洛必达法则和泰勒公式课件.ppt
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1、目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则和泰勒公式洛必达法则和泰勒公式若 在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,那么()f x至少存在一点,),(ba使.)()()(abafbff拉氏 一、拉格朗日中值定理一、拉格朗日中值定理000()()()(01).f xxf xfxxx或例.P134:7,14.目录 上页 下页 返回 结束 函数之商的极限导数之商的极限 转化)()(limxgxf00(或 )()lim()fxg x二、洛必达法则二、洛必达法则:洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事实上xxx21lim11lim2xx1用
2、洛必达法则1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.目录 上页 下页 返回 结束 2)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1(limxxx1极限不存在不能用洛必达法则!即 目录 上页 下页 返回 结束 2103sincos.lim(1 cos)ln(1)xxxxxx例1说明3)原式xxxxx120cossin3lim21xxx)1ln(0时,)03(2123分析分析:2cos1x3)有时用洛必达法则并不简单.4)用洛必达法则时,要注意技巧,往往要结合无穷小代换.目录 上页
3、 下页 返回 结束 分析分析:203cos1limxxx30 limxx例例2.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1(lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxx220ln(1)ln(1)limseccosxxxxxxx例3.解解:原式=342xxxxtansec)sin(x第三节 洛洛uuu)
4、1ln(0时目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式:,0,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例4.求).0(lnlim0nxxnx型0解解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛目录 上页 下页 返回 结束 型.)tan(seclim2xxx解解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例5.求通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求.lim0 xxx型00解解:xxx0
5、limxxxln0elim0e1利用利用 例例4例5 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用目的用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(x
6、f)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx 的一次多项式xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 1.求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:,)(xpn)(0!212xpan,)(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf!21令)(xpn则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan,)(0 xf,)()(00 xfxpn)(01xpa
7、n,)(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)()1(nnxxann,)()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201目录 上页 下页 返回 结束)0(之间与在nx )()(10nnxxxR )(2)1()(0)(xnRnnnn2.余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0
8、xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x目录 上页 下页 返回 结束)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!)1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理:内
9、具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数,),(bax时,有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到*可以证明:阶的导数有直到在点nxxf0)(式成立目录
10、上页 下页 返回 结束 特例特例:(1)当 n=0 时,泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2)当 n=1 时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式.,00
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