流变学第二章3课件.ppt
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- 流变学 第二 课件
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1、第二章 基本物理量和高分子液体的基本流变性质 第一节张量初步知识第一节张量初步知识 第二节基本物理量第二节基本物理量第三节粘度与法向应力差系数第三节粘度与法向应力差系数第四节非牛顿型流体的分类第四节非牛顿型流体的分类 第五节关于剪切粘度的深入讨论第五节关于剪切粘度的深入讨论第六节关于第六节关于“剪切变稀行为的说明剪切变稀行为的说明第七节高分子液体弹性效应的描述第七节高分子液体弹性效应的描述第八节高分子液体的动态粘弹性第八节高分子液体的动态粘弹性第一节第一节 张量初步知识张量初步知识l高聚物流变学的发展,与现代数学的应用密切相关。特别高聚物流变学的发展,与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析的
2、数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力,是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力,以便更好的理解流变学基本方程,以及一些加工应用方程以便更好的理解流变学基本方程,以及一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学,必须具有矢量代数、线的推导。全面学习和研究流变学,必须具有矢量代数、线性代数和张量运算的数学基础。性代数和张量运算的数学基础。l一、标量、矢量和张量一、标量、矢量和张量l标量标量没有任何方向性的纯数值的量。没有任何方向性的纯数值的量。l如:质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定如:质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热容和能量。压热容和能量。l矢量矢量既有方向
3、,又有大小的量。既有方向,又有大小的量。l如:位移、速度和温度梯度等。如:位移、速度和温度梯度等。矢量矢量l矢量用粗体代号或一个脚码代号表达矢量用粗体代号或一个脚码代号表达l ai=a=axi+ayj+azki、j、k是平行于是平行于x、y、z轴的单位矢量轴的单位矢量三个分量三个分量ax、ay、az是矢量在是矢量在x、y、z轴上的投影,常把轴上的投影,常把x、y、z写成写成1、2、3l张量物理学定义张量物理学定义在一点处不同方向面上具有各个矢量在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量。流变学应用的是二阶张量,是值的物理量。流变学应用的是二阶张量,是“面量面量”。张量是矢量的推广张量是矢量的推
4、广l张量数学定义张量数学定义在笛卡尔坐标系上一组有在笛卡尔坐标系上一组有3 3n n个有序矢量个有序矢量的集合。的集合。指数n称为张量的阶数,二阶笛卡尔张量n=2,标量是零阶张量,矢量是一阶张量l张量的特征:l张量可以按定量关系在不同坐标系中转换,张量可以按定量关系在不同坐标系中转换,可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中,还可以转换到柱面坐标系(系中,还可以转换到柱面坐标系(r,z)r,z)和和球面坐标系球面坐标系(r,)(r,)中。中。l张量分量可在各种坐标系中描述。张量分量可在各种坐标系中描述。l张量分量具有一定的空间分布。张量分量具有一定的
5、空间分布。l张量具有可分解性和可加和性。张量具有可分解性和可加和性。l二阶张量用粗体字符或带大括号,或用双脚标表二阶张量用粗体字符或带大括号,或用双脚标表示示 111213212223313233i jaaaaaaaaaaaal流变学中的参量如:应力流变学中的参量如:应力ijij、应变、应变ijij、剪切应、剪切应力力 、剪切速率、剪切速率 和应力速率等都是张量。和应力速率等都是张量。二、哈密尔顿算子二、哈密尔顿算子l哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。l哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代
6、数和矢量分析中所有法则;另一方面可按微分法则运算。法则;另一方面可按微分法则运算。ijkxyz 哈密尔顿算子哈密尔顿算子表达式表达式流动与变形的材料在某个几何空间中每个点,都对应着物理流动与变形的材料在某个几何空间中每个点,都对应着物理量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间,即为标量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间,即为标量场和矢量场。量场和矢量场。la.标量场的梯度标量场的梯度l梯度是个矢量,它的大小则为梯度是个矢量,它的大小则为最大变化率的数值。最大变化率的数值。它的方向为它的方向为变化率最大的方向。变化率最大的方向。gradijkxyz l梯度梯度是温度、浓度和密度等这些
7、标量场不均匀的量是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量度,记为度,记为grad.123gradijkxxx 或梯度的基本运算法则有梯度的基本运算法则有()CC1212()121221()()()FFC为常数为常数()F为导函数为导函数b.矢量场的散度l散度为矢量场中任一点散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的通过所包围界面的通量(或流量),并除以此微元体积。例如:速通量(或流量),并除以此微元体积。例如:速度散度记为度散度记为div,它是一标量。它是一标量。123iv jv kl在直角坐标系中,若在直角坐标系中,若则312vvvdivvvxyz 散度的基本运算法则为散度的基本运算
8、法则为()vuvu()vvv div物理意义:单位时间单位物理意义:单位时间单位体积内所产生的流体质量体积内所产生的流体质量流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度场散度divi=0,具有不可压缩特性。具有不可压缩特性。l常用于表示速度散度vi()iiivvx常用于表示速度梯度()iv()iijvvxc.拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222xyz 称为拉普拉斯算子222222222()xyzxyz如:三、几个特殊的张量三、几个特殊的张量la.单位张量l单位张量的表达式100010001i j称为克朗内克符号10100010001iji jij当
9、当b.对称张量对称张量l二阶张量的下标二阶张量的下标i与与j互换后所代表分量不变,互换后所代表分量不变,称为二阶对称张量。即有称为二阶对称张量。即有ijij=jijil二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。因而只有六个独立元素。有:角线对称。因而只有六个独立元素。有:111213111213212223222331323333i jC 反对称张量反对称张量l二阶反对称张量的分量满足二阶反对称张量的分量满足pij=-pjil对角线各元素为零,从而只有三个独立分量,有对角线各元素为零,从而只有三个独立分量,有l任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个
10、二阶对称张任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。量和一个二阶反对称张量之和。121312132123122331321323000000i jppppppppppppp d.张量的代数运算l(1)张量相等)张量相等l两个张量相等,则各分量一一对应相等。两个张量相等,则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等,若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等,则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。ijijAB笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系l笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates)就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。l相交
11、于原点的两条数轴,构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等,则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。l两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系。l仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广l相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。l三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系,否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。ll笛卡尔坐标,它表示了点在空间中的位置,但却和直角坐标有区别,两种坐标可以相互转换。举个例子:某个点的笛卡尔坐标是493,454,967,那它的X轴坐标就是4+9+3=16
12、,Y轴坐标是4+5+4=13,Z轴坐标是9+6+7=22,因此这个点的直角坐标是(16,13,22),坐标值不可能为负数(因为三个自然数相加无法成为负数)。(2)同阶张量加减)同阶张量加减l两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下,对应分量相加减。即ijijijTAB(3)张量数乘)张量数乘l张量张量Aij和标量和标量的乘积,也称张量放大。就是的乘积,也称张量放大。就是把把Aij的各个分量分别乘以的各个分量分别乘以。有。有B Bijij=A=Aijijl根据以上法则,流变学中常用的一种变换根据以上法则,流变学中常用的一种变换0000000002000033002000000000010
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