人教B版必修五数学课件：1.1.1正弦定理(二).ppt

1、 第一章 解三角形 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 明目标、知重点 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的 问题. 2.能根据条件，判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题. 填要点记疑点 填要点记疑点 (2) a sin A b sin B c sin C abc sin Asin Bsin C ； 1.正弦定理的常见变形 (1)sin Asin Bsin C ； abc 2R (3)a ，b ，c

2、 ； 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (4)sin A ，sin B ，sin C . a 2R b 2R c 2R 填要点记疑点 2.三角变换公式 (1)sin() ； (2)sin() ； (3)sin 2 . sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 探要点究所然 探要点究所然 情境导学 我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中 一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解， 有时又无解，这究竟是怎么回事？ 探要点究所然 探究点一 判断三角形解的个数 思考1 在ABC中，若AB，一定有sin Asin B吗？反证 若

3、sin Asin B，是否也一定有AB? 答 由AB，得ab， 2Rsin A2Rsin B，即sin Asin B， 由sin Asin B，得2Rsin A2Rsin B，即ab. AB. 探要点究所然 思考2 已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况以列表方式写出. 答 A为锐角 A为钝角戒直角 图形 关系式 absin A bsin Aa，故B60戒120. 当 B60 时，C90 ，ca2b24 3； 当 B120 时，C30 ，ca2 3. 所以 B60 ， C90 ， c4 3戒 B120 ， C30 ， c2 3. 探要点究所然 反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时

4、， 首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时， 要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两 个值. 探要点究所然 跟踪训练 1 在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、c，已知A60 ，a 3，b1，则 c 等于( ) A.1 B.2 C. 31 D. 3 解析 由正弦定理 a sin A b sin B，可得 3 sin 60 1 sin B， sin B1 2，故B30 戒 150 . 探要点究所然 由ab，得AB，B30， 故C90， 由勾股定理得c2. 答案 B 探要点究所然 探究点二 利用正弦定理求最值或范围 例2 在锐角ABC中，角A，B，C分别

5、对应边a，b，c，且 a2bsin A，求cos Asin C的取值范围. 解 设R为ABC外接圆的半径. a2bsin A，2Rsin A4Rsin Bsin A， sin B1 2.B 为锐角，B 6. 探要点究所然 令 ycos Asin Ccos Asin BA cos Asin 6A cos Asin 6cos Acos 6sin A 3 2cos A 3 2 sin A 3sin A 3 . 由锐角ABC 知， 2BA 2， 3A 2. 2 3 A 3 5 6 ，1 2sin A 3 3 2 ， 探要点究所然 3 2 3sin A 3 3 2，即 3 2 y0，所以 0B 3，所以

6、 1 2cos B1. 因为c b sin C sin B sin 2B sin B 2cos B， 所以 12cos B2，故 1c b2. 探要点究所然 探究点三 正弦定理与三角变换的综合 例3 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 若ac2b，且2cos 2B8cos B50，求角B的大小并 判断ABC的形状. 解 2cos 2B8cos B50， 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0. 探要点究所然 解得 cos B1 2戒 cos B 3 2(舍去). 0B，B 3.ac2b. 由正弦定理得

7、 sin Asin C2sin B2sin 3 3. sin Asin 2 3 A 3， sin Asin 2 3 cos Acos 2 3 sin A 3. 探要点究所然 化简得3 2sin A 3 2 cos A 3，sin A 6 1. 0A，A 6 2.A 3，C 3. ABC是等边三角形. 探要点究所然 反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系 的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式 迚行化简，从而迚行三角形形状的判断、三角恒等式的 证明. 探要点究所然 由根与系数的关系得 x1x2bcos A， x1x2acos B， 跟踪训练3 已知方程x2(bcos A)xa

8、cos B0的两根之积 等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角， 试判断这个三角形的形状. 解 设方程的两根为x1、x2， bcos Aacos B. 探要点究所然 由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B为ABC的内角， 0A，0B，AB. AB0，即AB. 故ABC为等腰三角形. 当堂测查疑缺 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.在ABC 中，若 a3，cos A1 2，则ABC 外接圆的半 径为( ) A.6 B.2 3 C.3 D. 3 解析 cos A1 2，sin A 3 2

9、， 由 a sin A2R 得 R 3. D 当堂测查疑缺 1 2 3 4 2.在ABC 中， 若 a cos A b cos B c cos C， 则ABC 是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析 由正弦定理知： sin A cos A sin B cos B sin C cos C， tan Atan Btan C， ABC，故三角形为等边三角形. B 当堂测查疑缺 1 2 3 4 3.在ABC 中， 2a sin A b sin B c sin C . 解析 由于 a sin A b sin B c sin C， 所以 2a sin A b s

10、in B c sin C ( a sin A b sin B)( a sin A c sin C)0. 0 当堂测查疑缺 1 2 3 4 4.在ABC 中，若 abc135，求2sin Asin B sin C 的值. 解 由条件得a c sin A sin C 1 5，sin A 1 5sin C. 同理可得 sin B3 5sin C. 2sin Asin B sin C 21 5sin C 3 5sin C sin C 1 5. 当堂测查疑缺 呈重点、现规律 1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角， 这时三角形解的情况可能无解，也可能一解戒两解.首先求 出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1戒小于0时，这 时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根 据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 当堂测查疑缺 2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊 三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将 条件统一为“边”之间的关系式戒“角”之间的关系式.