北师大版必修四数学课件：2.1 从位移、速度、力到向量.ppt

1、 知识点 1 向量的概念及其表示 (1)定义：既有大小，又有方向的量统称为向量 (2)表示： 有向线段：具有方向和长度的线段叫做有向线段，以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB ，线段 AB 的长度也叫做 有向线段AB 的长度，记作|AB |. 向量的表示： (3)向量的模：|AB |(或|a|)表示向量AB 的大小，即长度(也称 模) 讲重点 向量的概念与向量模的理解 (1)对向量概念的理解 本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定 的位置，这样的向量可以作任意平移 看一个量是否为向量， 就要看它是否具备了大小和方向两 个要素 向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而

2、向 量与向量之间不能比较大小 (2)对向量的长度(或模)的理解 向量 a 的模|a|0. 向量不能比较大小，但|a|是实数，可以比较大小 零向量的方向不确定，规定零向量平行于任何向量. 知识点 2 特殊向量及向量之间的关系 (1)零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0，它的方向 是任意的 (2)单位向量：长度(或模)为 1 的向量叫做单位向量 (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平 行向量，也叫共线向量记作 ab. 记法：向量 a 平行于 b，记作 ab. 规定：零向量与任一向量平行 讲重点 对几类特殊的向量的理

3、解 (1)在画单位向量时，长度 1 可以根据需要任意设定 (2)将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量， 并且它的方向与该向量相同 (3)在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且 长度相等 (4)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合 的情况 (5)共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量， 但共线向量不一定是相等的向量 类型一 向量的有关概念 【例 1】 下列说法： 向量AB 和向量BA 长度相等；方向不同的两个向量一定 不平行；向量BC 是有向线段；向量 00；向量AB 大于向 量CD ；若向量AB 与CD 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一 直线

4、上； 单位向量相等； 四边形 ABCD 是平行四边形当且仅 当AB DC ；一个零向量方向不确定当且仅当模为 0；共线 的向量，若起点不同，则终点一定不同 其中正确的是_(只填序号) 思维启迪： 利用零向量、 单位向量与平行向量逐一判断即可 解析： 序 号 正 误 原因 |AB |BA |AB 因为平行向量包括方向相同和相反两种情况 向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起 来 0 是一个向量，而 0 是一个数量 向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别 共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两 向量在同一直线上 单位向量模均为 1，但方向不确定 由AB DC ，得 ABDC 且 A

5、BDC 零向量的模为零且方向不确定 共线的向量，若起点不同，终点也可以相同 点评 上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一 些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线 段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，任何 一个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模的角度定义的， 而与方向无关. 变式训练 1 判断下列说法是否正确，不正确的说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； (2)若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 ab； (4)由于 0 方向

6、不确定，故 0 不与任意向量平行； (5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反 解析：(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和 方向，所以两个向量不能比较大小 (2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它 们的方向关系 (3)正确|a|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件， 可得 ab. (4)不正确依据规定：0 与任意向量平行 (5)不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其 方向不定. 类型二 向量的表示方法 【例 2】 在如图所示的坐标纸中，画出下列向量： (1)|AB |6，点 B 在点 A 的正东方向； (2)|AC

7、 |6 2，点 C 在点 A 的北偏东 45 的方向 思维启迪：在画向量时应以点 A 为起点，同时应明确方向 解析：如图，利用有向线段表示向量如下： 点评 (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量 的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点用有向线段来表 示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺 一不可 (2)起点相同，模也相同的向量的终点组成以该起点为圆心， 模长为半径的圆 变式训练 2 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方 形的边长为 1. (1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 ba； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c| 5，并说出向

8、 量 c 的终点的轨迹是什么？ 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 同向， 且长度相等，如图中的 b 即为所作 (2)c 向量如图由平面几何知识可知，所有满足条件的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆. 类型三 共线向量和相等向量 【例 3】如图，O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中： (1)分别找出与AO ，BO 相等的向量； (2)找出与AO 共线的向量； (3)找出与AO 模相等的向量； (4)向量AO 与CO 是否相等？ 思维启迪： 找相等的向量就是找长度相等且方向相同的向 量找共线向量就是找

9、方向相同或相反的向量 解析：(1)与AO 相等的向量为BF ，与BO 相等的向量为AE ； (2)与AO 共线的向量为：CO 、BF 、DE ； (3)与AO 模相等的向量为： BO ， CO ， DO ， BF ， CF ， DE ， AE ； (4)向量AO 与CO 不相等，|AO |CO |，但AO 与CO 方向相反. 点评 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或 共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已 知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相 等的向量，再确定哪些是同向共线 变式训练 3 如图，D，E，F 分别是正三角形 ABC 各边的 中点 (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量； (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量； (3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量 解析：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ， DA ，CE ，EB ； (2)与FD 相等的向量是CE ，EB ； (3)与DE 共线的向量是AC ， AF ， FC ； 与FD 共线的向量是CE ， EB ，CB .