人教B版必修五数学课件：2.3.1 等比数列的概念及通项公式.ppt

1、数数 列列 第二章第二章 2.3 等比数列等比数列 第二章第二章 第第1课时课时 等比数列的概念及通项公式等比数列的概念及通项公式 课前自主预习课前自主预习 我国古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问题 叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木， 木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九 毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东 西的数量构成了怎样的数列？ 1等比数列的定义 如果一个数列从_起，每一项与它的前 一项的比都等于_，那么这个数列叫 做等比数列，这个常数叫做等比数列的 _，公比通常用字母_表示 第2项 同一个常数 公比 q 2等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列a

2、n的首项为a1，公比为 q(q0)， 填表： 递推公式 通项公式 an an1_(n2) an_ 3.等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成_，则G叫做x和y的等比 中项 (2)如果G是x和y的等比中项，那么_，即_ q a1qn1 等比数列 G2xy G xy 1.在等比数列an中，已知a11 9，a59，则a3( ) A1 B3 C 1 D 3 答案 A 解析 设公比为q，则a5a1q4， q481，q29. a3a1q21 991. 2已知1，x，4成等比数列，则x的值为( ) A2 B5 2 C2或2 D. 2或 2 答案 C 解析 由题意，得x24， 又x是1和4的等比中项， x

3、2. 3(20132014学年度吉林省白城市高二期 末测试)已知等差数列an的公差为2，若a3是 a1与a4的等比中项，则a2( ) A4 B6 C8 D10 答案 B 解析 由题意，得aa1a4， 即(a14)2a1(a16)， 解得a18. a2a1d826. 4某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一 次(一个分裂为两个)，经过4小时，这种细菌 由1个可繁殖成_个？ 答案 256 解析 设逐次分裂后的个数为an，则an构 成以a12为首项，q2为公比的等比数列， an2n，经过4小时，共分裂8次，a828 256，这种细菌经过4小时可由1个繁殖成 256个 5等比数列an中，a11，a48，

4、则a6 _. 答案 32 解析 设公比为q，则a4a1q3， q3a4 a1 8 18，q2. a6a1q52532. 6若等比数列an满足anan116n，求公比q 的值 解析 由anan116n，得a1a216，a2a3162， a2a3 a1a2q 216， q 4.又a1a2a2 1q160， q0，q4. 课堂典例讲练课堂典例讲练 等比数列的通项公式 已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a3 8，求an. 解析 解法一：a1a3a2 2，a1a2a3a 3 28， a22. 从而 a1a35 a1a34 ，解得a11，a34或a14，a31. 当 a11时，q2；当 a14时

5、，q1 2， 故an2n 1或a n2 3n. 解法二：由等比数列的定义知a2a1q，a3a1q2. 代入已知得 a1a1qa1q27 a1 a1q a1q28 ， 即 a11qq27 a3 1q 38 ， a11qq27 1 a1q2 2 将a12 q 代入(1)得2q 25q20，q2或q1 2. 由(2)得 a11 q2 或 a14 q1 2 ，以下同解法一 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们 的积等于64，求这三个数 解析 设这三个数为a q，a，aq 根据已知条件得 a qaaq14 a q a aq64 由得a4，代入得q2或q1 2， 这三个数为2,4,8或8,4,2. 等

6、比中项 等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是 a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是( ) A90 B100 C145 D190 解析 设公差为d，由题意得a2 2a1 a5，a11， (1d)214d，d22d0，d0，d2， S10101109 2 2100，故选B. 答案 B 等差数列an中，公差d0，且a3是a1和a9的等比中项， 则 a1a3a9 a2a4a10_. 答案 13 16 解析 由题意知，a3是a1和a9的等比中项， a2 3a1a9，(a12d) 2a 1(a18d)，解得a1d， a1a3a9 a2a4a10 13d 16d 13 16. 等比数列的

7、判定 已知数列an的前n项和Sn2an1(nN*)求 证：数列an是等比数列 解析 Sn2an1(nN*)， Sn12an11(n2)， 两式相减，得an2an2an1， an2an1， 即 an an12(n2)故数列an是等比数列 已知数列an的首项 a15，前n项和为Sn, 且Sn 12Snn5(nN*)求证：数列an1是 等比数列 解析 Sn12Snn5(nN*)， Sn2Sn1n4(n2)， 两式相减，得an12an1， an112(an1)，a n11 an1 2(n2) S22S162a1616， a1a216，a216a111. a21122(a11)a n11 an1 2(n

8、N*) 又a116， 即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列. 培育水稻新品种，如果第一代得到 120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一 粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第 5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒 (保留两个有效数字)? 解析 由于每代的种子数是它的前一代种子 数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记 为an，其中a1120，q120，因此，a5 12012042.51010. 答：到第五代大约可以得到种子2.51010 粒 等比数列的实际应用 容积为a L(a1)的容器盛满酒精后倒出1 L，然 后加满水，混合溶液后再倒出1 L，又用水加 满，如此继续下去，问第

9、n次操作后溶液的浓 度是多少？若a2，至少应倒出几次后才可 以使酒精浓度低于10%. 解析 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a11 1 a.设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n1次后溶液的浓度 是an1an(1 1 a )所以an构成以a11 1 a 为首项，q1 1 a 为公比的等比数列所以ana1qn 1(11 a )n，即第n次操作后 溶液的浓度是(1 1 a )n.当a2时，由an( 1 2 )n 1 10 ，得n4.因 此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%. 易错疑难辨析易错疑难辨析 等比数列an的前三项的和为168，a2a5 42，求a5、a7的等比中项 错解 设该

10、等比数列的公比为q，首项为a1， a2a542，q1，由已知，得 a1a1qa1q2168 a1qa1q442 ， a11qq2168 a1q1q342 1q3(1q)(1qq2)， 由除以，得q(1q)1 4. q1 2， a1 42 1 2 1 2 496. a6a1q596(1 2) 53. a5、a7的等比中项为a6， a5、a7的等比中项为3. 辨析 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6， 忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数 正解 设该等比数列的公比为q，首项为a1， a2a542，q1， 由已知，得 a1a1qa1q2168 a1qa1q442 ， a11qq2168 a1q1q342 1q3(1q)(1qq2)， 由 得q(1q) 1 4， q1 2， a1 42 1 2 1 2 496. 令G是a5、a7的等比中项，则应有G2a5a7a1q4 a1q6a 2 1 q10962(1 2) 109， a5、a7的等比中项是 3.