重积分-重积分的概念与性质课件.ppt
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《重积分-重积分的概念与性质课件.ppt》由用户(晟晟文业)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 积分 概念 性质 课件
- 资源描述:
-
1、18.1 重积分的概念与性质重积分的概念与性质 28.1.1 重积分的定义重积分的定义 回顾在第五章中用定积分计算物体的质量回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题,假定物体的密度是连续变化的问题,假定物体的密度是连续变化的。首先考虑一根长度为首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量。的细直杆的质量。不妨假定它在轴上占据区间不妨假定它在轴上占据区间0,l,设其线设其线密度为密度为()x010()lim()(1)lniimx dxxi i11,max iiiii nxxxx其其中中3 如果我们所考虑的物体是一平面薄板,不如果我们所考虑的物体是一平面薄板,不妨假定它占有妨假定它占有xoy坐标面上的区域
2、坐标面上的区域D,并设其,并设其面密度函数为面密度函数为=(x,y)常数。常数。这里这里(x,y)0 0且在且在D上连续。上连续。yxo),(ii i 01lim(,)(2)niiim i iiin 其其中中也也表表示示小小闭闭区区域域的的面面积积,是是 个个小小闭闭区区域域直直径径中中的的最最大大值值。4 如果我们考虑的物体占据三维空间如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区的闭区域域,其体密度函数为,其体密度函数为=(x,y,z)常数常数,则其质量则其质量可表示为可表示为01lim(,)(3)niiiimv i iiivvn 其其中中也也表表示示分分割割区区域域 所所得得各各个个小小
3、闭闭区区域域的的体体积积,是是 个个小小闭闭区区域域直直径径中中的的最最大大值值。5定义定义8.1.1设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数,将区域数,将区域D任意分割成任意分割成 n 个小区域个小区域12,nii 其其中中表表示示第第个个小小闭闭区区域域,也也表表示示它它的的面面积积。1,)(1,2,),(,)(1,2,),(,)iiniiiiiinfinf i iiiii任任取取点点(作作积积并并求求和和。如果当各小区域直径的最大值如果当各小区域直径的最大值 趋于零时,上趋于零时,上述和式的极限存在,则称此极限为函数述和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在
4、在闭区域闭区域D上的二重积分,记作上的二重积分,记作01(,)lim(,)niiiDf x y df i i(,),Df x y d 即即6 niiiiDfdyxf10),(lim),(由二重积分的定义可知,平面薄板的质量由二重积分的定义可知,平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分01(,)lim(,)niiiDmx y d i i7定义定义8.1.2 设设 是是Rn中一个可求体积(中一个可求体积(n=2时为时为面积)的有界闭区域,面积)的有界闭区域,f(X)是在是在 上有定义的有上有定义的有界函数,将界函数,将 分割为彼此没有公共内点的
5、任意分割为彼此没有公共内点的任意闭子域闭子域123,niiiiv 用用 表表示示各各中中直直径径的的最最大大值值,(,(或或)表表示示的的体体积积(或或面面积积)。=1=1(1,2,),()(1,2,),()()iiinniiiiiiXinf Xvinf XVf X i i任任取取点点作作积积并并作作和和(或或8 如果当如果当 0时,上述和式的极限存在,并且时,上述和式的极限存在,并且该极限与该极限与 的分割方式及的分割方式及Xi的取法无关,我们称的取法无关,我们称该极限值为函数该极限值为函数f(X)在在 上的上的n(重重)积分,记为积分,记为()f X dX 其中其中f(X)称为被积函数,称
6、为被积函数,称为积分区域,称为积分区域,也称函数也称函数f(X)在在 上可积。上可积。特别地,当特别地,当n=2时函数时函数 f(X)=f(x,y)(x,y)D,()(,)Df X dXf x y d 即为函数即为函数f(x,y)在在D 上的二重积分,上的二重积分,d 称为称为面积元素面积元素。9 当当n=3时函数时函数 f(X)=f(x,y,z)(x,y,z),()(,)f X dXf x y z dv 即为函数即为函数f(x,y,z)在在 上的三重积分,上的三重积分,dv称称为体积元素为体积元素。有了上述定义,空间立体的质量也可以通有了上述定义,空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来
7、表示,即过密度函数的三重积分来表示,即01(,)lim(,)niiiimx y z dvv i i可以证明可以证明定理定理8.1.1 (1)(充分条件)若(充分条件)若f(X)在在 上连续,则它在上连续,则它在 上可积;上可积;(2)(必要条件)若必要条件)若f(X)在在 上上可积,则它在可积,则它在 上有界。上有界。108.1.2 重积分的性质重积分的性质 我们仅给出二重积分的性质,三重积分我们仅给出二重积分的性质,三重积分的性质完全类似。的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积,积,D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。都是平面上的有界闭区
8、域。(1)1DDdd(2)(关于被积函数的线性可加性)若关于被积函数的线性可加性)若、为常为常数,则数,则(,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y df x y dg x y d 表示表示D的面积的面积11(3)(关于积分区域的可加性)(关于积分区域的可加性)1212,DDDDD 若若且且与与无公共内点,则无公共内点,则12(,)(,)(,)DDDf x y df x y df x y d(4)(积分不等式)如果在(积分不等式)如果在D上有上有f(x,y)g(x,y),则则(,)(,)DDf x y dg x y d 特别地,有特别地,有(,)(,)DDf x y df x y d
9、12(5)(估值定理)设(估值定理)设M、m分别是分别是f(x,y)在有界闭在有界闭区域区域D上的最大值和最小值,上的最大值和最小值,表示表示D的面积,的面积,则则(,)Dmf x y dM(6)(中值定理)设函数(中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续,上连续,表示表示D的面积,则至少存在一点的面积,则至少存在一点(,),使,使(,)(,)Df x y df 下面仅给出结论下面仅给出结论(5)、(6)的证明。的证明。1322112,ln()1xyxyd 不不用用计计算算 判判断断二二重重积积分分例例的的符符号号。2121:D先先作作出出积积分分区区域域解解xyo1:1,
10、2Dxy在在积积分分区区域域上上22,1,xy除除四四个个顶顶点点外外 全全部部落落在在圆圆周周之之内内112xy因因而而在在区区域域上上有有22ln()0 xy。:于于是是有有22112ln()0 xyxyd 。1423)2()DDxydxyd比比较较与与例例的的大大小小。(1)D1:x轴、轴、y轴及轴及x+y=1所围;所围;(2)D2:(x 2)2+(y 1)2 2解解(1)因为在区域因为在区域D1上上 1123)()(DDdyxdyx。0 x+y 1,(x+y)3 (x+y)2根据性质根据性质5,得,得xyo1115 2232)()(DDdyxdyx。2(2)(2,1),2D因因为为区区
11、域域是是以以为为圆圆心心 以以为为半半径径的的圆圆域域1 2xyo 从图形易知在从图形易知在D上除上除切点外,处处有切点外,处处有x+y 1 (x+y)2(x+y)3所以有所以有(x2)2+(y1)2 2该圆域与直线该圆域与直线x+y=1相切。相切。16例例3 利用二重积分的性质,估计积分的值。利用二重积分的性质,估计积分的值。1:,)14(2222 yxDdyxD 解解,cos,sin(02),Dxy 在在 的的边边界界上上12222 14),(yxyxyxf因为因为 fx=2x,fy=8y,所以有驻点所以有驻点(0,0)。先求先求f(x,y)=x2+4y2+1在在D上上的最大值、最小值。的
12、最大值、最小值。2sin32 1sin4cos22 )(xyof(0,0)=1。17 显然,在边界上显然,在边界上f(x,y)的最小的最小值为值为2,最大值,最大值5。Ddyx 5)14(22 于是于是f(x,y)在在D上的最小值为上的最小值为1,最大值为最大值为5,积分区域的面积为,积分区域的面积为。所以有所以有xyo2(,)23sinf x y)(188.2 二重积分的计算法二重积分的计算法 利用二重积分的定义直接计算二重积分利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难,计算二重积分的基本途径是将一般很困难,计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分,然后通过计算两二重积分转化为累次
展开阅读全文