北师大版数学必修一课件：2.3函数的单调性.pptx

1、3 函数的单调性 第二章 函 数 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法. 2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等 概念，能准确理解这些定义的本质特点. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 增函数与减函数的定义 1.增函数 定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1， x2A，当x1x2时，都有 ，那么，就称函数yf(x)在区间A 上是增加的；有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的.图示：如图所示： 答案 f(x1)f(x2) 答案 2.减函数 定义：在

2、函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1， x2A，当x1x2时，都有 ，那么，就称函数yf(x)在区间A 上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递减的. 图示：如图所示. f(x1)f(x2) 知识点二 函数的单调区间与单调性 (1)如果yf(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为 . (2)定义：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是 或 ， 那么就称yf(x)在这个子集上具有单调性. 如果函数yf(x)在 是增加的或减少的，分别称这个函数 为增函数或减函数，统称为单调函数. 答案 单调区间 增加的 减少的 整个定义域内 思考1 若函数f(x)在定义域内的

3、两个区间D1，D2上都是减函数，那么 f(x)的减区间能写成D1D2吗？ 答案 答 单调区间不能取并集，如 y1 x在(，0)上递减，在(0，)上 也递减，但不能说 y1 x在(，0)(0，)上递减. 思考2 任何函数在定义域上都具有单调性吗？ 答案 答 函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化 趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质.有的函数不 具有单调性， 例如： 函数 y 1，x是有理数， 0，x是无理数； 再如： 函数 yx1(xZ)， 它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性. 返回 题型探究 重点突破 题型一 求函数的单调区间 例1 (

4、1)如图所示的是定义在区间5,5上的函数yf(x)的图像，则函 数的单调递减区间是_、_，在区间_、_ 上是增函数. 解析答案 解析答案 (2)函数 y 1 x1的单调递减区间是_. 解析 y 1 x1的图像可由函数 y 1 x的图像向右平移一个单位得到，如图 所示，其单调递减区间是(，1)和(1，). (，1)，(1，) 解析答案 解 y x22x1，x0， x22x1，x0， 反思与感悟 例2 画出函数yx22|x|1的图像并写出函数的单调区间. 即 y x122，x0， x122，x0. 函数的大致图像如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区 间为1,0，1，). 解析答案 跟踪训

5、练 1 作出函数 f(x) x3，x1， x223，x1 的图像，并指出函数的 单调区间. 题型二 函数单调性的判定与证明 例3 求证：函数f(x)x1 x在(0,1)上是减函数. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 已知函数 f(x)2x x1，证明：函数 f(x)在(1，)上为减 函数. 证明 任取x1，x2(1，)，且x1x2. 则 f(x1)f(x2)2x 1 x11 2x2 x21 3x2x1 x11x21. x2x11， x2x10，(x11)(x21)0， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 函数f(x)在(1，)上为减函数. 解析答案 题型三 函数单调性

6、的简单应用 例4 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实 数a的取值范围. 解 f(x)x22(1a)x2 x(1a)22(1a)2， f(x)的减区间是(，1a. f(x)在(，4上是减函数， 对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合. 1a4，解得a3. 反思与感悟 跟踪训练3 函数f(x)x22ax1在(，2)上是增函数，则实数a 的取值范围是_. 解析答案 解析 f(x)x22ax1(xa)21a2，抛物线开口向下，对称 轴xa2时，f(x)在(，2)上是增函数，所以实数a的取值范围是 a2. a2 解析答案 忽视函数定义域致误 易错点 例5 已知yf(x)在

7、定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a) B.f(a2)f(a2) D.f(6)f(a) 解析答案 解析 因为函数f(x)是增函数，且a3a2， 所以f(a3)f(a2). C 1 2 3 4 5 5.函数yx|x1|的单调递增区间是_. 解析答案 解析 画出函数 yx|x1| x2x，x1， x2x，x1 的图像，如图，可得函数的 单调递增区间为(，1 2，1，). (，1 2，1，) 课堂小结 1.对函数单调性的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的 区间上可以有不同的单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2

8、有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不 能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小， 通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间. (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互 推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2). (4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区 间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性. 2.单调性的证明方法 证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤： (1)设元：设x1、x2D且x1x2； (2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差； (3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形； (4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断； (5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位， 即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号. 3.单调性的判断方法 (1)定义法：利用定义严格判断. (2)图像法：作出函数的图像，用数形结合的方法确定函数的单调区间. (3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减 减”，“增减增”，“减增减”. 返回