概率论第六章-样本及抽样分布课件.ppt

1、1 数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它是在一般统计所进行的数据整理的基础上，用概率论的方法科学地加工、提炼、并做出判断的一门数学学科。其主要思想方法是用局部推断整体。数理统计的内容非常丰富，从本章开始，我们将逐步介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容。第六章第六章 21 1随机样本随机样本 在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一项数量指标，例如，人体身高、体重、产品合格率等。为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，即选取一部分对象对这一数量指标进行试验或观察，根据获得的数据来推断全部对象的这些数量指标的分布情况。把研究对象的全体称为总体总体，而把组成总体的各个元素称为个

2、体个体，代表总体的指标X是一个随机变量，所以总体就是指某个随机变量X可能取的值的全体.3 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X的值，这样，一个总体对应于一个随机变量X。对总体的研究就是对一个随机变量X的研究，X的分布函数和数学特征就称为总体的分布函数和数学特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X.从总体中抽取若干个个体，就是对代表总体的随机变量X进行若干次观测，从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样，抽样的结果称为样本，样本中所含个体的数量称为样本容量.4 为了使样本在尽可能大的程度上反映总体的特性，我们对样本有基本要求，从总体中抽取样本必须满足：(1)随

3、机性随机性 为使样本具有充分的代表性，抽样必须是随机的，应使总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取到.(2)独立性独立性 各次抽样必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响.5 称这种随机的、独立的抽样为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本.若是从总体中进行放回抽样，显然就是简单随机抽样，得到的样本就是简单随机样本；若从有限总体中进行不放回抽样，虽然不是简单随机抽样，但当总体容量N很大而样本容量n较小(n/N10%)时，可近似看作放回抽样，从而可近似看作简单随机抽样，得到的样本也可近似地作为简单随机样本.以后提到的抽样与样本均是指简单随机

4、抽样与简单随机样本.6总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.从总体中抽取容量为n的样本，就是对代表总体的随机变量X随机地、独立地进行n次观测，每次观测的结果可以看作一个随机变量，n次观测的结果就是n个随机变量X1,X2Xn,它们相互独立，并与总体X服从相同的分布.7样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.),(21nxxx),(21nXXX用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取

5、值的集合.个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.iX8若总体X 的样本 满足:),(21nXXX一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是nXXX,21(1)与X 有相同的分布nXXX,21(2)相互独立简单随机样本简单随机样本N/n 10.总体中个体总数总体中个体总数样本容量样本容量则称 为简单随机样本.),(21nXXX9设总体 X 的分布函数为F(x),则样本若总体X 的密度函数为 f(x),则样本niinxfxxxf121)(),(总的联合密度函数为),(21nXXX的

6、联合分布函数为niinxFxxxF121)(),(总10例如例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M,其次品率为 NMp/若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它.X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示方法:1,0,)1(),(1xpppxfxx从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品:所取的产品不是次品所取的产品是次品,0,1X11设有放回地抽取一个容量为 n 的样本的联合分布为其样本值为,2,1,1,0),(21nixxxxin样本空间为),(21nXXX),(21nXXX),(21nxxxniiniixnxniinppxfxxxf11)1()(),(121总12

7、若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如1)01(12NMXXP所以,当样本容量 n 与总体中个体数目N 相比很小时,可将无放回抽样近似地看作放回抽样.ppNN1111)11(12NMXXPppNNN 11113),(21nxxxg设 是取自总体X 的一个样本,),(21nXXX),(21nrrrg 为一实值连续函数,且不含有未知参数,),(21nXXXg则称随机变量为统计量统计量.),(21nxxx若是一个样本值,称),(21nXXXg的一个样本值为统计量定义定义统计量统计量2 2 抽样分布抽样分布14例例 是未知参数,22,),(NX若 ,已知,则为统计量是一样本,),

8、(21nXXXniiniiXXnSXnX122111,1是统计量,其中),(2NXi则但niiX1221不是统计量.15常用的统计量常用的统计量niiXnX11)1(为样本均值样本均值niiXXnS12211)2(为样本方差样本方差niiXXnS1211为样本标准差样本标准差),(21nXXX设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量16nikikXnA11)3(为样本的k 阶原点矩原点矩nikikXXnB11)4(为样本的k 阶中心矩中心矩例如21222111nniiSXXnSnnBXA17注注 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的不同的不同2nS2Sniniinii

9、XXXX12112222122XnXnXnii212XnXnii)(22XAn故22221)(1nSnnXAnnS222XABniiiniiXXXXXX12212)2()(推导推导关系式关系式221nSnnS1）)(11122niiXnXn18推导推导 设2)(,)(XDXE则111111()nnniiiiiE XEXE Xnnn211222111()11nniiiiniDXDXD Xnnnn2）E X 21nXD19推导推导 设2)(,)(XDXE则niiXnEXE11 21nXD3）221)(nnSEn22)(SE 222)(XEEASEn XEXDXnEnii212122221n21nn

10、221)(nSnnESE221nESnn20例例1 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解解),(1021xxx令)199,200,235,196,228,215,240,185,243,210(2143.433)(9110122iixxs101225.47522101iixA0.390)(101109101222iixxsB19.217)199200235196228215240185243230(101x则则22例例2 2 在总体

11、 中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率.)3.6,52(2NX解解)36/3.6,52(2NX故6/3.6528.506/3.6528.53)8.538.50(XP8239.0)1429.1()7143.1(23例例3 3 设总体X 的概率密度函数为101)(xxxxf为总体的样本,求),(5021XXX(1)(1)X的数学期望与方差(2)(2SE(3)02.0(XP解解(1)0d)()(11xxxXEXE1001d2501)(501)(501)(1022xxxXEXDXD248414.0)01.0,0(NX近似近似(3)由中心极限定理(2).2/1)

12、()()(22XEXDSE2.012 1.0002.012)02.0(1)02.0(XPXP25常用统计量的常用统计量的分布分布 前面我们介绍了总体、样本及统计量的概前面我们介绍了总体、样本及统计量的概念。由于样本是随机变量，统计量是样本的函念。由于样本是随机变量，统计量是样本的函数，从而统计量也是随机变量。统计量的分布数，从而统计量也是随机变量。统计量的分布称为称为抽样分布抽样分布。一般情况下，当总体分布已知。一般情况下，当总体分布已知时，求统计量的分布是很困难的。然而，当总时，求统计量的分布是很困难的。然而，当总体服从正态分布时，某些统计量的分布比较容体服从正态分布时，某些统计量的分布比较

13、容易求得。易求得。26(1)(1)正态分布正态分布则niiiniiiniiiaaNXa12211,特别地,nNXnXnii21,1则nXXX,21),(2NXi若i.i.d.若nXXX,21),(2iiN27标准正态分布的 分位数分布的上 分位数.正态分布的双侧 分位数.定义定义若 ，则称z 为标准正态)(zXP若 ,则称 为标准)|(|2/zXP2/z28标准正态分布的 分位数图形 575.296.1645.1005.0025.005.0zzz-2-1120.10.20.30.4z 常用数字-2-1120.10.20.30.4/2-z/2=z1-/2/2 z/2-z/2)(zXP)|(|2/

14、zXP29 定义 设 独立，且都服从标准正态分布，即 ，则称nXXX,21)1,0(NXi22212122nniiXXXX服从自由度为 n 的 分布，记作：2)(22n分布分布2(2)(2)n=2 时,其密度函数为0,00,21)(2xxexfx为参数为1/2的指数分布.30222121,02()()0,0 xnnne xxf xx一般其中，01)(dtetxtx在x 0时收敛，称为函数，具有性质)(!)1()2/1(,1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自由度为 n 的315101520250.10.20.30.4n=2n=3n=5n=10n=15 32nnDnnE2)(,

15、)(122例如例如)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX则相互独立，若正态分布时，)(32nn分位数有表可查分布的上)(42n分布的性质分布的性质)(2n20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n=10307.1805.0)307.18)10(205.02P33nXXX,21相互独立,证证 1设niiiniNXXn122,2,1)1,0()(则1)(,1)(,0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(12234(3)(3)t 分布分

16、布 (Student 分布)定义定义 设则称 T 服从自由度为 n 的T 分布.记为nYXT tntnnntfn2121221)(),(,)1,0(2nYNXX,Y相互独立,)(ntT其密度函数为35t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20-3-2-11230.10.20.30.436t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数,2221)()(,tnettfn2T 分布的上 分位数 t 与双测 分位数 t/2 均 有表可查.一般来说，当n 30时，t 分布与标准正态分布就非常接近了。37-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n=101tttTP0.

17、051.81250.05(10)1.8125P Ttt-t1.81250.05,1.81250.95P TP T8125.1)10(95.0 t382/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/22281.2)10(05.02281.2025.02281.2025.0tTPTP/2/239(4)F 分布分布则称 F 服从为第一自由度第一自由度为n,第二自由度第二自由度为 m 的F 分布分布.记为 0,001222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn其密度函数为定义定义),(),(22mYnXX,Y 相互独立，设mYn

18、XF/令(,)FF n m401234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1041F 分布的性质分布的性质1(,),1/(,)FF n mFF m n若则1234560.10.20.30.40.50.6例如),(1),(1nmFmnF事实上,19.51)5,4(1)4,5(05.095.0FF故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有表可查分位数的上求F(n,m)19.5)5,4(05.0F?)4,5(95.0F42),(1mnFFP),(111mnFFP故),

19、(1nmFF由于),(1111mnFFP 1),(),(11nmFmnF因而),(111mnFFP例例1 1 证明),(1),(1nmFmnF证证43证证2XY 221(|()|)()P XtnP Xtn有例例2 2),1()(212nFnt证明：)()(212222ntYPntXP),1()(212nFnt即设令nnnnG)(1)1()(2222),1(nF2()(),(0,1)nXT nXGGNn44分别为样本均值与 样本方差，则1.);,(2nNX3.与 相互独立;X2S2.。)1()1(222nSn),(2N12,nX XX定理一 设是来自正态总体的 一个样本，niiXnX11niiX

20、XnS122)(11与正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布45所以 证明 1.由正态分布的可加性，可知 服从正态分布，又因为XniniiniinXEnXnEXE1111)(1)1()(nnXDnXnDXDniniinii21221211)(1)1()(。),(2nNX2,3的证明略。46证明 由定理一知);,(2nNX所以)1,0(NnX又)1(1222nSn)1(ntnSXT12,nX XX的 一个样本，则),(2N定理二 设是来自正态总体47。）（)1()(1)1(22ntSnXnSnnXT 由于 与 相互独立，因此 与X2SnX221Sn相互独立，从而由t 分布的定义有：48niiXnX

21、112121)(11XXnSnii的两个样本，且它们相互独立，设12,nX XX12,mY YY定理三 设和211(,)N 222(,)N是分别来自正态总体和miiYmY11分别是这两个样本的样本均值；2122)(11YYmSmii分别是这两个样本的样本方差，则有492222121222221221/(1,1)/SSSFF nmS(1)22212(2)当 时)2(11)()(1221mntmnSYXT2)1()1(2221212mnSmSnS其中50证明 (1)有定理一知)1()1(22121nSn)1()1(22222mSm由相互独立性及F分布的定义可知：)1,1()1()1()1()1(2

22、122222122222121mnFSSmSmnSnF51(2)由定理条件有),(2221mnNYX)1,0(11)()(21NmnYXU所以又因)1(12222mSm)1(12212nSn并且它们是相互独立的，故由 分布的可加性可知252)2(1122222122mnSmSnZ从而由独立性条件及 t 分布的定义有 即即)2(22mntmnZUT)2(11)()(1221mntmnSYXT53的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例例3 3设(72,100)XN,为使样本均值大于70解解 设样本容量为 n,则)100,72(nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2.0令9.0

23、2.0n得29.12.0n即6025.41n所以取42n54例例4 4 从正态总体),(2NX中，抽取了 n=20的样本1220(,)XXX(1)求22012276.120137.0iiXXP(2)求22012276.120137.0iiXP解解(1)19(11922012222iiXXS即)1()1(222nSn5522012276.120137.0iiXXP故2.3514.720122iiXXP2.3514.712012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表56(2)(2)20(22012iiX22012276.120137.0iiXP故2.354.72012iiXP

24、2.354.720122012iiiiXPXP97.0025.0995.057例例5 5 设随机变量X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与Y1,Y2,Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布.解解)169,0(921NXXX)1,0()(431921NXXX5816,2,1,)1,0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16(t2162221921YYYXXX从而59例例6 6 设总体 的样本,26542321)()(XXXXXXY)1,0(NX1

25、6,XX为总体 X 试确定常数c,使cY 服从2分布.解解)3,0(,)3,0(654321NXXXNXXX)1,0(31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此1/3.c)2(312Y60例例7 7 设12(,)nXXX 是来自N(,2)的简单随机样本,X是样本均值,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为n-1的t 分布的随机变量为1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D(61)1,0(/NnX)1()(12122nXXnii1)(1/122nXX

26、nXnii)1(ntniiXXXnn12)()()1(故应选(B)解解621612161iiiiYXV),1,0(161161NXXii由于解)1,0(4NYi而)16(161)4(216121612iiiiYY例1 设随机变量X和Y相互独立都服从N(0,42)，而X1,X2,X16和Y1,Y2,Y16分别来自总体X和Y的样本，则统计量服从 分布，参数为 。由t分布的定义有63)16(1616116116121611612161tVYXYXiiiiiiii自由度参数为6。64222(,),XNX Sn 例设分别为容量是 的样本均值与样本方差，则.)12niiXX（niiniiXXnnXX122

27、21)(111)(解)1()1(222nSn65例3 设X1,X2,Xn是来自正态总体N(,2)的样本，则.)()1(112niiXXnnX,),(2nNX则有)1,0(/NnX从而)1()1(222nSn而解 因为X N(,2)，66)1()1(/)(22nSnnX故有)1()()1(112ntXXnnXnii6712342(2)(34)(0,1)(2).a XXbXXNX与都服从时，才服从),2,0(2NXi因为,2)(,0)(2iiXDXE则有例4 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则当a=,b=时，统计量X服从

28、2分布，其自由度为 。解 由题设可知，统计量X服从2分布，只有当681)(4)()2(2121XDXDaXXaD故有201,120aa即从而3434(34)9()16()1,1100DbXXbD XD Xb而即)2()43(1001)2(2012243221XXXXX69iXA)(niiXnXB11)(niiXXnSC122)(11)(21)(1)(niiXnD例6设X1,X2,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本，其中,2未知，则下面不是统计量的事（）。解 由于统计量中不含任何未知参数，故选(D).70);1,0(42)(NXA);1,0(162)(NXB);1,0(22)(NXC).

29、1,0(/42)(NnXD),4,2(),4,2(22nNXNX故解).().1,0(/42DNnX故选标准化后有例7 设总体X N(2,42),X1,X2,Xn为X的样本，则下面结果正确的是（）.71)(,11则有niiXnX)()(XEXA);()()(XEXEB);(1)(XEnXC).()(XEXDniiXnX11但例8 设X1,X2,Xn是X的样本，X的期望为E(X)，且 解 需要注意的是对于有确定分布的X，E(X)是确定的数值；实际上仍是一个随机变量.因而只有(B)项是正确的.故选(B).7210124iiXP101285.2)(,)2(iiXXP求概率未知)10()0(12101222iiXYniiXP124niiXP12225.0401162YP例9 从正态总体N(,0.52)中抽取样本X1,X2,X10(1)已知=0，求概率解（1）由=0，则,0.16)10(201.0查表73)9()(1210122iiXXZ101285.2)(iiXXPniiXP12225.085.2014.112ZP,4.11)9(225.0查表25.085.2)(1012iiXXP(2)由题设知由此得所求概率为10.0412niiXP由此得所求概率为74