北师大版数学必修三课件:1.8 最小二乘估计(共29张PPT).ppt
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1、8 最小二乘估计 在上节课的讨论中,我们知道,人体脂肪含量在上节课的讨论中,我们知道,人体脂肪含量 和年龄之间近似存在着线性关系,这种和年龄之间近似存在着线性关系,这种线性关系可线性关系可 以有以有多种方法来进行刻画多种方法来进行刻画. .但是这些方法都缺少数学但是这些方法都缺少数学 思想依据思想依据. . 问题问题1 1. .用什么样的线性关系刻画会更好一些?用什么样的线性关系刻画会更好一些? 想法:想法:保证这条直线与所有点都接近(也就是距离保证这条直线与所有点都接近(也就是距离 最小)最小). . 最小二乘法就是基于这种想法最小二乘法就是基于这种想法. .本节课我们来进行本节课我们来进行
2、 详细学习!详细学习! 1.1.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想. . 2.2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性 回归方程回归方程. .( (重点重点) ) 3.3.会用线性回归方程对总体进行估计会用线性回归方程对总体进行估计. .( (难点)难点) 思考思考1.1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方 便有效?设直线方程为便有效?设直线方程为y=a+bxy=a+bx,样本点,样本点A A(x xi,y yi) 方法一方法一: :点到直线的距离公式点到直线的距离公式 方法二方法二: : 1 2 b
3、 aybx d ii 2 ii bxay y ii y,x ii bxa,x bxay x A A 0 0 显然方法二能有效地表示点显然方法二能有效地表示点A A与直线与直线y=a+bxy=a+bx的距离,而的距离,而 且比方法一计算更方便,所以我们用它来表示二者之且比方法一计算更方便,所以我们用它来表示二者之 间的接近程度间的接近程度. . 思考思考2.2.怎样刻画多个点与直线的接近程度?怎样刻画多个点与直线的接近程度? 例如有例如有5 5个样本点,其坐标分别为(个样本点,其坐标分别为(x x1 1,y y1 1),(),(x x2 2, y y2 2),(),(x x3 3,y y3 3)
4、,(),(x x4 4,y y4 4),(),(x x5 5,y y5 5),与直线),与直线 y=a+bxy=a+bx的接近程度:的接近程度: 2 55 2 44 2 33 2 22 2 11 bxaybxay bxaybxaybxay 提示:提示: 若有若有n n个样本点:(个样本点:(x x1 1,y y1 1), , , ,(x xn n,y yn n),可以用下),可以用下 面的表达式来刻画这些点与直线面的表达式来刻画这些点与直线y ya+bxa+bx的接近程度的接近程度: : 22 11nn y(abx )y(abx ) 使上式达到最小值的直线使上式达到最小值的直线y=a+bxy=
5、a+bx就是所要求的直线,就是所要求的直线, 这种方法称为这种方法称为最小二乘法最小二乘法. . 先来讨论先来讨论3 3个样本点的情况个样本点的情况 22 11nn y(abx )y(abx )思考思考3 3:怎样使怎样使 达到最小值?达到最小值? 利用配方法可得利用配方法可得 2222 112233 3-2-)(-)(-)(-) aa y bxy bxybxybx( 同样使用配方法可以得到,当同样使用配方法可以得到,当 从而得到直线从而得到直线y=+bxy=+bx的系数的系数 ,b b,且称直线,且称直线y=+bxy=+bx 为这为这3 3个样本点的线性回归方程个样本点的线性回归方程. .
6、用同样的方法我们可以推导出用同样的方法我们可以推导出n n个点的线性回归方个点的线性回归方 程的系数:程的系数: n ii i 1 n 2 2 i i 1 x ynx y xnx 牢记公牢记公 式式 特别提醒:特别提醒:在回归直线方程中,在回归直线方程中,b b是回归直线方程是回归直线方程 的斜率,的斜率,a a是截距;是截距;b b的含义容易理解成增加的单的含义容易理解成增加的单 位数,而实际上,它代表位数,而实际上,它代表x x每增加一个单位,每增加一个单位,y y的的 平均增加单位数平均增加单位数. .一般地说,当回归系数一般地说,当回归系数b b0 0时,时, 说明两个变量呈正相关关系
7、,它的意义是:当说明两个变量呈正相关关系,它的意义是:当x x每每 增加一个单位时,增加一个单位时,y y就增加就增加b b个单位;当个单位;当b b0 0时,时, 说明两个变量呈负相关关系,它的意义是:当说明两个变量呈负相关关系,它的意义是:当x x每每 增加一个单位时,增加一个单位时,y y就减少就减少b b个单位个单位. . 思考思考4:4:如果样本点只有两个,用最小二乘法得如果样本点只有两个,用最小二乘法得 到的直线与用两点式求出的直线一致吗?到的直线与用两点式求出的直线一致吗? 提示提示: :是一致的是一致的. . 与用两点式相同与用两点式相同. . 例例1 1 在上一节练习中,从散
8、点图可以看出,某小卖在上一节练习中,从散点图可以看出,某小卖 部部6 6天卖出热茶的杯数(天卖出热茶的杯数(y)与当天气温()与当天气温(x)之间是)之间是 线性相关的线性相关的. .数据如下表数据如下表: : 气温(气温(xi) 2626 1818 1313 1010 4 4 - -1 1 杯数(杯数(yi)杯)杯 2020 2424 3434 3838 5050 6464 (1)(1)试用最小二乘法求出线性回归方程试用最小二乘法求出线性回归方程. . (2)(2)如果某天的气温是如果某天的气温是33,请预测这天可能会卖,请预测这天可能会卖 出热茶多少杯出热茶多少杯. . 解解:(1 1)由
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