大象联考2020年河南省普通高中高考质量测评一数学（文科）附答案+全解全析.pdf

1、 大大象象联联考考河河南南省省 2020 年年普普通通高高中中高高考考质质量量测测评评（一一） 数数学学（文文科科） （本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分） 祝考试顺利 注意事项 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式： 1

2、= 3 VSh（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）. 一一、选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项 是是符符合合题题目目要要求求的的. 1.若复数z满足()1 23zii+=+（i为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合2,3,5,7,8,9U =，2,3,5,8A=，2,5,7B =，则下列结论正确的是（ ） A.AB B.BA C.2,5AB = D.()7,9 UA B = 3.已知单位向量a

3、，b满足, 3 a b =，若()aatb，则实数t的值为（ ） A. 1 2 B.1 C.2 D. 2 3 3 4.成语“运筹帷幄”的典故出自史记高祖本纪 ，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹， 引申为策划.古代用算筹来进行计数和计算， 据 孙子算经 记载， 算筹计数法则是： “凡算之法， 先识其位， 一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单 位数目的算筹，其中 15 分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9 则以上面的算筹再加下面相应的 算筹来表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用

4、横式，以此类 推，遇零则置空.那么 2536 用算筹可表示为（ ） A. B. C. D. 5.函数( ) 2 1 xx ee f x x = 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.已知 2 log 3a=， 0.2 1 3 b = ， 4 log 7c =，则（ ） A.bca，0b）的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为过 1 F且斜率为 3 3 的直线与双曲线的一个交点，且 2112 2PF FPFF= ，则C的离心率为（ ） A.2 B.31+ C.3 D.2 11.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平 面图形，若这

5、个平面图形外接圆的半径为2 6，则三棱锥PABC的内切球的体积为（ ） A. 3 2 B. 6 3 C. 6 2 D. 3 3 12.比利时数学家 Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的 侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用， 如图所示，在一个高为 10，底面半径为 2 的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个 球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ） A. 3 3 B. 2 3 C. 65 13 D. 5 3 二二、填填空空题题

6、：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分. 13.曲线 2 lnyaxx=在点()1, 1处的切线方程为20xy=，则a =_. 14.记 n S为数列 n a的前n项和，若32 nn Sa=，则 n a =_. 15.已知为第四象限的角， 3 sincos 3 +=，则cos2=_. 16.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好 经过正四棱锥的顶点P，如果将容器倒置，水面也恰好经过点P，则下列四个命题： 正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半； 若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满； 将容器侧面水平放置时，水面恰

7、好经过点P； 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P. 其中正确命题的序号为_（写出所有正确命题的序号）. 三三、解解答答题题：共共 70 分分.解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. 17.记等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 5a=， 7 63S=. （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 n nn b aa + = ，求数列 n b的前n项和. 18.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sincos 6 bAaB = . （1）求角B的大小； （2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求ABC面积的取值范

8、围. 19.已知多面体 1111 ABCDABC D， 1 AA， 1 BB， 1 CC， 1 DD均垂直于平面ABCD，/AD BC， 11 1ABBCCDAACC=， 1 1 2 BB =， 1 2ADDD=. （1）证明： 1111 ACCDDC平面 （2）连接 1 AB，求三棱锥 111 AB BC的体积. 20.某中学课外兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄 录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料（表） 日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10

9、 日 6 月 10 日 昼夜温差x（C） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被 选取的 2 组数据进行检验. （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率； （2）若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据， 求出y关于x的线性回归方程： ybxa=+； 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方 程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想. 其中回归系数公式

10、： ( ) ()() () 11 22 2 11 nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy b xn xxx = = = ， a ybx=. 21.已知( )() 2 2lnf xxaxax=+. （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )1f xax 对1x 恒成立，求a的取值范围. 22.已知点A在圆 22 4xy+=上运动，动点M满足以下条件：以MA为直径的圆过原点；M过点A 且与直线20y +=相切. （1）求点M的轨迹E的方程； （2）已知点()0,1P，()0, 1Q，过点P的直线l交E于M，N两点，求证：PM QNQM PN=. 大大象象联联考考 202

11、0 年年河河南南省省普普通通高高中中高高考考质质量量测测评评（一一） 数数学学（文文科科）答答案案 一一、选选择择题题 1.解析：复数 ()() ()() 312355 1 1212125 iiii zi iii + = + ，复数1zi= 对应点()1, 1，是第四象限的点， 故答案选 D. 答案：D 2.解析：因为集合A中含有元素 3，集合B中含有元素 7，所以A不是B的子集，B也不是A的子集，故 选项 A，B 错误；2,5AB=，选项 C 正确；7,9 UA= ，所以()2,5,7,9 UA B=，选项 D 错误. 故答案选 C. 答案：C 3.解析：因为()aatb，所以()0aatb

12、=，即() 2 2 cos,aatbata bat a ba b= 1 10 2 t=，解得2t=，故答案选 C. 答案：C 4.解析：由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式2536 的个位是 6， 用纵式；十位是 3，用横式；百位是 5，用纵式；千位是 2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答 案为，故答案选 B. 答案：B 5.解析：由题知，函数的定义域为|1x x ，因为() () ( ) 22 1 1 xxxx eeee fxfx x x = = ，所以函数 ( )f x为奇函数，排除选项 A，B，又因为( ) 2222 2 20 123 eeee

13、f = ， 0.2 1 1 3 b =，因为37，所以 22 log 3log7ac=，故1acb ，故答案选 A. 答案：A 7.解析：根据随机数表的读法可知，一个数是一列，重复不计，依据题目规则，从 76 起，选取的数依次为： 17，05，02，07，可得答案为 07. 答案：C 8.解析：( )sin3cos2sin 3 fxxxx =+=+ ，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 3 （纵坐标不 变） ，得到2sin 3 3 yx =+ ，再将得到的图象上所有点向右平移（0）个单位长度，得到 ()2sin 32sin 33 33 yxx =+=+ 的图象，由2sin 33 3 yx

14、 =+ 的图象关于y轴对称得： 3 32 k =+（kZ） ， 即 61 18 k + = （kZ） ， 又0， 故当1k= 时，取得最小值为 5 18 ， 故答案选 B. 答案：B 9.解析：由框图可得：3n时，输出87xx=+.由8763x+，可得7x，则1,10x时，所求概率 31 93 P =，故答案选 A. 答案：A 10.解析： 由题意， 直线() 3 3 yxc=+过左焦点 1 F且倾斜角为30， 2112 2PF FPFF= ， 12 30PFF=， 21 60PF F=， 12 90FPF=， 即 12 FPF P. 212 1 2 PFFFc=， 112 sin603PFF

15、Fc= =， 根据双曲线定义有 12 32PFPFcca=，离心率31 c e a =+. 答案：B 11.解析：三棱锥PABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4 6 sin a A =，所以6 2a =， 三棱锥PABC棱长为3 2，三棱锥PABC的高为2 3， 设内切球的半径为r，则 11 42 3 33 ABCABC rSS =，所以 3 2 r =， 三棱锥PABC的内切球的体积为 3 43 32 r=，故答案选 A. 答案：A 12.解析：对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A， 1 A，延长 1 AA与圆柱面相交于C， 1 C，过点O 作ODDC，垂足为D. 在直角三角形A

16、BO中，2AB =， 102 2 3 2 BO =， 所以 2 sin 3 AB AOB BO =，又因为 22 sinsin 3 r AOBOCD OCOC =， 所以3aOC=. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长， 即24b =， 则可求得 22 945cab=， 所以 5 3 c e a =，故答案选 D. 答案：D 二二、填填空空题题 13.解析：因为2 a yx x = ，所以曲线在点()1, 1处的切线斜率221 1 a ka=，所以3a =. 答案：3 14.解析：当1n =时， 11 32Sa=，即 1 1a =； 当2n时，32 nn Sa=， 11 32 n

17、n Sa =， -得 1 33 nnn aaa =，即 1 3 2 nn aa =， 所以 n a是公比为 3 2 ，首项为 1 的等比数列，故 1 3 2 n n a = . 答案： 1 3 2 n 15.解析： 3 sincos 3 +=，两边平方得： 1 1 sin2 3 +=， 2 sin2 3 = ， () 25 sincos1 sin2 3 = =， 为第四象限角，sin0， 15 cossin 3 =， ()() 5 cos2cossincossin 3 =+=. 答案： 5 3 16.解析：设图（1）水的高度 2 h，几何体的高为 1 h，底面边长为b， 图（1）中水的体积为

18、2 2 2 3 b h，图（2）中水的体积为() 222 1212 b hb hbhh=， 所以() 22 212 2 3 b hbhh=， 所以 12 5 3 hh=， 故错误； 由题意知a升水占容器内空间的一半， 所以正确； 当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可 知正确； 假设正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为 22 22 252 363 b hb h矛盾，故不正 确.故答案为. 答案： 三三、解解答答题题 17.解： （1）设数列 n a的公差为d，因为 n a是等差数列，由 2 7 5, 63 a S =

19、= 得 1 1 5, 72163. ad ad += += 解得 1 3, 2, a d = = 所以21 n an=+. （2）由（1）知 ()() 1 11111 21232 2123 n nn b aannnn + = + ， 所 以 数 列 n b的 前n项 和 12 1 111 111 11 2 352 572 79 nn Tbbb =+=+ 1111 11111111 2 21232 3557792123nnnn =+ + 1 1111 2 323646nn = + . 18.解： （1）在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB =，可得sinsinbAaB=， 又由sin

20、cos 6 bAaB = ，得sincos 6 aBaB = ， 即sincos 6 BB = ，可得tan3B =. 又因为()0,B，可得 3 B =. （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa =. 由正弦定理得 2 sin sin313 sinsin2tan2 C cA a CCC =+. 由于ABC为锐角三角形，故0 2 A 时，()0,1x时，( )0fx，( )f x单调递增， 1, 2 a x 时，( )0fx，( )f x单调递增. 综上：当0a 时，( )f x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增； 当02a 对1x 恒成立，即 2 2ln10xx

21、ax+ 对1x 恒成立. 令( ) 2 2ln1h xxxax=+，则( )min0h x， 又( )11 2ln1 10ha= + =. ( ) 2 22 22 axxa hxx xx + =+=，令( ) 2 2 11 222 22 t xxxaxa =+=+ . 当 1 2 a 时，( ) 2 220t xxxa=+，( )h x单调递增， 所以当1x 时，( )( )10h xh=，符合题意； 当 1 2 a =，符合题意， 由( )t x的图象可知，若满足 2 1x ，则( )1220ta= +，又 1 2 a ，即 1 0 2 a. 综上，a的取值范围为)0,+. 22.解： （1

22、）设(),M x y，() 00 ,A xy，根据已知可得： ()()() 00 22 00 222 00 0, 4, 2, x xy y xy xxyyy += += +=+ 整理得： 2 4xy=，即E的方程为 2 4xy=. （2）证明：易知直线l的斜率一定存在. 法一：设直线l的方程为：1ykx=+，代入拋物线方程得： 2 440xkx=. 设点() 11 ,M x y，() 22 ,N xy， 则 12 4xxk+=， 12 4x x = ， 22 12 12 1 44 xx y y =. 要证：PM QNQM PN=，即证 PMQM PNQN =， 即证PQ为MQN的角平分线， 因

23、为PQ在y轴上，即证0 QMQN kk+=， 12212121 1212 11 QMQN yyx yxx yx kk xxx x + +=+= () 1212 12 2kx288 =0 4 xxxkk x x + = ， 所以PM QNQM PN= 法二：设直线l的方程为：1ykx=+，代入抛物线方程得 2 440xkx= 设点() 11 ,M x y，() 22 ,N xy， 则 12 4xxk+=， 22 12 12 1 44 xx y y =，所以 22 12 12 1 44 xx y y =，所以 2 1 1 y y =. 因为()0,1P是拋物线的焦点， 1 1PMy=+， 2 1PNy=+，() 2 2 11 1QMxy=+，() 2 2 22 1QNxy=+， 11 1 1 2 1 11 1 1 PMyy y y PNy y + = + + ， () () 2 2 2222 11 111111111 2222 2 2222211 22 2 2 11 1 1421616161 16 4216161 1 1 xyQMyyyyyyyyy QN yyyyyyy xy yy y + = + + + 1 y= 所以 1 PMQM y PNQN = 即PM QNQM PN=.