北师大版必修四数学课件：2.2.1 向量的加法.ppt

1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2 从位移的合成到向量的加法 21 向量的加法 22 向量的减法 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1理解向量加法的法则及其几何意义 2能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和 3理解向量减法的法则及其几何意义 4能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差 【核心扫描】 1 向量运算的三角形法则和平行四边形法则， 向量减法的几何 意义(重点) 2向量加减法的综合应用(难点) 3对基本概念理解不透而容易出现错误(疑点) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 1向量的加法法则 (1)三角

2、形法则： 如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB a， BC b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作 ab ， 即 abAB BC AC .上述求两个向量和的作图法则， 叫做向 量求和的三角形法则 对于零向量与任一向量 a 的和有 a0. 0 a a 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)平行四边形法则： 如图所示，已知两个不共线向量 a，b， 作OA a，OB b，则 O、A、B 三点 不共线，以 ， 为邻边作 ， 则对角线上的向量 OC ab， 这个法则叫做两个向量求和的 平行四边形法则 OA OB 平行四边形 课前探究学习课前

3、探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2向量加法的运算律 (1)交换律：ab . (2)结合律：(ab)c ba a(bc) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 ： 向量求和方法有两种： 平行四边形法则和三角形法 则，这两种方法在求共线向量的和向量时是怎样使用的？ 提示 当 a 与 b 共线时可用三角形法则，但平行四边形法则不 适用，具体情况如下： (1)向量 a 与 b 共线且同向时，ab 的方向与 a(或 b)的方向相 同，且|ab|a|b|.如下图所示： (2)向量 a 与 b 共线且反向时，若|a|b|(或|b|a|)，则 ab 的方 向与b(或a)的方向相同， 且|ab

4、|b|a|(或|ab|a|b|) 如 下图所示： 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 3相反向量 (1)与 a 、 的向量，叫做 a 的相反向量，记 作 ；我们规定：零向量的相反向量仍是 (2)互为相反向量的两个向量的和是 ，即 . 如果 a、b 互为相反向量，则 . 方向相反 长度相等 零向量 零向量 ab，ba，ab0 a a(a)0 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 4向量的减法 (1)定义：aba(b)，即减去一个向量 相当于加上这个向量的 (2)作法：在平面内任取一点 O，作 OA a， OB b，则向量 ab BA .如图所示 (3)几何意义：如果

5、把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的 差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的 向量例如OA OB BA . 相反向量 始点 终点 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 1对两个向量的和的理解 两个向量的和仍是一个向量 当两个非零向量 a 与 b 不共线时，ab 的方向与 a、b 的方 向都不相同，且|ab|a|b|(三角形两边之和大于第三边) 特殊位置关系的两向量的和： a 向量 a 与 b 同向， 如图(1)， 即向量 ab 与 a(或 b)方向相同， 且|ab|a|b|； b向量 a 与 b 反向，如图(2)，且|a|b|时，即 ab 与 b 方向相 同(

6、与 a 方向相反)且|ab|b|a|. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2向量加法的多边形法则 A1An A1A2 A2A3 A3A4 ，特别地当 A1与 An 重合时，A1A2 A2A3 A3A4 0，运用此结论可 以证明一个图形是否为封闭图形，如不共线的三个向量 a，b， c，若 abc0，则由这三个向量可以构成一个三角形 3向量减法的理解 向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义， 把其中减向量的方向变为与原方向相反，大小不变就可以把减 法化为加法在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接 两向量终点，箭头指向被减向量”即可 课前探究学习课前探究学习 课堂讲

7、练互动课堂讲练互动 4向量加法与减法的几何表示 以向量AB a、AD b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对 角线的向量为AC ab，即将 b 的起点放在向量 a 的终点，然 后连接向量 a 的起点与向量 b 的终点所得的向量；DB ab，即是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向 量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型一 利用已知向量求作和向量或差向量 【例 1】 如右图，已知向量 a，b，c 不共线， 求作向量 abc. 思路探索 利用向量加法和减法的三角形 法则作图即可 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练

8、互动 解 作法一 如下图， 在平面内任取一点 O， 作OA a， AB b，则OB ab，再作OC c， 则CB abc. 作法二 如上图，在平面内任取一点 O，作OA a，AB b， 则OB ab，再作CB c，连接 OC，则OC abc. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 (1)求作两个向量的和向量时，要注意向量加法的三 角形法则和平行四边形法则的应用 (2)求作两个向量的差向量时，有以下两种思路； 可以转化为向量的加法来进行，如 ab，可以先作b，然 后作 a(b)即可 也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重 合，则差向量为连接两个向量的终点，指

9、向被减向量的终点的 向量 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 已知向量 a、b、c，求作向量 abc. 解 在平面上任取一点 O，作OA a，OB b，则BA ab.再 作BC c，并以 BA、BC 为邻边作BADC，则BD BA BC a bc.如下图 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 向量的加、减法运算 【例 2】 化简：(AB CD )(AC BD ) 思路探索 利用向量加、减法的定义及相关运算律求解 解 法一 (统一成加法)(AB CD )(AC BD )AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD

10、 DA 0. 法二 (利用OA OB BA )(AB CD )(AC BD )AB CD AC BD (AB AC )CD BD CB CD BD DB BD 0. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 法三 (利用AB OB OA )设 O 是平面内任意一点，则(AB CD ) (AC BD )AB CD AC BD (OB OA )(OD OC )(OC OA )(OD OB )OB OA OD OC OC OA OD OB 0. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结 合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算式

11、有序化处理，进行 向量的加减运算时，常用的变形如下： (1)化减为加，即运用AB BA 或AB BA 0. (2)转化为“顺次首尾相接的形式相加”，运用AB BC AC . (3)转化为“同一点出发的两个向量的差”，运用OA OB BA 或 AB OB OA . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 2】 已知平面四边形 ABCD， 试化简： AB DA BD BC CA . 解 如图所示，在平面内任取点 O，连接 OA，OB，OC，OD， 则原式(OB OA )(OA OD )(OD OB )(OC OB ) (OA OC )OB OA OA OD OD OB OC O

12、B OA OC OB OA AB . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 利用已知向量表示其他向量 【例 3】 如图，在正六边形 ABCDEF 中， O 为中心，若OA a，OE b，用向量 a，b 表示向量OB ，OC 和OD . 思路探索 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平 行四边形法则和三角形法则解题，要特别注意向量的方向以及 运算式中向量之间的关系 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 法一 在OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF，OE 起点 相同，应用平行四边形法则，得OF OA OE ab. OC OF ，OC ab. 而

13、OB OE b，OD OA a. OB b，OC ab，OD a. 法二 由正六边形的几何性质， 得OD a，OB b，BC OA a. 在OBC 中，OC OB BC ab. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 法三 由正六边形的几何性质，得OB b，OD a. 在OBCD 中，OC OB OD ab. 规律方法 (1)向量减法的几何意义的主要作用是进行向量的 合成或分解，特别是“向量分解”可使所有向量的起点相同，为 后续运算带来方便 (2)正确应用向量加减法的几何意义，把向量相等、平行、模的 关系进行转化，在证明、运算中具有重要作用，尤其要注意平 行四边形、菱形、矩形、正方

14、形对角线的性质的应用 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 3】 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示DB ； (2)用 b，c 表示DB ； (3)用 a，b，e 表示EC ； (4)用 c，d 表示向量EC . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 (1)DB DE EA AB deaade. (2)DB CB CD BC CD bc. (3)EC EA AB BC abe. (4)EC CE (CD DE )cd. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型四 向量的加、减法的综合应用 【例 4】 (12 分)已知非零向量

15、 a，b 满足|a| 71，|b| 71， 且|ab|4，求|ab|的值 审题指导 解决向量加法和减法的综合问题时，应注意以下几点： (1)要综合应用向量加法和减法的平行四边形法则、 三角形法则及 加法的结合律和交换律来分析、解决问题 (2)要充分利用平面图形，形象直观地来分析、解决问题 (3)注意构造向量模型，利用向量知识分析、解决问题 【解题流程】 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规范解答 如图，OA a，OB b， 则|BA |ab|. (2 分) 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB， 则OC |ab|. (4 分) 由于( 71)2( 71)242，

16、故|OA |2|OB |2|BA |2，(6 分) 所以OAB 是AOB 为 90 的直角三角形，(8 分) 从而 OAOB， 所以OACB 是矩形 (10 分) 根据矩形的对角线相等有|OC |BA |4， 即|ab|4. (12 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【题后反思】 (1)向量 ab，ab 的几何意义在证明、运算中 具有重要的应用对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角 线具有的性质要熟悉并会应用 (2)关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情 况，如零向量、共线向量等要注意到向量的加法和求模运算 的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个

17、向量的 模的和因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模 的加法是数量的加法 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 4】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，求证：EF EF AB DC . 图 1 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 证明 法一 如图 1，在四边形 CDEF 中，EF FC CD DE 0， 所以EF FC CD DE CF DC ED . 在四边形 ABFE 中， EF FB BA AE 0， 所以EF BF AB EA . ，得 EF EF CF DC ED BF AB EA (CF BF )(E

18、D EA )(AB DC ) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 E，F 分别是 AD，BC 的中点， ED EA 0，CF BF 0. EF EF AB DC . 图 2 法二 如图 2，在平面内取点 O，连接 AO，EO，DO，CO，FO， BO，则EF EO OF EA AO OB BF ， 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 E，F 分别是 AD，BC 的中点， DE EA ，BF FC ， EF EF EA AO OB BF EA AO OB BF DE AO OB FC EA AO OB BF (AO OB )(DA AO OB BC ) AB (D

19、O OC ) AB DC . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 误区警示 因概念不清而出错 【示例】 已知AB 2a2b，BC 3a3b，CD ab，则直 线 AD 与 BC( ) A平行 B相交 C重合 D平行或重合 错解 因为AD AB BC CD2a2b， BC 3a3 b， 所以 AD 2 3BC ，所以AD BC ，所以 ADBC.故选 A 项 答案 A 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 平面向量中的解题错误， 大都是由于概念不清、 算理 不明，或忽视特殊情形所致 平行(共线)向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里 的平行向量是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关， 与是否在同一条直线上也无关 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 正解 因为AB 2 3BC ，所以AB BC ，又AB 和BC 有公共的端 点 B，所以 A，B，C 三点共线因为BC 3CD ，又BC 与CD 有 公共的端点 C，所以 B，C，D 三点共线 所以 A，B，C，D 四点共线，所以直线 AD 与 BC 重合故选 C 项 答案 C 错因在于对向量平行的概念不清 两个向量平行， 它 们所在的直线可能平行或重合，是哪一种情形要视具体问题而 定所以本题尚需进一步考查，看两直线是否重合