第2章关系与序关系课件.ppt
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1、1第二章第二章 关系与序关系关系与序关系2.1 2.1 关系的概念关系的概念二元关系 一对对象之间的关系称为二元关系。22.1 2.1 关系的概念关系的概念 例例 teachers=a,b,c,students=x,y,z 建立教学关系 T:aTx iff a TEACHING x 用序偶集合表示为:T=,T teachers students 图示为:32.1 2.1 关系的概念关系的概念 例例 Subroutines=a,b,c,d,e 子程序间调用关系 Calling=,Calling Subroutines Subroutines 图示为:42.1 2.1 关系的概念关系的概念二元关系
2、的集合定义二元关系的集合定义 任何一个序偶的集合 R=|xXyY 都确定了一种二元关系,称为从X到Y的二元关系。R可记为 xRy,显然 R X Y R可记为 xRy当 X=Y 即 X 与 Y 同一时,称 R 为 X 上的一个二元关系。从X到Y的任何二元关系,都可用一个序偶集合来表示:R=|xXyYxRy52.1 2.1 关系的概念关系的概念例 F=|x是y的父亲 S=|x,y为正整数且x可整除y T=|y为实数62.1 2.1 关系的概念关系的概念定义域定义域 设二元关系S。由 S的所有对象 x 组成的集合称为S的定义域,记为Dom(S)。值域值域 由S的所有对象 y 组成的集合称为S的值域,
3、记为Ran(S)(Range(S)。记 F(S)=D(S)R(S),称为 S 的域。v描述:Dom(S)=x|(y)(S)Ran(S)=y|(x)(S)72.1 2.1 关系的概念关系的概念v若干特殊关系:X 到Y 的全域关系:Ex,y=XY 特别地:Ex,x=XX 空关系:恒等关系:Ix=|xiX例 设 X=1,2,3,4,求 X 上的关系“”(大于)及其定义域、值域。82.2 2.2 关系的表示方法关系的表示方法(1)集合表示法 借用集合的各种描述方法对表示关系的序偶集合进行描述(2)关系矩阵 设 X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn,m,n+R是X到Y的二元关系。构造矩阵MR=mi
4、jmn,mij=1 R0 其它92.2 2.2 关系的表示方法关系的表示方法例非0行对应元素构成 D(S)非0列对应元素构成 R(S)101010011TeachingMaxbcyz102.2 2.2 关系的表示方法关系的表示方法(3)关系图表示法 用结点表示X、Y上的元素;若 R 则从结点x到结点y画一条弧。例 上述Teaching关系的关系图:112.2 2.2 关系的表示方法关系的表示方法例 设 X=1,2,3,4,X 上的关系“”:122.3 2.3 关系的性质关系的性质定义定义 设R是X上的二元关系,则:R 是自反的(x)(xXxRx)R 是对称的(x)(y)(x,yXxRyyRx)
5、R 是传递的(x)(y)(z)(x,y,zXxRyyRz xRz)R 是反自反的(x)(xX(xRx)R 是反对称的(x)(y)(x,yXxRyyRx x=y)132.3 2.3 关系的性质关系的性质例 整数集合上的若干关系及其性质整除=自反性对称性传递性反自反性反对称性 v判定关系“”的反对称性的前提条件总为F,理论上反对称性成立。142.3 2.3 关系的性质关系的性质存在着既非自反也非反自反的关系,如:0101存在着既对称又反对称的关系,如:100010001152.3 2.3 关系的性质关系的性质存在着既非对称又非反对称的关系,如:111100001162.3 2.3 关系的性质关系的
6、性质v从关系矩阵和关系图看关系的性质:R是自反的:MR的对角元均为1;关系图为自环图。R是对称的:MR为对称矩阵;关系图中弧成对出现。R是反自反的:MR的对角元均为0;关系图为无自环图。R是反对称的:MR为反对称矩阵;关系图中只出现单向弧。172.4 2.4 集合的划分与覆盖集合的划分与覆盖定义定义 给定集合S,A=A1,A2,An,AiS,i=1.n。1ASAS;,nii 若有则说 是 的一个覆盖 若成立且AiAj=(若ij),则说A是S的一个 划分,并称 A1,A2,An为此划分的块。182.4 2.4 集合的划分与覆盖集合的划分与覆盖例 N=0,1,2,3,4,自然数集合。取 A0=0,
7、6,12,18,A1=1,7,13,19,A2=2,8,14,20,A5=5,11,17,23,则 A=A0,A1,A2,A3,A4,A5是N的一个划分。192.4 2.4 集合的划分与覆盖集合的划分与覆盖例 S=a,b,c 取 A=a,b,c B=a,b,c C=a,b,c 均构成对S的划分。显然有|A|B|C|可以将 A 称为最大划分;将 C 称为最小划分。202.5 2.5 等价关系等价关系等价关系等价关系 集合X上的关系R若具有自反性、对称性和传递性,则称R为X上的一个等价关系。例 N上的模6同余关系 R=|x,yN (xy)=6L,L为整数 自反性:对称性:传递性:212.5 2.5
8、 等价关系等价关系定理定理 N上的模m同余关系是等价关系。证明 自反性:xx=0,故 xx=mL,这里L=0。对称性:设 xRy 即 xy=mL,L为整数 则 yx=mL,故 yRx。传递性:设 xRy 且 yRz,即 xy=mL1,yz=mL2,L1、L2 为整数 则 xz=mL1+mL2=m(L1+L2)故 xRz222.5 2.5 等价关系等价关系等价类等价类 设R为X上的一个等价关系,对任何xX,所有与x有关系R的元素的集合,称为X上由x生成的R等价类。记为 xR。xR=y|yX xRy例 X=1,2,3,4,5,6,7,R为X上的模3同余关系。则 1R=1,4,7,2R=2,5,3R
9、=3,6232.5 2.5 等价关系等价关系性质性质 设R为X上的一个等价关系,则 X中的任何一个元素,至少属于一个等价类。若x,yX,则x,y或属同一等价类,或属两个不同等价类但此两个不同等价类的交集为(不相交)。证明242.5 2.5 等价关系等价关系结论结论 对X上的等价关系R,任意xX属于且只属于一个等价类;若xRy,则xR=yR,否则 xR yR=。252.5 2.5 等价关系等价关系定理定理 集合X上的一个等价关系R产生对此集合的一个划分,该划分的块对应于R的等价类。证明 由上述结论得到。v将该划分记作:X/R=xR|xX262.5 2.5 等价关系等价关系定理定理 X上的任意划分
10、均可确定一个等价关系。证明 设X上的一个划分为 A=A1,A2,An,定义 R=|x,yX(Ai)(AiAxAiyAi)可以证明R具有 自反性:对称性:传递性:272.5 2.5 等价关系等价关系讨论X上由不同方法定义的等价关系R1、R2,若产生的等价类相同,则R1=R2。不等价关系也能产生划分。282.6 2.6 相容关系相容关系相容关系相容关系 X上的二元关系R,若R是自反的、对称的,则称R为X上的一个相容关系,记作 。例 X=2661,243,315,648,455 R=|x,yX,x与y至少含有一个相同数字 容易看出,R具有自反性、对称性。R不具有传递性:如,R 但 R 因此R不是等价
11、关系,R是一个相容关系。292.6 2.6 相容关系相容关系相容类相容类 设 Ai X,是X上的一个相容关系。称Ai是X上的一个相容类当且仅当Ai中任二元素相容。即(x)(y)(x,yAi x y)。最大相容类最大相容类 设 Ai是X上的一个相容类,若X-Ai中不存在与Ai中所有元素相容的元素,则称Ai为X的一个最大相容类。最大相容类不一定是含有最多元素个数的相容类在相容关系的关系图中,最大相容类对应于一个最大完全子图。302.7 2.7 关系的运算关系的运算(1)关系的一般运算关系的一般运算定义定义 设 R、S是X到Y的二元关系,定义运算如下:RS=|xRyxSy RS=|xRyxSy RS
12、=|xRyxSy R=XYR312.7 2.7 关系的运算关系的运算(2)关系的复合运算关系的复合运算复合关系复合关系 设二元关系R:XY,S:YZ,则称 RS=|xXzZ(y)(yYxRyySz)为R和S的(右)复合关系,或(右)复合运算结果。v注意关系的复合运算定义中的右复合和左复合给出的构造定义不同:右复合 RS 中右边的S在R之后进行第二步复合构造。在函数理论中,与右复合函数 S*R对应:S*R=RS 即 S*R(x)=S(R(x)322.7 2.7 关系的运算关系的运算例 X=x1,x2,x3,Y=y1,y2,y3,y4,Z=z1,z2,z3 R=,S=,v 显然有:Dom(RS)D
13、om(R)Ran(RS)Ran(S)RS=,332.7 2.7 关系的运算关系的运算v关系的复合运算没有交换律。定理定理 关系复合运算的结合律:设二元关系 R:XY,S:YZ,P:ZW,则有 (RS)P=R(SP)证明342.7 2.7 关系的运算关系的运算定理定理 关系复合运算与一般运算的结合律:设二元关系R1:XY,R2,R3:YZ,R4:ZW,则有R1(R2R3)=(R1R2)(R1R3)R1(R2R3)(R1R2)(R1R3)(R2R3)R4=(R2R4)(R3R4)(R2R3)R4(R2R4)(R3R4)证明按照定义转换为逻辑运算,证明逻辑等值式。352.7 2.7 关系的运算关系的
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