中的相关量关量,根据电路定律直接写出根据电路定律直接写出:211.()()()1()1.()1

44、()()I ssUCsG ssRCsURI sCs69例例5:求求双双T网络网络的传递函数的传递函数rucu1C2C1R2R1i2i1u)()(susurC70解：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：解：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：71)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1

45、)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC传递函数为消去中间变量后，得到72 注意：双注意：双T网络不可看成两个网络不可看成两个RC网络的串网络的串联，即：联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu273 与双与双T T网络相比少一个交叉项网络相比少一个交叉项 ，这就是，这就是负载效应，因此双负载效应，因此双T T网络不能孤立地分开，必网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个须作为一个整体来求传递函数。当后一个RCRC网络接到网络接到

46、两端时，两端时，已不再是原来的已不再是原来的 ，也就是说也就是说 中的电流中的电流=中的电流中的电流+中电中电流，不再等于流，不再等于 中的电流。只有当中的电流。只有当 与与其余值相比很小可略而不计时，双其余值相比很小可略而不计时，双T T网络的传网络的传递函数才等于两个递函数才等于两个RCRC网络的串联。网络的串联。1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC)1)(1(1)()(2211sCRsCRsusurcSCR211C1C1C2u2u1R2R21CR74例例6：求下图所示运算放大器的传递函数。求下图所示运算放大器的传递函数。图中图中Rf是反馈电阻，是反馈

47、电阻，if是反馈电流，是反馈电流，Ri是输入是输入电阻，电阻，ur和和ir是输入电压和电流，是输入电压和电流，uc是输出电是输出电压压,i0是进入放大器的电流。是进入放大器的电流。urucRfRiRui0irif-+75 运算放大器具有高增益运算放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小小于于10伏，因为伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入所以运算放大器的输入电压电压u近似等于近似等于0，这种反相输入端电位为，这种反相输入端电位为0的现象，是运算放大器的共同特点，叫做的现象，是运算放大器的共同特点，叫做“虚地虚地”，又因为运算放大器的输入阻抗很，又因为运算放大器的输入阻抗很高

48、，所以流入放大器的电流高，所以流入放大器的电流i0也近似等于也近似等于0。这个现象叫做这个现象叫做“虚断虚断”，ir=if,由此导出：由此导出：，即，即:所以运算放大器的传递函数为所以运算放大器的传递函数为:fcirRuuRuuifrcRRsusu)()(fcirRuRu76 这个结论可以推广为：这个结论可以推广为：运算放大器的传递函数等于反馈复运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗之比。阻抗与输入复阻抗之比。77例例7：求图求图b所示有源网络的传递函数所示有源网络的传递函数)()(sUsUrcSCRSCRSCRSCRSCRSCRsUsUrc212211111122)1)(1(111)

49、()(。78 3 3 传递函数的表达式传递函数的表达式 传递函数一般是复变函数，可以变换为各传递函数一般是复变函数，可以变换为各种形式。种形式。(1).(1).有理分式形式有理分式形式 (2).(2).零极点形式零极点形式 (3).(3).时间常数形式时间常数形式79 (1)(1)有理分式形式有理分式形式 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 传递函数的分母多项式传递函数的分母多项式 D(s)D(s)称为系统的特征称为系统的特征多项式，多项式，D(s)=0D(s)=0称为系统的特征方程，称为系统的特征方程，D(s)=0D(s)=0的的根称为系统的特征根或

50、极点。根称为系统的特征根或极点。分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式实际的物理系统，多项式D(s)D(s)、N(s)N(s)的所有系数的所有系数为实数，且分母多项式的阶次为实数，且分母多项式的阶次 n n高于或等于分子高于或等于分子多项式的阶次多项式的阶次m m，即，即 nmnm。)()()(11101110sDsNasasasabsbsbsbsGnnnnmmmm80 (2)零极点形式零极点形式（根轨迹法使用较多）将传递函数的分子、分母多项式变为将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项首一多项式式，然后在复数范围内因式分解，得，然后