期权定价公式的推导课件.ppt
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1、Black-Scholes 期权定价公式的推导2n1973年,美国芝加哥大学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表期权定价与公司负债一文,提出了著名的Black-Scholes期权定价模型,在学术界和实务界引起强烈的反响,Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。这个公式的出现也被称为是华尔街第二次革命。345 三个数学概念:n随机游走n布朗运动n鞅 6n证券交易价格是随机的。n虽然证券的当前价值一般并不等于其未来价值的数学期望,实际上,长期以来,金融学术界一直认为在一定条件下,证券的当前价值应该等于其未来价值的数学期望。金融学中的“学院派”的最根本的观点。
2、n这一观点的修正和发展在金融学上称为是有效市场假设:如果由于金融市场的充分发展,使得它对证券价格的调整效率非常高,那么证券的市场价格已经充分反映了证券的真实价值。即使它的未来价格还会有一定的随机波动,但这种波动并不是一种价格趋势,其平均值还是与当前价格一样。n所以,我们可以认为证券的未来价格与当前价格之间只相差一项随机干扰。7n假定某证券的当前价格为p0,p1,p2,pn,其中p0是证券的当前价格,它是一个定常数,p1,p2,pn等都是证券的未来价格,从当前来看都是随机变量。于是它们之间就有这样的关系:其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布,就可
3、以引出随机游走和布朗运动的概念。,1212101nnnpppppp8n由上面这些关系式,我们可以引出 n由此得到的反映证券价格变化的随机序列 称为随机游走。这个名称最初是对以相同概率取的随机变量而言的。在这种情况下,这个随机序列可形象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻,他既可以往左走一步,也可能往右走一步。它也就是所谓的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊,但时间越长,他就可能离原点越远。,2,1,210nppnn,2,1,0,210nppWnnn9n令 t 代表一个小的时间间隔,z代表随机变量z在t时间内的变化,则标准的布朗运动z具有下述两个特征:n特征特征1:,其中是服从标准正态分布的
4、随机变量。n特征特征2:对于任意两个不同的时间间隔t,z相互独立。由特征1可知,z也服从正态分布,其均值为0,标准差为 。由特征2可知,标准布朗运动是马尔可夫过程的一种特殊形式。ztt10n“证券的未来的未来价格的平均值等于其未来价格”的明确数学定义 n鞅鞅 一一个随机序列称为鞅,就是指它满足上述式子。0111|,nnnE ppppp11 对于证券来说,它并不是证券价格的直接增量形成随机游走,而是证券价格的比例增量形成随机游走。其中 是均值为1的独立同分布随机变量。令 。对上式的两端取对数,就得到 即 (1)是随机游走序列。012,1,2,nnppn 12,n ln,1,2,nnn01lnln
5、,1,2,nnppn01lnln,0,1,2,nnnWppn12 不再成立。这里在一段时期内是常数。把这一离散的价格变化的关系式连续化,就得到 这里zt是标准布朗运动。1lnln,1,2,nnnppn11ln(/)lnln,1,2,nnnnnppppnlnttttdpdpdtdzp13n由于dzt是标准布朗运动,因此,在一个较短的时间间隔t以后,证券价格的变化为:n可见 也服从正态分布,其均值为t,标准差为 。也就是ttpttp ttppt(,)ttpNttp14 风险对冲 随机过程 偏微分方程 f为期权价格rfSfSSfrStf222221Black-Scholes期权定价公式15资产定价基
6、本原理 只要市场没有套利机会,那么一定存在一种等价的概率测度,使得所有证券及其组合的折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价值”的“鞅性质”。证券折现价格的证券折现价格的“鞅性质鞅性质”证券折现价格的水平始终不变,或者说,在任何时候,证券折现价格的期望净收益率期望净收益率都是0,毛收益率都是1。16实际贴现率(实际贴现率(effective rate of discount)n实际贴现率:一定时期内的利息与期末累积值的比率,通常用字母d表示。n贴现因子:期末的1元在期初的现值,一般用v来表示,那么17利息力利息力(force of interest)n利息力是在确切时点上的利息强度,可以用累积
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