离散傅里叶变换DFT课件.ppt

1、第3章 离散傅里叶变换(DFT)l3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质l3.3 频率域采样频率域采样l3.4 DFT的应用举例的应用举例第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)第3章 离散傅里叶变换(DFT)一.引言3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换(DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得以实现

2、。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理中也起着核心作用。第3章 离散傅里叶变换(DFT)二.四种信号傅里叶表示(1)周期为周期为T的连续时间周期信号的连续时间周期信号00()()jktkx tX ke001()()t TjkttX kx t edtTFS时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱(2)连续时间非周期信号连续时间非周期信号()()1()()2j tj tX jx t edtx tX jed FT)()(nTtxtxT/20时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱第3章 离散傅里叶变换(DFT)1()()2jj nx nX eednnjjenxeX)()(DTFT时域离散频

3、域周期。频谱特点：周期为2的连续谱时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱210210()()1()()NjnkNnNjnkNkX kx n ekx nX k enN DFS第3章 离散傅里叶变换(DFT)四种傅立叶变换四种傅立叶变换:时域时域频域频域1.1.连续非周期连续非周期 连续非周期连续非周期()FT)FT2.2.连续周期连续周期 离散非周期离散非周期 ()FS FS3.3.离散非周期离散非周期 连续周期（连续周期（）DTFTDTFT4.4.离散周期离散周期 离散周期离散周期 DFSDFS 切实理解四种FT之间的对应关系第3章 离散傅里叶变换(DFT)三.离散付里叶级数(D

4、FS)为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。()(),x nx nkNk周期序列 因为周期序列不满足条件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。()nx n(1)DFS定义定义210()()()NjnkNnX kDFS x nx n e正变换：2101()()()NjnkNkx nIDFS X kX k eN反变换：2jNNWe一般记：一般记：第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2)周期序列的离散傅里叶级数推导周期序列

5、的离散傅里叶级数推导()(),x nx nkNk由可以展成傅里叶级数：()x n2()jknNkkx na eka？将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N上求和得 2jmnNe2221100()NNjmnjknjmnNNNknnkx n ea ee 2210NjknjmnNNkknaee 21()0Njk m nNne根据正交定理,0,N kmkm210()NjmnNmnx n eNa令k=m2101()NjknNknax n eN第3章 离散傅里叶变换(DFT)2101()NjknNknax n eN令()kX kNa210()()NjnkNnX kx n e()X kN21()0()Njn

6、k NNnx n e210()()NjnkNnx n eX k依同样方法可推出：2101()()NjknNkx nX k eN 所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列)(nx分解成分解成N N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 ，Nk2幅度为幅度为 ，其中，其中)(1kXN1,1,0Nk表示其频谱分布规律第3章 离散傅里叶变换(DFT)(3)周期序列的傅里叶变换表示周期序列的傅里叶变换表示 因为周期序列不满足条件：。因此它的DTFT不存在。但是，通过引入奇异函数其DTFT可以用公式表示。()nx n2101()()NjknNk

7、x nX k eN()(),x nx nkNk210:()()NjknNnX kx n e其中22()()()jkX eX kkNN 第3章 离散傅里叶变换(DFT)四.离散付里叶变换 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列,这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列）具体而言，即：第

8、3章 离散傅里叶变换(DFT)(1)周期序列的主值区间与主值序列周期序列的主值区间与主值序列)()()()(主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx()()()()()()()()NmNNNx nx nmNx nx nx n Rnx nRn 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。)(nx)(nxx(n)与 的关系可描述为：)(nx数学表示：表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算()Nx n925,9,25nN7第3章 离散傅里叶变换(DFT).n)(nx0N-1定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间

9、。N-1nx(n)0第3章 离散傅里叶变换(DFT)11001100()()()11()()()NNknknNNNnnNNknknNNNkkX kx n Wx nWx nX k WXkWNN(2)从从DFS到离散傅里叶变换到离散傅里叶变换 如果x(n)的长度为N，且 ，则可写出 的离散傅里叶级数表示为：()()Nx nx n()x n 从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变离散傅氏变换换(DFT)的定义的定义。1010()()()011()()(),01NnkNnNnkNkX kDFT x nx

10、n WkNx nIDFT X kX k WnNN，有限长序列隐含着周期性。DFT第3章 离散傅里叶变换(DFT)121242(1)(1)2(1)(1)(1)(0)1111(0)(1)1(1)(2)1(2)(1)1(1)NNNNNNNNNNNNNNNNDFTXW xXxXWWWxXWWWxX NWWWx N 矩阵方程为:即:(3)离散傅里叶变换的矩阵方程离散傅里叶变换的矩阵方程10()()NnkNnX kx n W第3章 离散傅里叶变换(DFT)273880038()()sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk例 3.1.1 x(n)=R4(n)，求x(

11、n)的8点和16点DFT。设变换区间N=8，则10()()NknNnX kx n W解：解：DFT定义式为：定义式为：设变换区间N=16，则2153161600316()()sin()4,0,1,15sin()16jknknnNjkX kx n Wekekk第3章 离散傅里叶变换(DFT)10()()()NnnX zZT x nx n z比较上面二式可得关系式:2()(),0kN-1(3.1.4)jkNX kX e(4)DFT和和Z变换的关系变换的关系10()()()0kN-1,NknNnX kDFT x nx n W(),0,1,1x nnN2()(),0kN-1(3.1.3)jkNz eX

12、 kX z序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔采样点等间隔采样序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的DTFT在在0，2上的上的N点等间隔采样点等间隔采样第3章 离散傅里叶变换(DFT)图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e j)的关系 第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质一.基本概念1.序列的圆周移位序列的圆周移位()()()NNx nmRny n序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：()()()NNy nx nmRn周期延拓周期延拓取主值序列取主值序列左

13、移左移m位位()x n()()Nx nx n()()Nx nmx nm 圆周移位的实质是将序列圆周移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区移位，移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区。间的序列值又依次由另一侧进入主值区。循环移位过程：circshift(a,0,-1)第3章 离散傅里叶变换(DFT)图 3.2.1 循环移位过程示意图 第3章 离散傅里叶变换(DFT)2.序列的圆周卷积序列的圆周卷积)(1nx)(2nx1120()()()()NNNmy nx m xnmRn)()()()(1221nxnxnxnx12max(,)NN N圆周卷积过程：周期延拓周期延拓 移位移位反转反转2(

14、)x m22()()Nx mxm1120()()NNmx m xnm22()()Nxmxm2(n)Nxm相乘相加相乘相加取主值序列取主值序列1120()()()()NNNmx m xnmRny n第3章 离散傅里叶变换(DFT)222222222111(0)(1)(1)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)(1)(0)(1)(1)xxNxyxxxyxNxNxy Nxxx NyHx循环矩阵圆周卷积的矩阵表示：圆周卷积的矩阵表示：循环右移循环右移第3章 离散傅里叶变换(DFT)圆周卷积与线性卷积比较：圆周卷积与线性卷积比较：有限长序列x1(n),0nN1-1;x2(n),0nN2-1则线

15、性卷积为：12()()*()y nx nx n12()()mx m x nm11120()()Nmx m x nmN(Nmax(N1,N2)点圆周卷积为：1120()()()NNNmx m xnmRn12()()()cy nx nx n22()()Nqxnx nqN22()()Nqxnmx nmqN11120()()()()NcNmqy nx mx nmqN Rn交换求和次序交换求和次序第3章 离散傅里叶变换(DFT)11120()()()()NcNqmy nx m x nmqN Rn 11120()()()Nmx m x nmqNy nqN()()()cNqy ny nqN Rn 序列的序列

16、的N点圆周卷积是序列线性卷积点圆周卷积是序列线性卷积(以以N为周期为周期)周周期延拓序列的主值序列。期延拓序列的主值序列。故，当故，当NN1+N2-1时，时，线性线性卷积与圆周卷积相同。卷积与圆周卷积相同。圆周卷积线性卷积是针对DFT引出的一种表示方法信号通过LTI系统时，输出等于输入与系统单位脉冲响应的卷积两序列长度必须等，不等时按要求补零两序列长度可相等，也可不等卷积结果长度与两信号长度相等，皆为N卷积结果长度N=N1+N2-1第3章 离散傅里叶变换(DFT)图 3.4.2 线性卷积与圆周卷积 0123451234h(n)x(n)nL 60123451234nL 867h(n)x(n)01

17、23451234nL 1067h(n)x(n)（d）（e）(f)0123451234nN M1 867h(n)x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（a）（b）（c）89*189 10第3章 离散傅里叶变换(DFT)121,041,04(),()0,591,59(10)例:两个有限长序列（1）求它们的圆周卷积（2）它们的线性卷积nnx nx nnnN412120()()*()()()my nx nx nx m x nm412120()()()()()()cNNmy nx nx nx m xnmRn第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有

18、限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列分别定义为：()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn()(),01()(),01epepopopxnxNnnNxnxNnnN当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到：图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图 第3章 离散傅里叶变换(DFT)任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：()()(),01(1)epopx nxnxnnN将上式中的n换成N-n，并取复共轭得：*()()()epopx NnxNnxNn()()epopxnxn*()

19、()()(2)epopx Nnxnxn(1)式减(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：*1()()()21()()()2epopxnx nx Nnxnx nx Nn第3章 离散傅里叶变换(DFT)二.线性性质 设x1(n)，x2(n)是长度为N的有限长序列。它们的N点DFT分别为：)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX12()()()(),01Y kDFT y naX kbXkkN12()()()y nax nbx n若若，则y(n)的N点DFT为：()(),()()()NNX kDFT x ny nx nmRn若()()()mkNY kDFT y nWX k,则三.时域圆周移

20、位定理10()()NknNNNnx nmRn W()()Y kDFT y n证明：证明：第3章 离散傅里叶变换(DFT)10()NknNNnx nmW1()NmkmknNNNnmWx nW 令n+m=n1()()Nmk nmNNnmx nW()kmNWX k10()NkmknNNNnWx nW()knNNx nW周期为周期为N10()NkmknNNnWx n W()()()mkNY kDFT y nWX k()(),()()()NNX kDFT x nY kXklRk若()()()nlNy nIDFT Y kW x n,则四.频域圆周移位定理第3章 离散傅里叶变换(DFT)(1nx)(2nx1

21、12120()()()()()()NNNmy nx nx nx m xnmRn)()(11nxDFTkX若22,()(),XkDFT x n12()()()()Y kDFT y nXk Xk则五.时域圆周卷积定理()()Y kDFT y n证明：证明：111200()()NNknNNmnx mxnmW10()NknNny n W111200()()()NNknNNNnmx m xnmRn W 交换交换求和次序求和次序令n-m=n11()120()()()NNmk nmNNmnmY kx mxnW 第3章 离散傅里叶变换(DFT)11120()()()NNmkmknNNNmnmy kx m Wx

22、nW()knNNx nW周期为周期为N111200()()()NNkmknNNmny kx m Wx n W12()(),01X k XkkN六.频域循环卷积定理)()()(21nxnxny若)()(1)()(21kXkXNnyDFTkY则11201()()()NNNlX l XklRkN211()()()Y kXkX kN或12101()()()NNNlXl XklRkN第3章 离散傅里叶变换(DFT)()(),()()x nx nX kDFT x n设为的复共轭序列()()DFT xnXNk,则七.复共轭序列的DFT()()DFT xNnXk,则若x(n)是实序列,则X(k)是有限长共轭对

23、称序列;反之亦然时域x(n)取共轭,对应于频域X(k)取有限长共轭对称频域X(k)取共轭,对应于时域x(n)取有限长共轭对称若X(k)是实序列,则x(n)是有限长共轭对称序列;反之亦然两种情况为对偶关系两种情况为对偶关系第3章 离散傅里叶变换(DFT)()()(),rix nx njx n设)()(21)(*nxnxnxr)()(21)(*nxnxnjxi八.DFT的共轭对称性*1()()()2rDFT x nDFTx nx n*1()()()2epX kXNkXk*1()()()2iDFT jx nDFTx nx n*1()()()2opX kXNkXk则：则：如果如果x(n)的的DFT为为

24、X(k),则则x(n)的实部和虚部的实部和虚部(包括包括j)的的DFT分别为分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为分别为X(k)的实部和虚部乘以的实部和虚部乘以j第3章 离散傅里叶变换(DFT)x(n)X(k)=x(n)x(n)=x(N-n)，则 X(k)=X(N-k)x(n)=-x(N-n)，则 X(k)=-X(N-k)对实序列进行对实序列进行DFT时，利用以上性质可减少运算量，时，利用以上性质可减少运算量，提高运算效率。提高运算效率。11*001()(),()()

25、()()NNnkDFT y nY kx n ynX k YkN则()()()(),x ny nNDFT x nX k设、为 点有限长序列.九、Parseval定理1*01()()NkX k YkN11*001()()NNknNnkx nY k WN（11*001()()NNknNknYkx n WN1*0()()Nnx n y n证明：证明：交换交换求和次序求和次序 X(k)=X*(N-k)第3章 离散傅里叶变换(DFT)11*001()()()()()()NNnkx n ynX k Yky nx nN上式中令11*001()()()()NNnkx n x nX k XkN则：1122001|

26、()|()|NNnkx nX kN 表明：一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的第3章 离散傅里叶变换(DFT)l3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质l3.3 频率域采样频率域采样l3.4 DFT的应用举例的应用举例第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.3 频率域采样频率域采样一.引言时域：时域：)(tx)(nx满足满足“时域采样定理时域采样定理”的采样的采样频域：频域：)(jeX)(kX？(1)能否由频域离散采样X(k)恢复序列x(n)？(2)能否由频域抽样X(

27、k)恢复原频率函数或X(z)？(3)若能恢复其条件是什么？与时域采样相类比，我们提出以下几个问题？(4)如何推导内插恢复公式?若要回答这些问题，首先让我们回想下时域样定理确定采样频率的方法？第3章 离散傅里叶变换(DFT)(1)计算时域采样信号的频谱 (2)分析时域采样信号频谱与原信号频谱关系（以采样频率周期延拓）(3)从而确定采样频率与被采样信号频谱这间关系，得到时域采样定理 时域采样从频域分析，频域采样是不是可以从时域分析呢 时域采样对应频域周期延拓，频域采样是不是对应时域周期延拓呢？二.频域采样后能不失真恢复原序列的条件？)(nxMnnjjenxeX)()()()()nkNNnX kx

28、n WRk频域采样频域采样()()(01)NIDFT X kxnnN欲恢复原信号，即)()(nxnxN频域采样序列的离散付立叶逆变换:第3章 离散傅里叶变换(DFT)()()()NX kXkDFS x n)()()(kRkXkXN()()()NNx nxnIDFS X k)()()(nRnxnxNN101()()NnkNkx nX k WN 10)(1NknkNmmkNWWmxN1()01()Nm n kNmkx mWN()rx nrN)(nxNrNnRrNnx)()()(nxN)(nx1()01,10Nk m nNkmnrN rWNm其他第3章 离散傅里叶变换(DFT)利用频域采样X(k)表

29、示X(z)10)()(NnnkNWnxkX10)(1)(NknkNWkXNnx10)()(NnnznxzX1010)(1NnnNknkNzWkXNnNkNnnkNzWkXN1010)(110111)(1NkkNNNkNzWzWkXN1011)(1NkkNNzWkXNz11011(),()()()1NNkkkkNzzX ZX kzNWz令则三.内插公式为X(k)表示X(z)的内插公式()kz称为内插函数第3章 离散傅里叶变换(DFT)l3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质l3.3 频率域采样频率域采样l3.4 DFT的应用举

30、例的应用举例第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.4 DFT的应用举例的应用举例一.引言 DFT的应用使数字信号处理可以在频域进行，由于DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以DFT作为连续FT的近似为基础。第3章 离散傅里叶变换(DFT)12()()()y nx nx n1122()(),()()X kDFT x nXkDFT x n二、用DFT计算线性卷积(1

31、)DFT计算循环卷积1212()()()()(),01Y kDFT x nx nX k XkkL可用上式计算循环卷积。从另一方面看：12()()()()IDFT Y ky nx nx n所以，可按下面的计算框图从频域计算循环卷积1120()()()LLLmx m xnmR n图 3.4.1 用DFT计算循环卷积 第3章 离散傅里叶变换(DFT)很多情况下 需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算。而DFT只能直接用来计算循环卷积，什么时候循环卷积与线性卷积相等呢？循环卷积与线性卷积相等条件：循环卷积与线性卷积相等条件：L M+N-1。所以，所以，如果取如果取L=

32、M+N-1，则可用DFT（FFT）计算线性卷积。计算框图如下：图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL 点IDFTy(n)h(n)x(n)(2)DFT计算线性卷积第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2)长序列的分段卷积()x n()h n()y n 没有全部进入，如何实现卷积，全部进入再卷积，又如何保证实时实现？()x n 数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：()()()()()ky nx nh nx k h nk？较短（FIR：长度在2050之间），可能很长，也不适宜直接卷积。()h n()x n另外：

33、解决方法：分段卷积第3章 离散傅里叶变换(DFT)0()(),()()()kkMkx nx nx nx nRnkM其中00()()()kkkkh nx ny n 设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长。将x(n)均匀分段，每段长度取M，则:0()()()()()kky nh nx nh nx n)()()(nhnxnykk上式中MN1(),(1)2(),(1)(2)2kky n kMnkMNynkMnkMN(),(1)10,x nkMnkM其它第3章 离散傅里叶变换(DFT)图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)

34、N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n)y0(n)y1(n)y2(n)nnnnnnh(n)第3章 离散傅里叶变换(DFT)三、用DFT对信号进行谱分析1.用DFT对连续信号进行谱分析()()FTx tX j1()()FTx atX jaa若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽。若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。按采样定理采样时，以上两种情况的采样序列均应无限长，不满足DFT条件。所以，对频谱很宽的信号一般用预滤波法滤除幅度较小的高频成分。对持续时间很长的信号只好截取有限点进行DFT。所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，近似程序与信号带宽、采样频率和截取长度有关。实

35、际上从工程角度，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。第3章 离散傅里叶变换(DFT)2()()()jftaaaXjfFT x tx t edt120()()NjfnTanX jfTx nT e 假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。以下分析连续信号频谱特性的DFT近似。设xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc。其傅立叶变换为：()()()aat nTx nx nTx nT采样:(1/,2)sscTfff共采样N点，则Tp=NT。并对表示Xa(jf)的积分作零阶近似(t=nT,dt=T)得：()()sX j frfX jf对X(jf)在区间0,fs上等间

36、隔采样N点,采样间隔为F。()sX jff周期为11spfFNNTT,spf TN F关系第3章 离散傅里叶变换(DFT)120()()NjkFnTanX jkFTx nT e120()sfNjknTNanTx nT e210()(),01NjknNanX jkFTx nT ekN()(),()()aaXkX jkfx nx nT令 则 210()()()NjknNanXkTx n eT DFT x n120()()NjfnTanX jfTx nT ef=kF带入式：得：同理，由2()()()jftaaax tIFT XjfXjf edf1()()ax nIDFT XkT可推出连续信号的频谱特

37、性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T来近似。栅栏效应：DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换,其频谱将不再是连续函数。只能看到N个离散采样点的谱特性。第3章 离散傅里叶变换(DFT)第3章 离散傅里叶变换(DFT)由以上分析可以看出利用DFT对连续信号进行谱分析，最主要的两个问题就是：1、谱分析范围；2、频率分辨率。(1)谱分析范围谱分析范围指信号的最高频率fc，受采样定理限制。fc fs/2(2)频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率）频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率）指将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力，用频率采样间隔F描述。F=fs/N（矩形窗情况）1/pTF(3)谱分析参数确定谱

38、分析参数确定N不变，要提高频率分辨率，必须降低fs，会导致谱分析范围减小。同时T增大，因NT=Tp，故Tp增大。fs不变，要提高频率分辨率，必须增加N。因NT=Tp，T=1/fs，故Tp必须增加。因此，若要增加频率分辨率必须增加信号记录时间Tp更深入的理解可参阅胡广书编著教材数字信号处理理论、算法和实践第二版相应章节。c2/NfF第3章 离散傅里叶变换(DFT)频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；也可定义为将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；希望：窗函数的“宽度”越小越好NoImage()()(),j tj tXx t edtx t e 1(),(

39、),2()2Parsevalj tx t eX()()()(),()j tj twXx t w t edtx t w t e 1(),()(),2()2Parsevalj tx t w t eXW窗口在时域无穷大，在频域无穷小窗口在时域无穷大，在频域无穷小时域加窗后，窗口由时域窗长决定。在频域，窗口由主瓣时域加窗后，窗口由时域窗长决定。在频域，窗口由主瓣宽度决定，主瓣宽度决定频率分辨率（物理分辨率）。距宽度决定，主瓣宽度决定频率分辨率（物理分辨率）。距离小于主瓣宽度的两个频率无法区分开。离小于主瓣宽度的两个频率无法区分开。第3章 离散傅里叶变换(DFT)例：123123()sin(2)sin(

40、2)sin(2)2Hz,2.02Hz,2.07Hz,10Hz,ssssx nf n ff n ff n fffff试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。210.02HzFff在本例中，最小的/10/0.02500sNfF即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于500，从DFT的角度看，若令N=512，则：10 5120.0195HzsFfN第3章 离散傅里叶变换(DFT)下图，N分别等于256和512，可见，N=256 时无法分辨三个谱峰。第3章 离散傅里叶变换(DFT)110.110PTsF3minmaxmin0.10.2 10500PTTsN例 3.4.1 对实信号进行谱分析，要求谱

41、分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点N和最小的记录时间是多少?解：1/pTF2/cNfFmin0.1PTs2/2 2500/10500cNfF min500N谱分辨率增加一倍，F=5Hzmin1/1/50.2PTFsmin2/2 2500/5 1000cNfF 第3章 离散傅里叶变换(DFT)2.用DFT对序列进行谱分析 序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的DTFT在在0,2上的上的N点等间隔采样。因此序列的傅立叶变换可利用点等间隔采样。

42、因此序列的傅立叶变换可利用DFT来计来计算。算。DFT是由周期序列DFS取主值区间得到的一种变换。因此，DFT可用于周期序列的谱结构分析。DFT进行谱分析的步骤：第3章 离散傅里叶变换(DFT)()axj()ax t()ax n()jax e()()ax n w n()*()jjax ew e()Nx n()NXk()x n()X k周期延拓周期延拓周期延拓周期延拓采样采样t=nT卷积卷积截短截短采样采样02NT 取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期FTDTFTDFTDFSDTFTDFT实现连续信号谱分析的过程实现连续信号谱分析的过程3.用DFT进行谱分析的误差问题(1)混

43、叠现象(2)栅栏效应(3)截断效应周期延拓周期延拓第3章 离散傅里叶变换(DFT)(1)混叠现象混叠现象实际应用中，通常取fs=(35)fh种。对fs确定情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率fs/2的频率成分，以免发生频谱混叠现象。如果采样频率fs小于连续信号最高频率fh，会在=处发生频谱混叠现象，对于模拟频率，即在fs/2附近发生频谱混叠现象。用DFT对连续信号进行谱分析，首先要按采样定理对其采样。第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2)栅栏效应lN点 DFT是在频率区间0，2上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间频谱函数值是不知道的。l用DFT计算频谱,就如通过一个栅栏观看

44、信号的频谱情况，仅得到栅栏缝隙中看到的频谱函数值。l由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。l可以采用在原序列尾部补零的方法改变DFT变换区间长度，使原来漏掉的频谱分量被检测出来。l补零的方法能使栅栏效应得到改善（计算分辨率提高），但不能改变频率分辨率（物理分辨率），即原来无法分开的两个频率，并不能通过补零而分开。第3章 离散傅里叶变换(DFT)(3)截断效应序列可能是无限长的，用序列可能是无限长的，用DFTDFT对其进行谱分析时必须对其进行谱分析时必须截短成有限长序列。截短成有限长序列。截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差别对谱分

45、析的影响主要有：别对谱分析的影响主要有：泄漏，原来谱分量为零的地方出现了谱分量泄漏，原来谱分量为零的地方出现了谱分量谱间干扰，由于窗旁瓣的存在，引起不同频谱间干扰，由于窗旁瓣的存在，引起不同频率分量间的干扰。率分量间的干扰。增加矩形窗的窗长增加矩形窗的窗长N N，可使其主瓣变窄，提高频率，可使其主瓣变窄，提高频率分辨率，但旁瓣个数和相对幅度并不减小。所以，为了分辨率，但旁瓣个数和相对幅度并不减小。所以，为了减小谱间干扰，应用其它形状的窗函数代替矩形窗。在减小谱间干扰，应用其它形状的窗函数代替矩形窗。在FIRFIR滤波器设计中对窗函数进行研究。滤波器设计中对窗函数进行研究。第3章 离散傅里叶变换

46、(DFT)()()()Ny nx n Rn()11()()()()()22jjjjjNNY eX eReX eRed 截短影响分析：截短影响分析：由上式可知，截断效应是由于窗谱与信号谱卷积造成的。由上式可知，截断效应是由于窗谱与信号谱卷积造成的。第3章 离散傅里叶变换(DFT)四、线性调频Z变换1、引言、引言ZT与与DFT关系关系 若分析窄带信号，我们当然希望在信号频带内进行密若分析窄带信号，我们当然希望在信号频带内进行密集采样。以很好的反映信号的频域性质。集采样。以很好的反映信号的频域性质。系统零极点分析时，希望清楚的识别出极点对应的频系统零极点分析时，希望清楚的识别出极点对应的频率。但当极

47、点位置离单位圆较远时，就需要抽样点在接近率。但当极点位置离单位圆较远时，就需要抽样点在接近这些极点的曲线上。这些极点的曲线上。如何解决如何解决DFT信号分析存在的以上问题呢？信号分析存在的以上问题呢？2、Chirp-Z变换（变换（CZT）h(n)x(n)y(n)X(zk)v(n)V(k)22kW22nnWA2/2()nh nW图 3.4.9 Chirp z变换计算框图 第3章 离散傅里叶变换(DFT)Chirp z变换计算框图中的：00000000jjjjkkkkAA eWW ezAWA e We 式中A0和W0为实数。zk为分析点,k=0,1,M-1。当k=0时有：000jzA e所以，所以

48、，A决定谱分析的起始点位置，决定谱分析的起始点位置，W0决定分析路径的决定分析路径的盘旋趋势，盘旋趋势，表示两相邻分析点之间的夹角。表示两相邻分析点之间的夹角。0第3章 离散傅里叶变换(DFT)3、如何得到、如何得到Chirp-Z变换变换1010()()()(),01kNknkz znNnknnX zX zx nAWx n A WkM10()()NnnkkX zx n zzAW2221()2nknkkn22/2/2()()()nnny nx n A Wh nW令2221()/20()()Nnnkk nknX zx n A W2221/2/2()/20()Nknnk nnWx n A WW21/

49、20:()()(),01NkknX zWy n h knkM则第3章 离散傅里叶变换(DFT)h(n)x(n)y(n)X(zk)v(n)V(k)22kW22nnWA2/2()nh nW10()()(),01Nnv ky n h knkM0101nNkM(1)1NknM2/2(),1)1)nh nWNM对于无限长的只需截取区间(-(上的值即可第3章 离散傅里叶变换(DFT)4、Chirp-Z变换步骤变换步骤()()01LH kDFT h nkL(2)2/2(),01()0,1nnx n A WnNy nNnL(3)(5)计算()()Y kH k(6)2/2()(),01kkX zWV kkM(7

50、)(4)()()01Y kDFT y nnL()()(),01V nIDFT Y kH knL(1)22/2(L)/2,01()0()n,11nLnWnMh nMLNWLNnL 或者任意值，第3章 离散傅里叶变换(DFT)与标准DFT(FFT)算法相比较，Chirp-Z变换有以下特点：(1)输入序列长度N和输出序列长度不需要相等，且二者均可以素数。(2)分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角0是任意的(即频率分辨率是任意的)，因此可从任意频率上开始，对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析。(3)谱分析路径可以是螺旋形的。(4)当A=1，M=N，时，zk均匀分布在单位圆上，此时Chirp-Z变换