概率论数学期望课件.ppt
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- 关 键 词:
- 概率论 数学 期望 课件
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1、概率统计一一.数学期望的定义数学期望的定义二二.随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望三三.数学期望的性质数学期望的性质四四.常见分布的数学期望常见分布的数学期望 数学期望数学期望概率统计设设 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律为的分布律为:P(X=xk)=pk,k=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和绝对收敛的级数的和.1()kkkE Xx p 1kkkx p 若正项级数若正项级数收敛,收敛,定义定义11.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望的和为随机变量的和为随机变量 X 的数学期望,记为:的数
2、学期望,记为:则称此级数则称此级数一一.数学期望的定义数学期望的定义概率统计注:注:()E X是个是个(实实)数。它数。它形式上形式上是是X的可能取值的可能取值的加权平均值;的加权平均值;本质上本质上体现了体现了X的真正的平的真正的平均,故常称均,故常称 为为 X 的均值;的均值;物理上物理上表示表示了一个质点系的重心坐标。了一个质点系的重心坐标。()E X()E X的的计算计算:当:当 X 的可能取值为有限时,的可能取值为有限时,则计算有穷和;当则计算有穷和;当 X 的可能取值为无限时,的可能取值为无限时,则计算级数的和。则计算级数的和。若若1kkkx p ()E X不绝对收敛,则称不绝对收
3、敛,则称 不存在不存在 概率统计例例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售,摇奖时某商店在年末大甩卖中进行有奖销售,摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为:红、黄、蓝、白、黑从摇箱摇出的球的可能颜色为:红、黄、蓝、白、黑五种,其对应的奖金额分别为:五种,其对应的奖金额分别为:10000元、元、1000元、元、100元、元、10元、元、1元元.假定摇箱内装有很多球,其中红、假定摇箱内装有很多球,其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为:黄、蓝、白、黑的比例分别为:0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的求每次摇奖摇出的奖金额奖金额X的数学期望的数学期望.概率统计解解 每次摇
4、奖摇出的奖金额每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量,易知是一个随机变量,易知它的分布律为它的分布律为X10000 1000 100 10 1pk0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885因此,因此,E(X)=100000.0001+10000.0015+1000.0134 +100.1+10.885 =5.725.可见,平均起来每次摇奖的奖金额不足可见,平均起来每次摇奖的奖金额不足6元元.这个值这个值对商店作计划预算时是很重要的对商店作计划预算时是很重要的.概率统计例例4.4 设随机变量设随机变量X服从柯西(服从柯西(Cauchy)分布,其概)分布,其概率密度为率密度为 21
5、(),(1)f xxx试证试证E(X)不存在)不存在.故故E(X)不存在)不存在.证证 由于由于 21()dd,(1)x f xxxxx概率统计连续型随机变量的数学期望的引出连续型随机变量的数学期望的引出 设设X是连续型随机变量,其密度函数为是连续型随机变量,其密度函数为 f(x),在数在数轴上取很密的分点轴上取很密的分点 x0 x1 x2 ,则,则 X 落在小区落在小区间间 xi,xi+1)的概率是的概率是:1()iixxf x dx ()iif xx小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)(1()()iiif xxx 2.连续性随机变量的数学期望连续性随机变量的
6、数学期望概率统计由于由于 xi 与与 xi+1 很接近很接近,所以区间所以区间 xi,xi+1)中中的值可以用的值可以用 xi 来近似代替来近似代替.iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的的渐近和式渐近和式.变量变量近似近似,该离散型随机变量,该离散型随机变量iixxf)(因此因此 X 与以概率与以概率取值取值 xi 的离散型随机的离散型随机的数学期望为:的数学期望为:阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)(小区间小区间xi,xi+1)注意到:注意到:概率统计由此启发引进如下定义由此启发引进如下定义2.设设 连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数为为 f(x),
7、若积分,若积分为连续型随机变量为连续型随机变量 X 的数学期望,记为:的数学期望,记为:dxxfxXE)()(也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.定义定义2收敛,则称此收敛,则称此积分的值积分的值dxxfx)(概率统计二二.随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理4.1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数,即的函数,即Y=g(X),g(x)是连续函数。是连续函数。.21 )1(,分布律为分布律为是离散型随机变量,且是离散型随机变量,且设设,kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)()()(绝对收敛,则
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